Этапы экономико-математического моделирования

Основные этапы процесса моделирования рассматривались выше. Заметим, что в разных областях знаний, в частности в экономике, они приобретают специфические черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла экономико-математического моделирования.

1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы (цели исследования), принимаемые предположения и те вопросы, на которые необходимо получить ответы. Этот этап включает:

- выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных;

- изучение структуры объекта и основных зависимостей, объединяющих его элементы;

- формулировки гипотез (хотя бы предварительные), объясняющих поведение и развитие объекта.

2. Построение математических моделей. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.п.). Сначала обычно определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таким образом, построение модели имеет несколько стадий. Неправильно думать, что чем больше факторов учитывает модель, тем лучше она «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать и о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности и неопределенности и т.д. Чрезмерная сложность и детализация модели затрудняет процесс исследования. Нужно не только учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сравнивать затраты на моделирование с получаемым эффектом (с ростом сложности модели прирост затрат может превысить прирост эффекта). Одной из важных особенностей математических моделей является потенциальная возможность их использования для решения различных проблем. Поэтому, даже встречаясь с новой экономической задачей, не нужно пытаться «изобретать» модель; сначала необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели (адаптировать их к задаче).

В процессе построения модели осуществляется сопоставление двух систем научных знаний - экономических и математических. Конечно, надо стремиться к тому, чтобы получить модель, которая относится к хорошо изученному классу математических задач. Часто это удается сделать путем некоторого упрощения исходных положений модели, которые не искажают существенные черты моделируемого объекта. Однако возможна и такая ситуация, когда формализация экономической проблемы приводит к неизвестной ранее математической структуре. Проблемы экономической науки и практики в середине ХХ века способствовали развитию математического программирования, теории игр, функционального анализа, вычислительной математики. Вполне вероятно, что в будущем развитие экономической науки станет важным стимулом для создания новых разделов математики.

3. Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь часто применяют математические приемы исследования. Важнейший момент - доказательство существования решений в сложившейся модели (теорема существования). Если повезет доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает; следует скорректировать или постановку экономической задачи, либо модифицировать ее математическую формализацию. В аналитическом исследовании модели могут возникнуть такие вопросы, как, например: есть ли вообще решение и является ли оно единственным; какие переменные (неизвестные) могут входить в решение; каковы будут соотношения между ними; в каких пределах и в зависимости от каких исходных условий они изменяются; каковы тенденции этих изменений и т.д. Аналитическое исследование модели по сравнению с эмпирическим (числовым) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели. Знание общих свойств модели имеет столь большое значение, что часто ради доказательства подобных свойств исследователи сознательно идут на идеализацию первоначальной модели. И все же модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда аналитическими методами не удается выяснить общие свойства модели, а упрощения модели служит причиной недопустимых (неадекватных) результатов, переходят к численным методам исследования.

4. Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предлагаемых к практическому использованию. Вместе с тем учитывается не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенный период), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти расходы не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. В статистическом экономико-математическом моделировании результирующая информация, используемая в одних моделях, является исходной для функционирования других моделей.

5. Численные решения. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составления программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены прежде большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации. Конечно, расчеты на основе использования экономико-математической модели имеют многовариантный характер. Благодаря высокому быстродействию современных ЭВМ удается проводить численные «модельные» эксперименты, изучая "поведение" модели при различных значениях некоторых условий. Исследования, проводимые с помощью численных методов, могут стать существенным дополнением к результатам аналитического исследования. Отметим, что класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

6. Анализ численных результатов и их использование. На этом, завершающем, этапе цикла возникает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практического применения последних.

Математические методы проверки могут выявлять некорректность подхода к построению модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, которые получают с помощью модели, сопоставление их со знаниями, которыми мы владеем, и фактами действительности также позволяют находить недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

Взаимосвязи этапов. Обратим внимание на обратные связи этапов, возникающие вследствие того, что в процессе исследования обнаруживаются недостатки предшествующих этапов моделирования.

Уже на этапе построения модели может выясниться, что постановка задачи противоречива и приводит к слишком сложной математической модели. В соответствии с этим постановка экономико-математической задачи корректируется. Дальнейший математический анализ модели (этап 3) может показать, что небольшая модификация постановки задачи или ее формализации дает полезный аналитический результат.

Чаще всего необходимость возврата к предыдущим этапам моделирования возникает при подготовке исходной информации (этап 4). Может оказаться, что необходимая информация отсутствует или затраты на ее подготовку слишком велики. Тогда приходится возвращаться к постановке задачи и ее формализации, изменяя их так, чтобы приспособиться к имеющейся информации.

Поскольку экономико-математические задачи могут быть сложными по своей структуре, иметь большую размерность, то это может привести к тому, что известные алгоритмы и программы для компьютеров не в состоянии решить задачу в первоначальном виде. Если нельзя за короткий срок разработать новые алгоритмы и программы, то исходную постановку задачи и соответствующую модель упрощают: снимают и объединяют условия, количество факторов, нелинейные соотношения заменяют линейными т.д.

Недостатки, которые не удается исправить на промежуточных этапах моделирования, устраняются в последующих циклах. Но результаты каждого цикла имеют и вполне самостоятельное значение. Начав исследования от построения простой модели, можно быстро получить полезные результаты, а затем перейти к созданию более совершенной модели, дополненной новыми условиями, которые включают уточненные математические зависимости.

С развитием и усложнением экономико-математического моделирования некоторые его этапы выделяются в специализированные области исследования, усиливаются различия между теоретико-аналитическими и прикладными моделями, происходит дифференциация моделей по уровням абстракции и идеализации.

Теория математического анализа математических моделей экономики развилась в особую ветвь современной науки - математическую экономику. Модели, которые изучаются в рамках математической экономики, часто теряют непосредственную связь с экономической реальностью; они имеют дело с исключительно идеализированными экономическими объектами и ситуациями. В построении таких моделей главным принципом является не столько приближение к реальности, сколько получение как можно большего количества аналитических ресурсов с помощью аналитических доказательств. Ценность этих моделей для экономической теории и практики состоит в том, что они служат теоретической базой для моделей прикладного типа.

Достаточно самостоятельными областями исследования становятся подготовка и обработка экономической информации и разработка математического обеспечения экономических задач (создание баз данных и банков информации, программ автоматизированного построения моделей и программного сервиса для экономистов-пользователей). На этапе практического использования моделей ведущую роль должны играть специалисты в соответствующей области экономического анализа, планирования, управления. Главным участком работы системных аналитиков остается постановка и формализация экономических задач и синтез процесса экономико-математического моделирования.