Основные уравнения гидродинамики в акустическом

Приближении

Уравнение неразрывности

 

Рассмотрим для простоты плоскую звуковую волну в трубе постоянного сечения S (рисунок 2.1). Выделим в трубе малый элемент среды длиной d x (от x до x +d x).

 

Рисунок 2.1 – Движение элемента среды в трубе

 

В произвольный момент времени t сечение х сместится в результате колебаний на расстояние ξ (х), а сечение х + dx – на ξ(х + dx)

При равновесии масса газа в выделенном элементе:

 

. (2.1)

 

При смещении элемента:

(2.2)

Так как масса выделенного элемента остается неизменной,

 

.

Отсюда получаем:

 

. (2.3)

 

Уравнение (2.3) называется уравнением неразрывности.

 

 

Уравнение движения

 

Запишем теперь уравнение движения элемента среды, заключенного между плоскостями x и x + dx.

Сила, которая действует на этот элемент, равна:

 

.

 

Масса этого элемента равна , а ускорение - .

Согласно второму закону Ньютона

 

 

или

 

. (2.4)

 

Уравнение (2.4) называется уравнением Эйлера.

Уравнение состояния

 

Запишем теперь уравнение состояния идеального газа, заключенного между сечениями x и x + dx

Мы уже говорили о том, что процессы сжатия и разряжения в звуковой волне являются адиабатическими. Это связано с тем, что вследствие низкой теплопроводности воздуха и быстроты изменения давления и плотности при звуковых колебаниях тепловая энергия не успевает уйти из сжатого элемента газа за время сжатия ().

Уравнение адиабатического процесса имеет вид:

 

, (2.5)

где - коэффициент Пуассона. Для воздуха .

Если продифференцировать уравнение (2.5), получим:

 

.

 

Элемент газа в трубе между плоскостями x и x + dx имеет объем Sdx, а изменение его объема будет равно .

Постоянное давление – Р ₀, а звуковое – p.

Таким образом, уравнение адиабатического сжатия (разрежения) воздуха в звуковой волне имеет вид:

 

или

. (2.6)

 

С учетом уравнения неразрывности (2.3) получаем:

 

(2.7)

 

 

Волновое уравнение для звуковых волн в воздухе.

Скорость звука

Комбинируя уравнение неразрывности (2.3), уравнение Эйлера (2.4) и уравнение состояния (2.6), получаем уравнение для смещения частиц в звуковой волне :

или

Если обозначить , то

 

(2.8)

 

Таким образом, для ξ мы получили волновое уравнение (см. раздел 1.2.4), которое описывает волну, распространяющуюся в воздухе со скоростью, равной

 

.

 

Величина с называется скоростью звука.

При нормальных условиях плотность воздуха ρ ₀ = 1,29 кг/м², атмосферное давление Р ₀ = 1,013·10⁵ Па, и скорость звука в воздухе с = 330 м/с. При комнатной температуре (t = 18⁰C) с = 340 м/с.

Аналогичные (2.8) волновые уравнения можно записать для звукового давления, акустических добавок к плотности и температуре.

Волны смещения, звукового давления, плотности и температуры распространяются с одинаковой скоростью.

Эти волны связаны между собой, так как

 

,

,

.

 

Таким образом, если известно уравнение одной из этих волн, например: , то остальные величины легко находятся.

Величина ρ₀ с называется волновым сопротивлением среды. При нормальных условиях .

 

 

Плоская гармоническая звуковая волна

 

Решением волнового уравнения:

 

 

является функция вида:

.

 

Если волна гармоническая, то

 

,

 

где - амплитуда смещения частиц в волне;

- циклическая частота колебаний в волне;

- волновое число;

- длина звуковой волны.

Скорость колебаний частиц в волне:

 

,

 

где - амплитуда колебательной скорости.

Звуковое давление:

,

 

где - амплитуда звукового давления.

Отметим, что отношение звукового давления к колебательной скорости равно волновому сопротивлению среды .

Акустическая добавка к плотности равна:

 

,

 

где - амплитуда акустической добавки к плотности.

Акустическая добавка к температуре:

 

.

 

Следует отметить, что обычно задаются не амплитудные значения величин, характеризующих звуковые колебательные процессы в среде, а действующие или эффективные, которые при гармонических колебаниях в раз меньше амплитудных. Например:

 

.

 

Далее индекс e будем опускать и подразумевать, что если задается какая-то конкретная величина ( и так далее), то имеется в виду ее эффективное значение.