Отражение звуковой волны от плоской границы при нормальном падении

Рассмотрим плоскую границу двух сред. Пусть волновое сопротивление первой среды равно ρ₁ с ₁, а волновое сопротивление второй среды ρ₂ с ₂ (здесь ρ – плотность соответствующей среды, а с – скорость звука в данной среде). Выберем систему отсчета таким образом, что ось Ox направлена перпендикулярно границе, которая расположена при x =0, а ось Oy направлена вдоль границы (рисунок 5.1).

 

Пусть плоская гармоническая звуковая волна нормально падает на границу двух сред. Звуковое давление и колебательная скорость движения частиц в первой среде могут быть представлены в виде суммы соответствующих характеристик падающей и отраженной волны:

 

, (5.1)

. (5.2)

 

Здесь ω – циклическая частота колебаний в волне, k ₁ = ω/ c ₁ – волновое число в первой среде.

Во второй среде будет распространяться только прошедшая волна:

 

, (5.3)

, (5.4)

 

где k ₂ = ω/ c ₂ – волновое число во второй среде.

На границе раздела (при x = 0) в соответствии с третьим законом Ньютона звуковые давления должны быть равны:

 

. (5.5)

Кроме того, скорость движения частиц первой и второй среды на границе также равны (вследствие закона неразрывности):

 

. (5.6)

 

Подставляя выражения (5.1) – (5.4) в граничные условия (5.5) и (5.6), получаем:

 

(5.7)

(5.8)

 

Между давлением и колебательной скоростью частиц в звуковой волне существует соотношение:

 

(5.9)

 

где знак “+” соответствует волне, бегущей в положительном направлении оси, а знак “-“ – обратной волне.

С учетом соотношения (5.9) выражение (5.8) запишется в виде:

 

(5.10)

 

Решив совместно уравнения (5.7) и (5.10), получим формулы для коэффициентов отражения и прохождения звуковой волны (по давлению):

 

(5.11)

 

(5.12)

 

Аналогично, коэффициенты отражения и прохождения для колебательной скорости равны :

 

(5.13)

 

(5.14)

 

Проанализируем полученные выражения. Если ρ₂ с ₂ > ρ₁ с ₁, то есть вторая среда акустически более “жесткая”, чем первая, то r > 0, а r_v < 0. Это означает, что при отражении от более “жесткой” среды скорость частиц меняет фазу на противоположную, а фаза давления остается неизменной. Если отражение происходит от абсолютно жесткой поверхности (ρ₂ с ₂ → ∞), то амплитуда звукового давления на границе удваивается по сравнению с падающей волной, а амплитуда колебательной скорости равна нулю. Таким образом, на жесткой стенке имеет место пучность стоячей волны для давления и узел стоячей волны для колебательной скорости.

При ρ₂ с ₂ < ρ₁ с ₁ (вторая среда акустически более “мягкая”) фаза колебательной скорости не изменяется, а фаза давления изменяется на π. Это означает, что на абсолютно “мягкой” границе (ρ₂ с ₂ → 0) будет узел звукового давления и пучность колебательной скорости частиц.

Наконец, при ρ₂ с ₂ = ρ₁ с ₁ коэффициент отражения равен нулю. Это означает, что отраженной волны не возникает и звук беспрепятственно проходит во вторую среду. В этом случае говорят, что среды согласованы по акустическому сопротивлению.

Так как между звуковым давлением и интенсивностью звуковой волны существует соотношение:

(5.15)

 

то энергетический коэффициент отражения звука от границы равен:

 

(5.16)

 

Величина, равная отношению интенсивности звуковой волны, прошедшей во вторую среду, к интенсивности падающей на границу волны, называется коэффициентом звукопоглощения поверхности раздела двух сред:

 

(5.17)

 

При нормальном падении звуковой волны на плоскую поверхность коэффициент звукопоглощения с учетом формулы (5.11) равен:

 

(5.18)

 

Рассмотрим практически важный случай, когда звуковая волна из воздуха (ρ₁ с ₁ = ρ₀ с ≈ 420 ) падает на плоскую поверхность материала с волновым сопротивлением R = ρ₂ с ₂. В этом случае формулы для коэффициента отражения (5.11) и коэффициента звукопоглощения (5.18) принимают вид:

 

(5.19)

(5.20)

 

Величина R ₁ = R /ρ₀ c называется волновым сопротивлением, выраженным в долях волнового сопротивления воздуха, или безразмерным волновым сопротивлением (импедансом) среды.

Если среда не является бесконечной и звуковая волна при распространении в ней поглощается, то волновое сопротивление среды является комплексным числом:

 

(5.21)

 

где R – активная часть импеданса, а Y – реактивная часть импеданса. Безразмерный импеданс:

 

(5.22)

 

Физически наличие реактивной составляющей импеданса означает, что между звуковым давлением и колебательной скоростью частиц среды существует фазовый сдвиг. Коэффициент отражения от среды с комплексным импедансом также является комплексным числом:

 

(5.23)

 

Коэффициент звукопоглощения при нормальном падении звуковой волны из воздуха на поверхность с комплексным импедансом равен:

 

(5.24)

 

Анализ формулы (5.24) показывает, что для достижения максимального значения коэффициента звукопоглощения (α = 1) необходимо, чтобы активная часть импеданса поверхности, на которую падает звуковая волна, была равна волновому сопротивлению воздуха (R = ρ₀ c или R ₁ = 1), а реактивная часть импеданса Y ₁ должна стремиться к нулю. При разработке звукопоглощающих материалов и конструкций ориентируются именно на эти показатели.