Часть 15. Основы случайных процессов

 

В предыдущих разделах, подбирая формулы и делая прогнозы, мы предполагали 100% достоверность исходных данных. В реальной жизни события, характеризующие эти данные, могут носить случайный характер и появляться с разной вероятностью.

Вероятность события p есть отношение числа благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n этогособытия: p = m / n. Например, вероятность появления туза в наугад выбранной карте из колоды в 52 карты равна 4/52=0.0769, так как m =4, а n =52.

Если известно соответствие между появлениями (величинами) x₁, x₂, …, x_n случайного события (переменной ) X и соответствующими вероятностями их реализации p₁, p₂, …, p_n, то говорят, что известен закон распределения случайной величины F(x). Большинство встречающихся на практике распределений вероятностей реализовано в Excel.

Распределения вероятностей имеют числовые характеристики. Введем некоторые понятия и перечислим функции Excel для вычисления числовых характеристик распределения вероятностей. Они входят в группу Статистические. При вычислении функций в качестве случайных величин используйте следующие значения:

 

 

Математическое ожидание случайной величины (среднее арифметическое), характеризующее центр распределения вероятностей, вычисляется функцией СРЗНАЧ. СРЗНАЧ(A1:A7) = 9.

Дисперсия, характеризует разброс случайной величины относительно центра распределения вероятностей и вычисляется функцией ДИСПР. ДИСПР(A1:A7) = 4.857.

Среднеквадратичное отклонение есть квадратный корень из дисперсии, характеризует разброс случайной величины в единицах случайной величины и вычисляется функцией СТАНДОТКЛОНП. СТАНДОТКЛОНП(A1:A7) = 2.203893.

Квантиль случайной величины с законом распределения F(x) есть значение случайной величины x при заданной вероятности p., т.е. есть решение уравнения F(x)=p. Медиана есть квантиль с вероятностью p =0.5.

Excel, вместо квантилей содержит функции вычисления х для определенных уровней р: квартили (кварта – четверть), децили (дециль – десятая часть), персентили (персент – процент). Различают нижний квартиль с вероятностью p =0.25 и верхний квартиль с вероятностью p =0.75. Децили это квантили с вероятностью 0.1, 0.2, …, 0.9.

Функцию КВАРТИЛЬ используют, чтобы разбить данные на группы. В качестве второго аргумента указывают уровень (четверть), для которого нужно вернуть решение: 0 – минимальное значение распределения, 1 – первый, нижний квартиль, 2 – медиана, 3 – третий, верхний квартиль, 4 – максимальное значение. Например, КВАРТИЛЬ(A1:A7;3) = 10, т.е. 75% всех значений меньше 10, КВАРТИЛЬ(A1:A7;2) = 9.

Функция ПЕРСЕНТИЛЬ вычисляет квантиль указанного уровня вероятности и используется для определения порога приемлемости значений. В качестве второго аргумента указывают уровень 0.1, 0.2, …, 0.9. ПЕРСЕНТИЛЬ(A1:A7;0,9) = 11.8, т.е. 90% всех значений меньше 11.8.

Пакет анализа Excel также содержит инструмент Ранг и персентиль, который на основе набора данных формирует выходную таблицу, содержащую порядковый и процентный ранги для каждого значения в наборе данных. См. справку по F1.

 

Далее рассмотрим наиболее распространенные распределения вероятностей, реализованные в Excel. Каждый закон распределения описывает процессы разной вероятностной природы и характеризуется специфическими параметрами:

- равномерное распределение – n случайных чисел выпадает с одной и той же вероятностью p= 1/ n; характеризуется нижней и верхней границей; примером является появление чисел 1, 2, …, 6 при бросании игральной кости (p =1/6);

- биномиальное распределение моделирует взаимосвязь числа успешных испытаний m и вероятностей успеха каждого испытания p при общем количестве испытаний n - функции БИНОМРАСП и КРИТБИНОМ;

- нормальное (гауссово) распределение описывает процессы, в которых на результат воздействует большое число независимых случайных факторов, среди которых нет сильно выделяющихся – функции НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР и НОРМАЛИЗАЦИЯ;

- распределение Пуассона, предсказывает число случайных событий на определенном отрезке времени или на определенном пространстве, позволяет аппроксимировать биномиальное распределение – функция ПУАССОН;

- экспоненциальное (показательное) распределение, моделирует временные задержки между событиями, описывает процессы в задачах массового обслуживания и в задачах с «временем жизни» - ЭКСПРАСП;

- распределение хи-квадрат, связано с нормальным, возвращает одностороннюю вероятность распределения и используется для сравнения предполагаемых и наблюдаемых значений – функция ХИ2РАСП;

- распределение Стьюдента, связано с нормальным, возвращает вероятность для t-распределения Стьюдента и используется для проверки гипотез при малом объеме выборки – функция СТЬЮДРАСП;

- F-распределение (Фишера), связано с нормальным и может быть использовано в F-тесте, который сравнивает степени разброса двух множеств данных – fраспобр;

- гамма-распределение используется для изучения случайных величин, имеющих асимметричное распределение, в теории очередей – функция ГАММАРАСП;

- а также другие распределения – функции БЕТАРАСП, ВЕЙБУЛЛ, ОТРБИНОМРАСП, ГИПЕРГЕОМЕТ, ЛОГНОРМРАСП и др.

 

Биномиальное распределение

 

Биномиальное распределение характеризуется числом успешных испытаний m, вероятностью успеха каждого испытания p и общим количеством испытаний n. Классическим примером использования биномиального распределения является выборочный контроль качества больших партий товара, изделий в торговле, на производстве, когда сплошная проверка невозможна. Из партии выбирают n образцов и регистрируют число бракованных m. Бракованными могут быть 1, 2, …, n образцов, но вероятности реального числа бракованных будут различными. Если контрольная вероятность брака ниже допустимой вероятности, то можно гарантировать достаточное качество всей партии.

В Excel функция БИНОМРАСП вычисляет вероятность отдельного значения распределения по заданным m, n и р, а функция КРИТБИНОМ – случайное число по заданной вероятности. Обычно функция КРИТБИНОМ используется для определения наибольшего допустимого числа брака.

В качестве примера построим график плотности вероятности биномиального распределения для n =10 (1, 2, …, 10) и p =0.2. Введите исходные данные, как показано на рисунке:

 

 

Далее в ячейку В4 введите статистическую функцию БИНОМРАСП и заполните ее параметры как показано на рис. 2.68:

 

Рис. 2.68

 

Здесь параметр Число_s есть число успешных испытаний m, Испытания – число независимых испытаний n, Вероятность_s – вероятность успеха каждого испытания p. Параметр Интегральный равен 0, если требуется получить плотность распределения (вероятность для значения m), и равен 1, если требуется получить вероятность с накоплением (вероятность того, что число успешных испытаний не меньше значения аргумента Число_s).

Формулу из В4 размножьте в ячейки В5:В13. Ниже показан результат Ваших действий:

 

 

Как видно, в колонке В вычислены вероятности успешных испытаний m =1, 2, …, 10. Теперь по диапазону В4:В13 постройте график или гистограмму биномиальной функции плотности распределения – результат на рис. 2.69. Поэкспериментируйте, изменяя значение вероятности в ячейке В1: 0.3, 0.4, 0.8, проследите за изменениями формы графика.

Поэкспериментировать с графиками различных распределений и почитать теорию по математической статистике Вы можете в Интернет. Зайдите на сайт www.shpargalka.ru.

 

Рис. 2.69

 

Для иллюстрации функции КРИТБИНОМ используем предыдущий пример – необходимо найти число m, для которого вероятность интегрального распределения больше или равна 0.75. Вызовите функцию КРИТБИНОМ и заполните параметры – рис. 2.70. Вы должны получить значение 3. Это означает, что при вероятности интегрального распределения >= 0.75 будет не менее трех (m >=3) успешных испытаний.

 

Рис. 2.70

 

 

Нормальное распределение

 

Нормальное распределение характеризуется средним арифметическим (математическим ожиданием) m и стандартным (среднеквадратичным) отклонением r. Дисперсия равна r². Краткое обозначение распределения N(m,r²). График (рис. 2.71) нормального распределения симметричен относительно центра распределения (точки m), чем меньше r, тем больше вероятность появления случайной величины. В пределы [m-r,m+r] нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 0,683 в пределы [m-2r,m+2r] - с вероятностью 0,955 и т.д.

 

Рис. 2.71

 

При m= 0 и r= 1 нормальное распределение называется стандартным или нормированным – N (0,1).

Нормальное распределение имеет очень широкий круг приложений. В качестве примера построим график плотности вероятностей нормального распределения при m =15 и r =1,5 в диапазоне [m-3r,m+3r] c шагом 0,5. Результат показан на рис. 2.72.

 

Рис. 2.72

 

Выполните следующие действия:

- в ячейку А4 введите формулу =B1-3*B2, в ячейку А5 формулу =A4+B$3 и размножьте ее по ячейку А22;

- в ячейку В4 введите функцию НОРМРАСП из группы Статистические – параметры заполните как на рис. 2.73;

- размножьте формулу из ячейки В4 по ячейку В22 и по диапазону В4:В22 постройте график; на 2-ом шаге мастера диаграмм в закладке Ряд введите подписи к оси х из диапазона А4:А22.

 

Рис. 2.73

Генерация случайных чисел

Часто требуется смоделировать случайный процесс с известным законом распределения вероятностей. Тогда необходимо получить случайные числа в соответствии с этим законом распределения. Инструмент Генерация случайных чисел из Пакета анализа выдает случайные числа для основных законов распределения: равномерного, биномиального, нормального, дискретного и т.д.

Excel содержит функцию СЛЧИС для генерации равномерно распределенных случайных чисел в диапазоне [0,1] и функцию СЛУЧМЕЖДУ для генерации случайных чисел в произвольно заданном диапазоне значений. См. справку по F1, введя для поиска имя функции.

 

В качестве примера проверим качество инструмента Генерация случайных чисел для нормального распределения. Для этого сгенерируем случайные числа с характеристиками из предыдущего примера, построим график плотности вероятностей и визуально сравним с графиком на рис. 2.72.

Перейдите на чистый лист Excel и вызовите инструмент Генерация случайных чисел через меню С е рвисàАна л из данных…. Введите параметры, как показано на рис. 2.74.

 

Рис. 2.74

 

Число переменных определяет число столбцов при выводе случайных чисел. В поле Распределение устанавливается нужный тип распределения. Параметры для каждого типа распределения различны. Выходной интервал должен содержать ссылку на ячейку, с которой будут в столбец выводиться случайные числа.

Нажмите ОК – случайные числа разместятся в ячейках А1:А30. В ячейку В1 введите функцию =НОРМРАСП(A1;15;1,5;0) и размножьте ее до ячейки В30. Далее по диапазону В1:В30 постройте график – Вы получите разбросанный график плотности вероятностей. Теперь необходимо отсортировать диапазон А1:А30 в порядке возрастания: выделите диапазон А1:А30, вызовите пункт меню Д анныеàС о ртировка и сортировать в пределах указанного выделения. По окончании сортировки график примет вид, как на рис. 2.75. Визуальное сравнение с эталонным графиком на рис. 2.72 показывает достаточное сходство: при б о льшем числе случайных чисел кривая будет стремиться к нормальной.

 

Рис. 2.75

 

Отметим, что на практике закон распределения вероятностей для данных, полученных в результате наблюдения, редко известен заранее. Его устанавливают с помощью статистических методов и процедур.