Д 10 Визначення опорних реакцій для складної статичної конструкції за допомогою принципу віртуальних переміщень

 

На рис.10.1 – 10.5 по варіантах зображено раму, яка складається з двох частин, з’єднаних між собою шарніром С. Рама закріплена до опор в точках А, В, a в варіантах 1, 5, 6, 7, 23 додатковою опорою в точці D. Рама навантажена силами P₁, P₂ розподіленим навантаженням інтенсивністю qі моментом М. Напрямки сил P₁ і P₂ вказуються кутами φ₁ і φ_2.

Визначити опорні реакції рами, використовуючи принцип віртуальних переміщень і виконати статичну перевірку одержаних результатів.

В остаточних розрахунках силові навантаження, кути і геометричні розміри взяти в таблиці 10.1 по варіантах.

 

Таблиця 10.1

Варіант	kH	kH·m	kH/m	Град.	m
		M	q			a	b	c	h
				0,5
				1,2
				0,9
				1,5
				1,4
				1,2
				0,4
				0,8
				0,6
				0,7

Приклад виконання завдання

Плоска рама, що зображена на рис.10.6, навантажена силою , напрямок якої вказує кут , моментом Мі розподіленням інтенсивності навантаження q. Геометричні розміри рами визначені розмірами a, b, h.

Визначити опорні реакції заданої рами в точках А і В, виконати статичну перевірку знайдених реакцій.

В остаточних розрахунках прийняти:

 

P= 10 kH; M= 5 kHм; q= 2 kH/м; = 60º;

a= 2 м; b= 3 м; h= 2,5 м.

Розв’язання. Опори А і В є плоскими шарнірами, в яких реакції розкладаємо на складові по вертикалі та горизонталі.

 

 

 

 

Рисунок 10.1

 

 

Рисунок 10.2

 

 

Рисунок 10.3

 

Рисунок 10.4

 

 

 

Рисунок 10.5

 

 

 

Рисунок 10.6

 

Згідно з принципом віртуальних переміщень сума елементарних робіт активних сил рівна нулю:

. (10.1)

Щоб знайти силу створюємо умови, при яких вона стає активною, тобто виконує роботу. Для цього в опорі А звільняємось від в’язі і надаємо віртуальне переміщення δS_A по горизонталі, як показано на рис.10.7.

 

 

Рисунок 10.7

При такій умові рама перетворюється в механізм, де частина рами АС – назвемо її лівою частиною, і ВС – правою частиною, здійснюють віртуальні переміщення як тверді тіла. Ліва частина виконує поворот навколо миттєвого центра точки K₁ на кут dj₁, а права – навколо центра Вна кут dj₂. Складемо рівняння згідно з принципом (10.1) для ситуації зображеної на рис.10.7.

(10.2)

Точка С є спільною для лівої та правої частин, тому:

 

(10.3)

Звідки

.

Підставляємо dj₁ в формулу (10.2).

Віртуальне переміщення , тому скоротивши на нього, отримуємо:

.

Попередньо визначимо силу Qрівномірно розподіленого навантаження:

 

З рис.10.7 визначаємо K₁A:

.

 

Тоді реакція X_A визначається за формулою:

 

. (10.4)

 

Визначення реакції Y_A. Надаємо віртуального переміщення dS_A в точці Атак, щоб Y_A стала активною. Тоді створюється така ситуація, яка зображена на рис.10.8. Для правої частини рами центром повороту залишається точка В, а для лівої частини таким центром є точка K₂. Віртуальні кутові переміщення для лівої і правої частин рами відповідно рівні dj₁ і dj₂.

 

 

Рисунок 10.8

 

Складаємо рівняння робіт згідно з принципом (10.1)

 

 

(10.5)

 

По рис.10.8 визначаємо K₂A і співвідношення між кутовими пере-міщеннями dj₁ і dj₂.

 

;

.

 

Реакція Y_A остаточно буде рівна:

 

. (10.6)

 

 

Визначення реакції X_B.. Надаємо опорі В віртуального переміщення dS_B по горизонталі. Ліва частина набуває віртуального переміщення dj₁ навколо центра А, а права – віртуального переміщення dj₂ навколо миттєвого центра точки K₃, як показано на рис.10.9.

Cкладаємо суму віртуальних робіт.

 

 

 

Рисунок 10.9

. (10.7)

 

Знаходимо відстань К₃В і співвідношення між переміщеннями dj₁ і dj₂. по рис.10.9.

, ,

, , .

 

Після підстановки К₃В та дj₂ в рівняння (10.7) і спрощення виразів для X_B отримуємо:

 

. (10.8)

 

Визначаємо реакцію Y_B. Надаємо точці В вертикальне віртуальне переміщення dS _B, отримуємо ситуацію, що зображена на рис.10.10.

 

 

 

 

Рисунок 10.10

 

Ліва частина обертається навколо центра А на кут dj₁, а права – навколо точки K₄ на кут dj₂..

Складаємо суму елементарних робіт згідно з (10.1)

 

(10.9)

 

Знаходимо K₄B і співвідношення між переміщеннями dj₁ і dj₂..

 

Тоді:

 

(10.10)

 

 

Підставляємо P, M, Q, α, a, b, h, що задані в умові прикладу. За формулами (10.4), (10.6), (10.8) і (10.10) обчислюємо невідомі реакції.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

Виконаємо перевірку знайдених реакцій. Для цього розглянемо розрахункову схему на рис.10.11, де в опорах Аі В зображені складові реакцій і складемо рівняння на основі рівнянь рівноваги для плоскої довільної системи сил в системі координат xAy.

 

 

 

Рисунок 10.11

 

Якщо реакції знайдені правильно, то повинні виконуватись рівняння:

 

, , . (10.12)

Складаємо такі рівняння і підставляємо в них дані умови задачі і знайдені реакції.

 

;

;

 

Таким чином переконуємось, що реакції опор А і В знайдені правильно.

Відповідь: Х_А=2,296 кН, Y_A=4,62 кН, Х_В=-7,296 кН, Y_В=8,04 кН.

Загальне рівняння динаміки