Д.2 Використання теореми про рух центра мас для визначення переміщення тіл

 

Визначити переміщення призми 1 (рис. 2.1-2.5) по горизонтальній гладенькій поверхні, якщо центр мас тіла 2 опустився на відстань S відносно призми 1 (схеми 1-19) або тіло 2 повернулося на заданий кут навколо горизонтальної осі (схеми 20-30). В початковий момент часу матеріальна система знаходиться у спокої.

Дані для розрахунків наведені в табл. 2.1 ().

 

Таблиця 2.1

В-т

Рисунок 1-19

Рисунок 20-30

S, м

m ,кг

m ,кг

m3,кг

град

R,м

r,м

m кг

m кг

m3 кг

град

l, м

0,3   0,2   0,4   0,1   0,5   0,6   0,7   0,15   0,35   0,25

0,4   0,3   0,2   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,5   0,3

0,3   0,2   0,15   0,05   0,1   0,2   0,3   0,4   0,25   0,15

1.5

0,3   0,4   0,5   0,2   0,1   0,15   0,25   0,35   0,45   0,55

 

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4
Рисунок 2.5

Приклад виконання завдання

По похилій площині (рис. 2.6) призми 1 масою m₁=10кг спускається вантаж 2 (m₂=6кг), який тягне за допомогою невагомої нитки вантаж 3 масою m₃=4кг.

Знайти переміщення призми 1 по гладенькій горизонтальній площині, якщо тіло m₂ опустилось по похилій площині на S=0,5м.

Розв’язання. Покажемо зовнішні сили, які прикладені до матеріальної системи, що складається з призми 1 та тіл 2, 3. Такими силами є: P₁=m₁g – сила ваги призми, P₂=m₂g i P₃=m₃g – вага відповідно другого та третього вантажів, N – реакція гладенької горизонтальної поверхні.

 

Рисунок 2.6

 

Запишемо теорему про рух центра мас матеріальної системи в проекціях на вісь Х:

 

, (2.1)

 

де , - проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь Х.

Оскільки = 0, то = 0. Тоді .

В початковий момент часу система знаходилась у спокої і тому . Із формули (2.1) маємо:

 

.

 

Таким чином, координата Х_С центра мас матеріальної системи залишається сталою незалежно від переміщень тіл, що входять у систему.

Визначимо положення центра мас системи в початковий момент часу:

 

. (2.2)

 

Якщо вантаж 2 переміститься на величину , тоді тіло 3 – на , а призма 1 - і положення Х_С центра мас знайдемо за формулою:

 

. (2.3)

 

Враховуючи (2.2), із формули (2.3) отримаємо:

 

. (2.4)

 

Переміщення та складається із відносного по призмі і переносного разом із призмою.

 

 

Тепер із формули (2.4) знаходимо переміщення призми.

 

 

Знак “мінус” вказує на те, що призма 1 перемістилася в сторону, протилежну додатному напрямку осі Х.

Відповідь: призма 1 перемістилась вправо на 0,229 м.

Д. 3 Використання теореми про зміну головного вектора кількості руху системи для дослідження переміщення тіл

Електродвигун 1 (рис. 3.1 – 3.10) масою m₁ приєднується до системи нездеформованих пружин. На тілі 2 масою m₂ (однорідний диск радіуса R – варіант 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28; кільце радіуса R – варіант 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29; однорідний стержень ОА = R – варіант 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30), що з’єднане з ротором електродвигуна 1, закріплена матеріальна точка масою m_А на відстані ОА від осі ротора електродвигуна. Ротор обертається з постійною кутовою швидкістю ω. Пружини приєднані до електродвигуна таким чином, що його статор переміщується поступально, а точка 0 по осі х

Знайти закон руху корпуса електродвигуна, центр мас якого О переміщується по вертикалі, побудувати графік руху точки О протягом одного періоду при кутовій швидкості ω = n∙ ρ (ρ – частота, при якій спостерігається явище резонансу), якщо в початковий момент часу точка О зміщена із положення рівноваги на величину λ₀ і їй була надана швидкість ν₀, а тіло 2 почало обертатись навколо горизонтальної осі О з кутовою швидкістю ω.

Необхідні для розрахунку дані наведені в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

Варіант	m1, кг	m2, кг	mА, кг	R, м	с1, Н/м	с2, Н/м	с3, Н/м	n	λ0, м	ν0, м/с
			0,6	0,2	2·10^3	3·10^3	1,5·10^3	0,7	3·10^-2
			0,7	0,21	3·10^3	2·10^3	4·10^3	0,65	2,5·10^-2	1,5
			0,8	0,22	4·10^3	1·10^3	5·10^3	1,2	2·10^-2	0,5
			0,9	0,25	5·10^3	6·10^3	1·10^3	0,63	-1,5·10^-2
			1,0	0,3	6·10^3	4·10^3	2·10^3	0,75	-10^-2	-1,5
			0,5	0,15	1·10^3	8·10^3	3·10^3	0,8
		1,5	0,6	0,16	2·10^3	3·10^3	5·10^3	0,55	5·10^-2
		2,5	0,7	0,17	3·10^3	7·10^3	2·10^3	1,3	4·10^-2	-2,5
		3,5	0,8	0,18	4·10^3	9·10^3	1·10^3	1,25	-3,5·10^-2	0,5
		4,5	0,9	0,19	5·10^3	3·10^3	6·10^3	1,3	0,5·10^-2	-2,5

 

 

Рисунок 3.1

 

Рисунок 3.2

 

Рисунок 3.3

 

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Рисунок 3.7

Рисунок 3.8

Рисунок 3.9

Рисунок 3.10

Приклад виконання завдання

Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m₂ = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m₂ = 2 кг та довжиною м, матеріальна точка масою m_А= 0,5 кг, яка знаходиться в точці А (ОА=2/3 ).

Система пружин жорсткістю С₁=2·10³Н/м, С₂=3·10³Н/м, та С₃=4·10³Н/м знаходиться у положенні статичної рівноваги.

В деякий момент часу точку О зміщують із положення рівноваги вверх на х₀=2см і надають швидкість ν₀ = 3 м/с вертикально вниз. Одночасно ротор електродвигуна починає обертатись із постійною кутовою швидкістю ω = 1/2·ρ (ρ – частота збурювальної сили) навколо горизонтальної осі.

Знайти закон та побудувати графік (при , де T – період) руху центра мас (точка О) електродвигуна.

Рисунок 3.11

 

Розв’язання. Систему пружин замінюємо однією еквівалентною пружиною жорсткістю С

,

де

С₁₃ = С₁·С₃ /(С₁+С₃) = 2·10³·4·10³/(2·10³+4·10³) = 4/3·10³ Н/м.

 

λ

Рисунок 3.12

 

Розглянемо рух невільної системи тіл (рис. 3.11): електродвигуна 1, двох однорідних стержнів 2, двох матеріальних точок А. Центр мас О електродвигуна зміщений із положення статичної рівноваги на величину х (рис. 3.12), а стержні 2 повернулися на кут φ навколо горизонтальної осі О. Дію в’язі (пружину жорсткістю С) замінюємо реакцією в’язі – силою F_пр. Оскільки в точці деформація пружин дорівнює нулю, то

 

F_пр= С· (х+λ), (3.1)

де λ – статична деформація пружин, яка знаходиться за формулою

λ= (P₁+2P₂+2P_A) /C,

де P₁,P₂,P_A – вага відповідно тіл 1,2 та матеріальної точки А.

Кутова швидкість обертання ротора

 

,

 

оскільки при явищі резонансу частота збурювальної сили p дорівнює власній частоті коливань системи k= (m – маса системи)

Для дослідження руху корпуса електродвигуна (рис.3.12) використаємо теорему про зміну головного вектора кількості руху системи в проекції на вісь х.

 

(3.2)

 

, (3.3)

 

Проекція Q_х головного вектора кількості руху системи на вісь х

 

. (3.4)

 

Використовуючи теорему додавання швидкостей, отримаємо проекцію швидкості точки А і швидкості центра мас тіл 2 на вісь х (рис.3.12).

(3.5)

,

де .

Тепер формула (3.4), враховуючи (3.5), запишеться:

Q_х= ( +2m ₂ +2m )-( m ₂ + m ) (3.6)

 

Підставляючи значення Q_х (3.6) та F_x^e (3.3) в теорему (3.2), отримаємо диференціальне рівняння:

 

.

Або , (3.7)

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7) складається із загального розв’язку однорідного диференціального рівняння ₁ + х₁ =0, а саме:

 

х₁=B₁coskt + B₂ sinkt (3.8)

 

та частинного розв’язку х₂ неоднорідного диференціального рівняння (3.7), який будемо шукати у вигляді:

 

х₂=B₃ cosωt. (3.9)

 

Із (3.7) враховуючи (3.9), знаходимо B₃

 

- ω²B₃cosωt + k²B₃cosωt = h₀cosωt,

.

 

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7)

(3.10)

 

Постійні інтегрування B₁ та B₂ визначимо із початкових умов:

.(3.11)

Швидкість V точки О (рис.3.12)

Із рівнянь (3.10), (3.12) та початкових умов (3.11) знаходимо постійні інтегрування B₁ та B₂ .

-0,02 = B₁+0,007, 3 = 22,86 B_2. B₂ = 0,13 м; B₁ = -0,027м.

Тепер рівняння (3.10) руху точки О електродвигуна запишеться:

x=-0,027cos(22,86t) +0,13sin(22,86t)+0,007cos(11,43t). (3.13)

 

Рисунок 3.13

 

На рис.3.13 наведений графік руху точки О корпуса електродвигуна, який отриманий на підставі формули (3.13).

 

Відповідь: