Д.4 Використання теореми про зміну кінетичного моменту для дослідження руху матеріальної системи

Матеріальна система (рис. 4.1-4.5) приводиться до руху моментом М, що прикладений до однорідного тіла 3. Знайти закон руху тіла 1, якщо на тіло 2 діє постійний момент опору М.

В початковий момент часу кутова швидкість тіла 3 - w₃₀. Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати. Тіла 2 та 3 обертаються навколо горизонтальних осей.

Дані для розрахунку наведені в таблиці 4.1. Де R₂, r₂, R₃ – розміри тіла 2 та 3; і₂ – момент інерції тіла 2 відносно осі обертання; m₁, m₂, m₃ – маси тіл 1, 2 та 3.

 

Таблиця 4.1

Варіант	R2, м	R3, м	r2, м	і2, м	m1, кг	m2, кг	m3, кг		М, Н×м	МОП , Н×м
	0,4   0,3   0,5   0,6   0,55   0,3   0,35   0,25   0,15   0,55	0,25   0,2   0,3   0,5   0,3   0,15   0,25   0,1   0,05   0,4	0,2   0,1   0,2   0,4   0,25   0,2   0,2   0,2   0,2   0,35	0,3   0,2   0,4   0,5   0,35   0,3   0,25   0,2   0,1   0,4	7,5	0,5   1,5   2,5   3,5   4,5	1,0   2,0   3,0       1,5   2,5   3,5   4,5   5,5		65+t   50+t^2   25+4t^2   75+2t^2   65+t   85+6t^2   15+3t   20+7t^2   95+7t   13+9t

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

Рисунок 4.3

Рисунок 4.4

Рисунок 4.5

Приклад виконання завдання

 

До вантажу 1 (рис. 4.6) масою m₁=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом r₂ (m₂ = 2кг). Механічна система приводиться до руху моментом , прикладеним до східчастого шківа 3 масою m₃=3кг.

Знайти закон руху вантажу 1, якщо на тіло 2 діє момент опору

М_ОП = 15 Н×м і при t = 0 кутова швидкість тіла . Більший радіус у шківа 2 - R₂=0,4м, менший – r₂ = 0,2м, радіус інерції – і₂ = 0,3м. Тіла 3 та 4 мають однакові маси m₃=m₄ і розміри R₃ = R₄ = 0,3м. Тіла 2,3 та 4 обертаються навколо горизонтальних нерухомих осей, а тіло 1 переміщується поступально.

Рисунок 4.6

 

Розв’язання. Розглянемо окремо рух тіл 2 і 3 та механізму наведеного на рис. 4.6

До тіла 3 (рис. 4.7) прикладені зовнішні сили: пара сил з моментом М, сила тяжіння P₃=m₃g, реакції циліндричного шарніра X₃ і Y₃, реакції тіла 2 – колове зусилля S₃ і сила нормального тиску N₃.

Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 3 навколо нерухомої осі враховуючи, що якщо момент зовнішніх сил діє у напрямку руху тіла, тоді записуємо його з додатним знаком.

,

де - момент інерції тіла відносно осі z;

- кутове прискорення тіла 3;

- момент зовнішніх сил, прикладених до тіла 3, відносно осі z.

Таблиця 4.2 - Осьові моменти інерції однорідних тіл

Форми тіла	Іх	Іу	Іz
Кільце
Кругла пластина
Стержень
Прямокутна пластина

 

Рисунок 4.7

. (4.1)

Початкові умови:

при t=0, , . (4.2)

На тіло 2 (рис. 4.8) діють такі зовнішні сили: сила тяжіння P₂=m₂g, реакції циліндричного шарніра X₂ та Y₂, натяг троса S₂ (трос працює тільки на розтяг), реакції тіла 3 – та , які за третім законом Ньютона направлені в протилежні сторони сил S₃ та N₃ (рис. 4.7).

Диференціальне рівняння обертання тіла 2 (рис. 4.8) навколо горизонтальної осі Z.

, (4.3)

де - момент інерції тіла 2 відносно осі Z.

Оскільки , то рівняння (4.3) запишеться у вигляді

. (4.4)

До тіл 1 та 4 (рис. 4.9) прикладені зовнішні сили: сили тяжіння P₁=m₁g та P₄=m₄g, реакція троса , реакції циліндричного шарніра X₄ та Y₄.

 

 

Рисунок 4.8

 

Теорема про зміну кінетичного моменту для тіл 1 та 4 (рис. 4.9) в проекціях на вісь Z запишеться:

, (4.5)

де L_Z – кінетичний момент системи тіл 1 та 4 відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил.

Рисунок 4.9

Кінетичний момент L_Z складається із моменту кількості руху L_Z1

тіла 1 та кінетичного моменту L_Z4 тіла 4 відносно осі Z

L_Z1 = m₁V₁R₄, (4.6)

L_Z4 = I_Z4ω₄. (4.7)

Враховуючи, що , а , кінетичний момент системи L_Z визначимо за формулою

Тепер диференціальне рівняння (4.5) набуває вигляду

. (4.8)

Якщо до диференціальних рівнянь (4.1), (4.4), (4.8) додати кінематичні співвідношення

(4.9)

тоді отримаємо систему шести рівнянь в які входять невідомі:

Розв’язуючи систему рівнянь (4.1), (4.4), (4.8), (4.9) маємо:

.

З урахуванням того, що m₁=20кг, m₂=2кг, m₃=m₄=3кг, r₂=0,2м, R₂=0,4м, і₂=0,3м, R₃=R₄=0,3м, М = (16+11t²) , M₀=15 , g=9,81 , отримаємо

. (4.10)

Для визначення закону руху тіла 1, інтегруємо двічі диференціальне рівняння (4.10), беручи до уваги початкові умови (4.2)

Перший інтеграл диференціального рівняння (4.10)

Закон руху тіла 1: м.

 

Відповідь: м.

 

Д.5 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для вивчення руху матеріальної системи

Матеріальна система(рис.5.1-5.5) рухається із стану спокою під дією сили тяжіння. Знайти прискорення та швидкість тіла 1 у момент часу, коли воно пройде шлях S (S₁=0.4м). Масами шнурів, силами опору в шарнірах знехтувати. Тіла котяться по поверхнях без ковзання.

Величини для розрахунків наведені в табл. 5.1, де прийнято такі позначення: m₁,m₂,m₃ – маси тіл 1, 2, 3; R₂, r₂, R₃, r₃ — найбільші та найменші розміри ступінчастих шківів тіл 2 та 3; ρ_2x, ρ_3x — радіуси інерції ступінчастих шківів 2 та 3 відносно осі обертання; α, β кути нахилу площин до горизонту. Якщо тіла 2 або 3 однорідні, тоді при розрахунках брати відповідно R₂, R₃. Шнури над похилими площинами паралельні цим площинам.

 

Таблиця 5.1

Варіант	m1, кг	m2, кг	m3, кг	R2, м	r2, м	R3, м	r3, м	ρ2x, м	ρ3x, м	α, град
				0.6	0.5	0.5	0.3	0.6	0.4
				0.8	0.6	0.7	0.4	0.7	0.6
				0.65	0.5	0.6	0.4	0.5	0.5
		0.5	1.5	0.5	0.4	0.45	0.2	0.45	0.3
		0.75	1.25	0.4	0.3	0.3	0.15	0.35	0.2
				0.4	0.35	0.35	0.25	0.3	0.3
		0.3		0.3	0.2	0.25	0.15	0.2	0.2
		0.2	0.3	0.2	0.15	0.25	0.2	0.2	0.25
				0.7	0.6	0.6	0.3	0.65	0.5
				0.75	0.65	0.65	0.45	0.7	0.5

Рисунок 5.1

Рисунок 5.2

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

Рисунок 5.5

Приклад виконання завдання

 

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S₁, якщо матеріальна система (рис.5.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m₁=10 кг, m₂=2 кг, m₃=1 кг, R₂=0,4 м, r₂=0,3м, R₃=0,3 м, r₃=0,2 м, ρ₂=0,35 м, ρ₃=0,25 м, α=30˚, β=45˚, S₁=0,4 м.

 

Рисунок 5.6

 

 

Розв’язання. Для дослідження руху матеріальної систем (рис.5.6) застосуємо теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи в диференціальній формі.

=∑N^е+∑N^і, (5.1)

де Т — кінетична енергія системи при 0<х≤S1;

∑N^і та ∑N^е− сума потужностей внутрішніх та зовнішніх сил системи.

Матеріальна система (рис.5.6) складається із твердих тіл та нерозтяжних шнурів, тоді

 

∑ N^і=0. (5.2)