Д.8 Додаткові динамічні реакції в'язей твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі

 

Однорідні тіла 1 та 2 (рис. 8.1 - 8.10) обертаються навколо нерухомої осі z під дією моменту М. Центри мас тіл зміщені від осі обертання (статична неврівноваженість тіл) на величини е₁ та е₂, відповідно. Знайти додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t = t₁, і порівняти їх зі статичними, якщо при t = 0 кутова швидкість тіл .

Дані для розрахунку наведені в табл. 8.1. Якщо (табл. 8.1) має від'ємний знак, то початкова кутова швидкість направлена в протилежну сторону моменту М.

 

Таблиця 8.1

В-т	m1, кг	m2, кг	e1, мм	e2, мм	, град	l 1, м	l 2, м	a, м	b, м	М, Н·м	, c^-1	R1, м	R2, м	t 1, c
			0,1	0,2		0,2	0,3	0,1	0,15	6+4t^2		0,2	0,35
			0,15	0,19		0,3	0,4	0,15	0,14	4+3t	-5	0,22	0,33
			0,18	0,1		0,4	0,5	0,13	0,13	8+3t^2		0,24	0,31
			0,19	0,11		0,1	0,2	0,12	0,12	8t		0,26	0,29
			0,2	0,12		0,2	0,3	0,11	0,11	7+3t^3	-10	0,28	0,26
			0,1	0,13		0,3	0,4	0,1	0,1	3+t^2		0,3	0,25
			0,11	0,18		0,4	0,35	0,2	0,2	2+3t^2		0,32	0,23
			0,12	0,17		0,5	0,2	0,19	0,19	1+6t^3	-15	0,34	0,21
			0,13	0,16		0,1	0,3	0,18	0,18	5+3t^2		0,36	0,19
			0,14	0,15		0,2	0,4	0,17	0,17	3+5t	-5	0,4	0,15

 

Приклад виконання завдання

До системи однорідних тіл 1 та 2 (рис. 8.11), що обертаються з кутовою швидкістю = 6с^-1, прикладається обертальний момент

М = (3+7t) Н · м. Знайти статичні та додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В при t₁ = 2с, якщо: m₁=3 кг; m₂=5 кг; е₁=0,1 мм;е₂= 0,3 мм; l₁= 0,25 м; l₂ = 0,25 м; а = 0,05 м; b = 0,15 м; R₁=0,1 м; R₂=0,2 м.

 

 

Розв'язання. Переміщенню тіл 1 та 2 (рис 8.11) перешкоджають в'язі: нерухомі (циліндричні) шарніри А і В. На підставі аксіоми звільнення від в'язей, дію шарнірів А і В та тіла замінюємо реакціями в'язей – Y_A, X_A, Y_B, X_B (рис. 8.12).

 

 

 

Рисунок 8.1

 

 

Рисунок 8.2

 

 

 

 

Рисунок 8.3

 

 

 

 

Рисунок 8.4

 

 

 

Рисунок 8.5

 

 

 

Рисунок 8.6

 

 

 

Рисунок 8.7

 

 

 

Рисунок 8.8

 

 

 

Рисунок 8.9

 

 

Рисунок 8.10

 

 

 

Рисунок 8.11

 

Реакції Y_A, X_A, Y_B, X_B запишемо як суму статичних Y_A^C, X_A^C, Y_B^C, X_B^C та додаткових динамічних реакцій Y_A^∆, X_A^∆, Y_B^∆, X_B^∆.

Y_A = Y_A^C + Y_A^∆, X_A = X_A^C + X_A^∆, (8.1)

Y_B = Y_B^C + Y_B^∆, X_B = X_B^C + X_B^∆.

Статичні реакції в'язей визначаються при = 0, = 0 з рівнянь (рис.8.12):

(8.2)

де

Розв’язуючи систему рівнянь, маємо:

.

 

Таким чином: R_A^C = 54,85 Н, R_B^C = 23,63 Н.

 

Для визначення реакцій циліндричних шарнірів А і В (рис.8.12), використаємо принцип Д’Аламбера:

В проекціях на осі X, Y, Z

(8.3)

де сили інерції, зведені до центрів D і K;

де ε – кутове прискорення;

ω – кутова швидкість тіл;

- моменти інерції тіл відносно осі Z; M=(3+7t)

Із останнього рівняння системи (8.3) знайдемо кутову швидкість ω та кутове прискорення ε тіл.

,

де .

 

Оскільки , тоді

. (8.4)

Інтегруємо диференціальне рівняння (8.4) при початкових умовах: при

t₁= 0,

(8.5)

Звідки: .

Визначимо кутове прискорення (8.4) та кутову швидкість (8.5) при t₁ = 2 c.

де .

Додаткові динамічні реакції опор А і В знайдемо із перших чотирьох рівнянь системи (8.3), враховуючи (8.1) та (8.2)

де

Або:

(8.6)

 

Із рівнянь (8.6) знаходимо складові додаткових динамічних реакцій циліндричних шарнірів: , при

Додаткові динамічні реакції циліндричних шарнірів А і В

При додаткові динамічні реакції шарнірів складають 59% для шарніра А та 33,6% для шарніра В від статичних реакцій в’язей.

Відповідь: R^∆_A = 31,94 н, R^∆_В = 7,95 н.

Принцип Лагранжа

Д. 9 Визначення реакцій в’язей врівноваженого плоского механізму за допомогою принципу віртуальних переміщень

 

Плоский механізм, що зображений на рисунках 9.1 – 9.5 в тридцяти варіантах, знаходиться в рівновазі під дією сил і моменту . Розміри ланок, кути, значення і наведені в таблиці 9.1 по варіантах.

 

Таблиця 9.1

Варіант	Н		см	град.
Р	М	r1	R1	r2	R2	l	a	b

 

Застосовуючи принцип віртуальних переміщень, визначити силу , якщо ланки механізму є ідеальними твердими тілами, а тертя відсутнє.

Приклад виконання завдання

Плоский механізм, що зображений на рисунку 9.6, знаходиться в рівновазі під дією сил і моменту . Знайти силу , якщо сила перпендикулярна до горизонтальної лінії ОД. В остаточних розрахунках прийняти, що м, м, кН м, кН,

Розв’язання. Застосовуємо принцип віртуальних переміщень.

. (9.1)

Надаємо точкам механізму можливі переміщення, які не порушують умов ідеальних в’язей. Якщо стержень ОВ повернеться навколо осі О на малий кут , то точки А і В набувають лінійних переміщень і , відповідно. Переміщення зображаємо на рис. 9.7. Можливе переміщення для точки D - .

 

Рисунок 9.1

Рисунок 9.2

Рисунок 9.3

 

Рисунок 9.4

Рисунок 9.5

 

 

Рисунок 9.6 Рисунок 9.7

 

Згідно з принципом (9.1) запишемо суму віртуальних робіт для силових навантажень M, P і F.

. (9.2)

 

Встановимо залежність між переміщеннями і виразимо , і через .

Для ланки ОВ: .

Для ланки АD на основі того, що проекції переміщень на вісь, що проходить через точки А і D, буде: .

Тому:

 

. (9.3)

 

Підставляємо переміщення (9.3) в рівняння (9.2)

 

.

 

Переміщення , тому після скорочення на і спрощення отримаємо:

 

. (9.4)

 

Підставляємо дані:

 

 

Відповідь: F = 0,61 кН.