Видмиш А. А., Приятельчук В. О., Федотов В. О.

Теоретична механіка. Динаміка. Розрахунково-графічні та контрольні завдання. Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2008. -143с.

Збірник уміщує 13 завдань із динаміки точки, твердого тіла, матеріальної системи. Кожне завдання має триста варіантів з прикладом виконання. Для студентів денної та заочної форм навчання.

 

УДК 531(075)

 

© А. А. Видмиш, В. О. Приятельчук, В. О. Федотов, 2009

Зміст

Порядок та основні вимоги до виконання роботи.................................... 5

Розрахунково-графічні та контрольні завдання....................................... 6

............................................... Динаміка точки……………………………... 6

Д.1 Дослідження руху точки.............................................................. 6

1.1 Приклад виконання завдання........................................................... 10

Динаміка системи…………………………..15

Д.2 Використання теореми про рух центра мас для визначення

переміщення тіл........................................................................................ 15

2.1 Приклад виконання завдання........................................................... 21

Д.3 Використання теореми про зміну головного вектора кількості

руху системи для дослідження переміщення тіл..................................... 23

3.1 Приклад виконання завдання........................................................... 34

Д.4 Використання теореми про зміну кінетичного моменту для

дослідження руху матеріальної системи................................................. 38

4.1 Приклад виконання завдання........................................................... 44

Д.5 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для

вивчення руху матеріальної системи....................................................... 49

5.1 Приклад виконання завдання............................................................ 55

Д.6 Дослідження руху матеріальної системи із застосуванням

основних (загальних) теорем динаміки................................................... 60

6.1 Приклад виконання завдання........................................................... 60

6.1.1 Визначення зусиль в пасах та між тілами..................................... 74

6.1.2 Визначення реакцій циліндричних шарнірів................................ 76

Принцип Д’Аламбера………………….......78

Д.7 Застосування принципу Д’Аламбера для визначення реакції

в’язей........................................................................................................ 78

7.1 Приклад виконання завдання........................................................... 84

Д.8 Додаткові динамічні реакції в’язей твердого тіла, що

обертається навколо нерухомої осі......................................................... 88

8.1 Приклад виконання завдання........................................................... 88

Принцип Лагранжа……………………….102

Д.9 Визначення реакцій в’язей врівноваженого плоского

механізму за допомогою принципу віртуальних переміщень............. 102

9.1 Приклад виконання завдання......................................................... 102

Д.10 Визначення опорних реакцій для складної статичної

конструкції за допомогою принципу віртуальних переміщень........... 110

10.1 Приклад виконання завдання....................................................... 110

Загальне рівняння динаміки.......................122

Д.11 Розрахунок характеристик руху механічної системи за

допомогою загального рівняння динаміки........................................... 122

11.1 Приклад виконання завдання....................................................... 122

 

 

Рівняння Лагранжа 2-го роду…………….132

Д.12 Дослідження руху матеріальної системи з використанням

рівняння Лагранжа 2-го роду................................................................ 132

12.1 Приклад виконання завдання....................................................... 132

Д.13 Дослідження вільних коливань матеріальної системи............ 135

13.1 Приклад виконання завдання....................................................... 135

Література........................................................................................... 142

 

 

Порядок та основні вимоги до виконання роботи

З розділу „Динаміка” студенти виконують одну розрахунково-графічну або контрольну роботу. Студенти вибирають варіант схеми (рисунки) за двома останніми цифрами (шифр) залікової книжки (за винятком завдання Д.1) з таблиці 1, а дані для розрахунку – за останньою цифрою шифру з таблиць, що наведені в завданнях. В завданні Д.1 за останньою цифрою шифру вибирається схема, а за двома останніми – дані для розрахунку.

 

Таблиця 1

Варіант	Шифр
...	01, 31, 61, 91 02, 32, 69, 92 ..................... 29, 59, 89 30, 60, 90, 00

 

Студенти денної форми навчання оформляють розрахунково-графічне завдання відповідно до діючих стандартів ЄСКД (ГОСТ 2.105-95 або ДСТУ 3008-95).

Студенти заочної форми навчання можуть виконувати завдання в зошитах. На титульні сторінці зошита вказується номер контрольної роботи, назва дисципліни, прізвище та ініціали студента, шифр, факультет, група і домашня адреса.

Розв’язання кожної задачі потрібно починати на розвороті зошита (з лівої сторінки), так, щоб розрахункова схема та формули, складені за нею, знаходились поряд. На початку сторінки пишеться номер завдання, варіант і наводиться коротка умова задачі (що відомо та що потрібно знайти). Розрахункові схеми (рисунки) виконуються за допомогою креслярських приладів. Розрахунки необхідно супроводжувати короткими поясненнями. На кожній сторінці залишають поля для зауважень рецензента. Якщо робота висилається на повторну перевірку (при виконанні її у другому зошиті) обов’язково прикладається незарахована робота.

Після зарахування усіх задач студент повинен до іспиту захистити роботу. Графік захисту планується деканом.

 

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

Динаміка точки

Д.1 Дослідження руху точки

Невільна матеріальна точка масою m (рис.1.1) рухається протягом τ с. по шорсткій поверхні ОА (коефіцієнт тертя ковзання f). В пункті А матеріальна точка із швидкістю залишає поверхню ОА і через Т_с падає в точку В ділянки АВ із швидкістю . Знайти і побудувати траєкторію руху точки на ділянці АВ та її швидкість в точці В.

Якщо точка рухається під дією постійних сил (табл.1.1), прийняти (рис.1.1), що сила , а при змінних силах (табл. 1.2) сила опору руху точки на ділянці АВ має напрямок протилежний вектору швидкості точки.

 

Рисунок 1.1

 

 

Рисунок 1.1 (продовження)

 

 

Таблиця 1.1

Варіант		l =ОА, м	τ, с	α, град	f
					0,10
					0,15
					0,20
					0,11
					0,12
			1,5		0,13
					0,14
					0,15
					0,16
					0,17
					0,18
					0,19
					0,10
					0,11
					0,12
					0,13
					0,14
					0,15
					0,16
					0,17
					0,18
					0,19
					0,20
					0,11
					0,12
					0,13
					0,14
					0,15
					0,16
			0,5		0,17

Таблиця 1.2

Варіант		τ, с	α, град	f	, H	, H
Схеми 1,6,7-0 (рис. 1.1),	Схеми 2-5 (рис. 1.1),
				0,20
				0,18
				0,16
				0,14
				0,12
				0,10
				0,20
				0,18
				0,16
				0,14
				0,12
				0,10
				0,20
				0,18
				0,16
				0,14
				0,12
				0,10
				0,11
				0,12
				0,13
				0,14
				0,15
				0,16
				0,17
				0,18
				0,19
				0,20
				0,21
				0,22

Приклад виконання завдання

На невільну матеріальну точку масою m, що рухається по похилій шорсткій поверхні ОА (рис. 1.2), діє сила H. Із швидкістю точка залишає поверхню ОА. На ділянці АВ точко переміщується в середовищі з опором, сила якого Н.

 

 

Рисунок 1.2

 

Знайти і побудувати траєкторію руху точки на ділянці АВ, її швидкість в пункті В якщо: коефіцієнт тертя ковзання – f = 0,25; початкова швидкість точки v₀ = 0,5 м/c; τ = 2 с; d = 2,0 м.

Розв’язання. Точка масою m на ділянці ОА переміщується під дією сил: ваги , сили , нормальної реакції шорсткої поверхні та сили тертя (рис. 1.3).

Запишемо закон руху точки на ділянці ОА

в проекціях на осі Х₁ та У₁.

. (1.1)

. (1.2)

 

 

Рисунок 1.3

 

Силу тертя знайдемо за законом Амонтона-Кулона, який при переміщені точки з невеликою швидкістю запишеться:

. (1.3)

 

Оскільки точка рухається по прямій ОА, тоді , і з рівняння (1.2) отримаємо:

, (1.4)

де .

Диференціальне рівняння (1.1), враховуючи (1.3) та (1.4) і значення сили F, набуває вигляду:

Або

(1.5)

Інтегруємо диференціальне рівняння (1.5) при початкових умовах: при, , .

,

,

. (1.6)

 

Відстань ОА точка проходить за τ с і її швидкість v_A в точці А знаходимо за формулою (1.6) при t₁= τ

,

.

На ділянці АВ (рис. 1.4) точка рухається під дією сили ваги та сили опору , що направлена в протилежну сторону швидкості точки.

 

 

Рисунок 1.4

 

Запишемо диференціальне рівняння руху точки в проекціях на осі Х та У.

(1.7)

. (1.8)

де , , .

Тоді

.

.

Або

. (1.9)

. (1.10)

При t =0; (1.11)

Оскільки , , то в диференціальних рівняннях (1.9) та (1.10), розподіляючи, змінні, отримаємо:

,

.

Інтегруючи рівняння при початкових умовах (1.11), знаходимо:

 

, .

, .

Або

. (1.12)

. (1.13)

Інтегруємо рівняння (2.12) та (2.13) при початкових умовах (1.11).

.

.

Або

 

. (1.14)

. (1.15)

 

Із рівняння (1.14) та (1.15) знаходимо рівняння траєкторії руху точки на ділянці АВ.

 

. (1.16)

 

Будуємо траєкторію руху точки (рис.1.5,б), використовуючи рівняння(1.16) (рис. 1.5,а) або формули (1.14) та (1.15).

t x y y/x 0,1 1,686 1,03 0,61 0,3 2,011 1,33 0,66 0,7 2,02 1,55 0,77   2,02 1,72 0,85 1,5 2,02 1,99 0,98   2,02 2,26 1,12

 

а) б)

Рисунок 1.5

 

Знайдемо швидкість точки v_B. При t₂=T, x_T=d; тоді із рівняння (1.14) визначаємо час Т руху точки на ділянці АВ.

 

,

 

.

 

На підставі рівняння (1.12) та (1.13) визначаємо проекції швидкості по осі Х та У (t₂=T)

 

.

 

.

 

Швидкість точки в пункті В ділянки АВ.

 

,

 

.

 

На ділянці АВ швидкість точки зменшилась від v_A =42,06 м/с до v_В =0,82 м/с,тобто в раза за рахунок сили опору.

 

Відповідь: , .

Динаміка системи