Диференціальне рівняння (5.1), враховуючи (5.2) набуває вигляду

=∑ N^е. (5.3)

Знайдемо кінематичні співвідношення між швидкостями точок, кутовими швидкостями тіл, записавши їх через швидкість V₁ центра мас тіла1.

Кутова швидкість тіла 1, враховуючи, що миттєвий центр швидкості тіла 1 знаходиться в точці О₁ (рис.5.6)

ω ₁= , (5.4)

де R₁ – радіус однорідного суцільного диска (тіла) 1.

Кутова швидкість тіла 2

(5.5)

Швидкість точки А, враховуючи, що тіла 2 та 3 з’єднані нерозтяжним шнуром.

. (5.6)

Оскільки точка О₃ – миттєвий центр швидкості тіла 3, тоді

 

. (5.7)

Із (5.6) та (5.7) визначаємо кутову швидкість тіла 3

. (5.8)

 

Швидкість V₃ центра мас тіла 3

. (5.9)

Знайдемо переміщення центра мас тіла 3.

Оскільки (5.10)

 

i, враховуючи (5.9), отримаємо

або

. (5.11)

При t = 0, S₁ = 0, та S₃ = 0 і після інтегрування (5.11) маємо:

. (5.12)

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної системи як суму кінетичних енергій тіл 1,2 та 3.

Т=Т₁+Т₂+Т₃. (5.13)

,

де − момент інерції тіла 1 відносно центральної осі. Тоді, враховуючи (5.4),

. (5.14)

Тіло 2 обертається навколо горизонтальної осі і кінетична енергія знаходиться за формулою

де І₂ = − момент інерції тіла 3 відносно головної центральної осі;

ω ₂ − кутова швидкість тіла 2 (5.5). Тоді

. (5.15)

Кінетична енергія тіла 3

,

де І₃ = − момент інерції тіла 3 відносно головної центральної осі;

- (5.8);

− швидкість центра мас тіла 3.

. (5.16)

Тепер кінетичну енергію (5.13) системи, враховуючи (5.14) – (5.16), визначимо за формулою

. (5.17)

Покажемо зовнішні сили, що прикладені до матеріальної системи (рис.5.6). Знайдемо суму потужностей зовнішніх сил.

Потужність сил , , дорівнює нулю тому, що точка О₂ прикладення сил нерухома.

Потужність сил , , , , дорівнює нулю, оскільки сили прикладені в миттєвих центрах швидкостей тіла 1 та 3.

Потужність зовнішніх сил, під дією яких рухається матеріальна система (рис. 5.6)

 

,

де

 

Тоді, враховуючи що (5.9)

 

отримаємо

 

(5.18)

 

Підставляючи (5.17) і (5.18) в (5.3), маємо

 

(5.19)

 

Оскільки (а₁ – прискорення центра мас тіла 1), тоді

 

.

 

Або, підставляючи дані умови задачі,

 

.

 

 

Знайдемо швидкість центра мас тіла 1.

Рівняння (5.19) запишемо у вигляді:

(5.20)

 

При t=0, V₁₀=0, S₁₀=0.

При t=t, V_1t=V₁, S_1t=S₁ , (5.21)

 

де t - час, за який центр мас тіла 1 пройде шлях S₁.

Інтегруючи рівняння (5.20) за умовами (5.21), визначаємо швидкість центра мас тіла 1 за час t ().

 

 

або підставляючи числові дані, отримаємо:

 

 

Відповідь: ; .

 

 

Д.6 Дослідження руху матеріальної системи з застосуванням основних (загальних) теорем динаміки

Матеріальна система (рис.6.1-6.10) приводиться до руху електродвигуном 5, момент якого в період пуску .

Знайти прискорення (схеми 1-3, 5-10, 12-17, 19-30) або кутове прискорення (схеми 4,11,18) тіла 1, зусилля в пасах та між тілами, реакції циліндричних шарнірів тіл 2 і 3 в момент часу якщо момент опору руху .

Натяг у ведучій частині нескінченного паса (схеми 5,10-13,16,18,22, 25,27,28,30) вдвічі більший від натягу у веденій.

Однорідне тіло 3 та східчастий шків 2 обертаються навколо паралельних осей.

В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Коефіцієнт тертя ковзання між тілами дорівнює f. Тіло 1 (схеми 2,10,19,30) переміщується по гладенькій похилій площині.

Масами пасів та їх ковзанням по шківах знехтувати.

Дані для розрахунку взяти з таблиці 6.1, де прийняті такі позначення: - маса тіл 1,2 та 3; - маса пружної муфти; - маса ротора електродвигуна; - моменти інерції пружної муфти 4 та ротора електродвигуна 5 відносно осі обертання; - розміри тіл 3 та 2; - радіус інерції тіла 2.

 

 

Приклад виконання завдання

Матеріальна система (рис. 6.11) починає рухатись із стану спокою під дією моменту електродвигуна 5. Осі тіл 1 та 2 горизонтальні. Коефіцієнт тертя між тілами f. В точках контакту тіл ковзання відсутнє. Масою паса знехтувати.

Визначити при прискорення тіла 3, натяг у веденій 6 та ведучій 7 () частині паса (), зусилля в точці контакту тіл 2 та 3, реакції в’язей циліндричних (нерухомих) шарнірів тіл 1 та 2 якщо момент опору (рис. 6.11), а тіло 1 - однорідний диск.

Прийняти: м; м; м; м; кг; кг; кг;

Розв’язання. Для визначення прискорення тіла 3 (рис. 6.12) використаємо теорему про зміну кінетичної енергії в диференціальній формі.

 

Рисунок 6.1

 

 

Рисунок 6.2

 

Рисунок 6.3

 

Рисунок 6.4

Рисунок 6.5

Рисунок 6.6

Рисунок 6.7

 

 

Рисунок 6.8

Рисунок 6.9

Рисунок 6.10

Рисунок 6.11

 

(6.1)

 

де Т – кінетична енергія системи;

- сума потужності зовнішніх сил системи;

- сума потужності внутрішніх сил системи;

- тіла тверді, а пас абсолютно гнучкий та нерозтяжний.

Кінетична енергія системи складається із кінетичної енергії тіл, що входять в систему

.

Тіла 1,2,4 та 5 обертаються навколо нерухомих горизонтальних осей і їх кінетична енергія знаходиться за формулами:

 

(6.2)

де - моменти інерції відповідно тіл 1 та 2;

- кутові швидкості тіл.

(6.3)

 

Взаємозв’язок між кінетичними характеристиками руху тіл

(рис. 6.12)

(6.4)

 

 

 

Таблиця 6.1

 

 

Тіло 3 переміщується поступально із швидкістю , тоді

Запишемо кінетичну енергію системи, враховуючи (6.2), (6.3) та (6.4) як функцію швидкості тіла 3

 

(6.5)

 

де зведена маса системи.

 

Рисунок 6.12

 

Знайдемо суму потужності зовнішніх сил (рис. 6.12) матеріальної системи: сили тяжіння , моменту електродвигуна , моменту опору ; реакції нерухомих (циліндричних) шарнірів х₁, у₁, х₂, у₂ , N_А, N_В.

Потужність сил P₁, P₂, P₃, P₄, x₁, y₁, x₂, y₂, N_A і N_B дорівнює нулю тому, що точки прикладання сил не переміщуються.

Тоді

 

,

 

де

Або

(6.6)

 

Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи (6.1) з врахуванням (6.5) та (6.6) запишеться:

 

. (6.7)

 

Оскільки тоді

 

. (6.8)

 

Підставляючи дані умови задачі, отримаємо:

 

.

 

При t₁ =1.5 c, a₃ =3,74 м/с².

Кутові прискорення тіл 1 та 2