Д.11 Розрахунок характеристик руху механічної системи за допомогою загального рівняння динаміки

 

Механічна система (рис. 11.1 – 11.5) складається з вантажу 1 масою , двох шківів 2 і 3 з масами і , радіусами ступенів і , і , та радіусами інерції , відповідно і суцільного циліндри-чного катка 4 масою . На шків 2 або 3, діє постійний момент М. Вантаж 1, або каток 4, лежать на гладенькій горизонтальній або похилій площині з кутом нахилу чи до горизонталі. Тертя при русі вантажу 1 і ковзання при кочені катка 4 відсутні.Система розташована в вертикальній площині.

Визначити прискорення вантажу 1 і натяг троса, який до нього закріплений, якщо масою тросів і тертям в підшипниках шківів нехтуємо.

В остаточних розрахунках прийняти значення параметрів з таблиці 11.1 по варіантах.

 

Таблиця 11.1

В-т	кг	см		град.
				r2	R2	r3	R3	М	a	b

 

Приклад виконання завдання

 

Для механічної системи, яка наведена на рис. 11.6, задано: кг, кг, кг, кг, м, м, м, . Радіус інерції ступінчатого барабана 2 рівний м, коефіцієнт тертя ковзання тіла 3 по горизонтальній площині . Циліндричне тіло 4 котиться по похилій площині без тертя і без ковзання.

Визначити прискорення тіла 1 – , тіла 3 – , натяги тросів N₁ і N₃, до яких ці тіла прикріплені.

Рисунок 11.1

Рисунок 11.2

Рисунок 11.3

Рисунок 11.4

Рисунок 11.5

 

 

Рисунок 11.6

Розв’язання. Для розв’язування задачі використовуємо загальне рівняння динаміки:

(11.1)

 

Покажемо для всіх тіл механізму активні сили, напрямки прискорень, інерційні сили і віртуальні переміщення, що зображені на рис. 11.7.

 

 

Рисунок 11.7

 

Активні сили: .

Інерційні сили:

Віртуальні переміщення:

для тіла 1 – , для тіла 2 – , для тіла 3 – , для тіла 4 – і .

Складаємо загальне рівняння динаміки відповідно до формули (11.1).

 

(11.2)

 

В рівняння (11.2) не ввійшли сили і тому, що вони роботи не виконують. Виразимо віртуальні переміщення , , і через .

; .

Звідки:

 

, , , (11.3)

 

Моменти інерції тіл 2 і 4 відповідно рівні:

 

, . (11.4)

 

Знайдемо активні сили:

 

, , . (11.5)

 

Знайдемо інерційні сили:

, , , , .

 

Виразимо кутові прискорення і , а також прискорення і через .

; ,

 

тому , , .

Тоді інерційні сили матимуть вигляд:

 

, , ,

. (11.6)

 

Підставляємо активні сили (11.5), інерційні сили (11.6) і віртуальні переміщення (11.3) в рівняння (11.2)

 

 

 

Після спрощення і скорочення на одержуємо рівняння

 

звідки

 

.

 

Підставимо дані умови:

м/с².

 

м/с².

 

Для визначення натягів тросів, що прикріплені до тіл 1 і 3, застосовуємо принцип Даламбера.

Розглянемо сили, які діють на вантаж 1 і покажемо їх на рис. 11.8.

Згідно з принципом Даламбера

.

Проектуємо цю векторну рівність на вісь oy, отримаємо:

.

Звідки

.

Або:

.

 

Рисунок 11.8

 

Розглянемо сили, які діють на тіло 3, що зображено на рис. 11.9., на основі

 

принципу Даламбера

.

Проектуємо це рівняння на вісь ox.

.

 

 

Рисунок 11.9

 

Звідки:

 

.

 

Відповідь: a₁=8.43 м/с², N₃=26.4 н.

Рівняння Лагранжа 2-го роду

Д. 12 Дослідження руху матеріальної системи з використанням рівняння Лагранжа 2-го роду

Матеріальна систем (рис. 11.1 – 11.5) починає рухатись із стану спокою. Знайти прискорення та швидкість з якою опускається тіло1 1після того, коли воно пройде шлях S. Масами шнурів, силами опору знехтувати. Тіла котяться по поверхні без ковзання.

Величини для розрахунків взяти з табл. 11.1 (С.123).

 

Приклад виконання завдання

Знайти прискорення та швидкість центра мас тіла 1 (рис. 12.1), коли він пройде відстань S₁, якщо матеріальна система починає рухатися із стану спокою. Масою тросів знехтувати. Тіла 1 та 3 переміщуються без ковзання. Прийняти: m₁ = 10 кг; m₂ = 2 кг; m₃ = 1 кг; R₂ = 0,4 м; r₂ = 0,3 м; r₃ = 0,2 м; ρ₂ = 0,3 м; ρ₃ = 0,25; α = 30⁰; β = 45⁰; S₁ = 0,4 м.

 

Рисунок 12.1

 

Розв’язання. Положення тіл системи (рис. 12.1) визначаємо узагальненою координатою х.

Для дослідження руху матеріальної системи застосуємо рівняння Лагранжа 2- го роду

. (12.1)

На рис. 12.1 - узагальнена швидкість. Кінетична енергія системи при переміщенні центра мас тіла 1 на величину S₁ (підрозділ Д. 5)

 

 

, (12.2)

де – зведена маса системи.

Знайдемо ліву частину рівняння (12.1)

. (12.3)

.

, (12.4)

де .

Узагальнену силу Q_x знайдемо за формулою

, (12.5)

де - сума віртуальних робіт активних сил , і (рис. 12.1);

- варіація узагальненої координати х. Горизонтальні складові і реакцій неідеальних (жорстких) похилих поверхонь віднесені до активних сил.

Робота сил , і на можливих переміщеннях дорівнює нулю.

Віртуальна робота активних сил

, (12.6)

де .

Тепер . (12.7)

Тоді з формули (12.5), враховуючи (12.7), отримаємо:

. (12.8)

Рівняння Лагранжа 2-го роду (12.1) при врахуванні (12.3), (12.4) і (12.8) набуває вигляду:

звідки:

 

. (12.9)

 

Або, підставляючи дані з умови задачі,

 

.

 

Оскільки , тоді із формули (12.9) знаходимо швидкість

 

(12.10)

 

Підставляючи числові дані, отримаємо:

 

= 1,3 м/с.

 

 

Відповідь: a₁=2.41 м/с², v₁=1.3 м/с.