А. А. Видмиш, В. О. Приятельчук, В. О. Федотов

А. А. Видмиш, В. О. Приятельчук, В. О. Федотов

 

 

Теоретична механіка

Динаміка

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

 

 

 

 

Вінниця ВНТУ 2009

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

 

 

А. А. Видмиш, В. О. Приятельчук, В. О. Федотов

 

 

Теоретична механіка

Динаміка

 

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

 

 

Затверджено Вченою радою Вінницького національного університету як навчальний посібник для студентів напряму підготовки 6.050702 – „Електромеханіка”. Протокол № 10 від 27.03. 2008 р.

 

 

Вінниця ВНТУ 2009

УДК 531 (075)

В 44

 

Рецензенти:

І. О. Сивак, доктор технічних наук, професор

В. І. Савуляк, доктор технічних наук, професор

О. В. Садовий, доктор технічних наук, професор

 

 

Рекомендовано до видання Вченою радою Вінницького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України

 

 

Видмиш А. А., Приятельчук В. О., Федотов В. О.

Теоретична механіка. Динаміка. Розрахунково-графічні та контрольні завдання. Навчальний посібник. – Вінниця: ВНТУ, 2008. -143с.

Збірник уміщує 13 завдань із динаміки точки, твердого тіла, матеріальної системи. Кожне завдання має триста варіантів з прикладом виконання. Для студентів денної та заочної форм навчання.

 

УДК 531(075)

 

© А. А. Видмиш, В. О. Приятельчук, В. О. Федотов, 2009

Зміст

Порядок та основні вимоги до виконання роботи.................................... 5

Розрахунково-графічні та контрольні завдання....................................... 6

............................................... Динаміка точки……………………………... 6

Д.1 Дослідження руху точки.............................................................. 6

1.1 Приклад виконання завдання........................................................... 10

Динаміка системи…………………………..15

Д.2 Використання теореми про рух центра мас для визначення

переміщення тіл........................................................................................ 15

2.1 Приклад виконання завдання........................................................... 21

Д.3 Використання теореми про зміну головного вектора кількості

руху системи для дослідження переміщення тіл..................................... 23

3.1 Приклад виконання завдання........................................................... 34

Д.4 Використання теореми про зміну кінетичного моменту для

дослідження руху матеріальної системи................................................. 38

4.1 Приклад виконання завдання........................................................... 44

Д.5 Використання теореми про зміну кінетичної енергії для

вивчення руху матеріальної системи....................................................... 49

5.1 Приклад виконання завдання............................................................ 55

Д.6 Дослідження руху матеріальної системи із застосуванням

основних (загальних) теорем динаміки................................................... 60

6.1 Приклад виконання завдання........................................................... 60

6.1.1 Визначення зусиль в пасах та між тілами..................................... 74

6.1.2 Визначення реакцій циліндричних шарнірів................................ 76

Принцип Д’Аламбера………………….......78

Д.7 Застосування принципу Д’Аламбера для визначення реакції

в’язей........................................................................................................ 78

7.1 Приклад виконання завдання........................................................... 84

Д.8 Додаткові динамічні реакції в’язей твердого тіла, що

обертається навколо нерухомої осі......................................................... 88

8.1 Приклад виконання завдання........................................................... 88

Принцип Лагранжа……………………….102

Д.9 Визначення реакцій в’язей врівноваженого плоского

механізму за допомогою принципу віртуальних переміщень............. 102

9.1 Приклад виконання завдання......................................................... 102

Д.10 Визначення опорних реакцій для складної статичної

конструкції за допомогою принципу віртуальних переміщень........... 110

10.1 Приклад виконання завдання....................................................... 110

Загальне рівняння динаміки.......................122

Д.11 Розрахунок характеристик руху механічної системи за

допомогою загального рівняння динаміки........................................... 122

11.1 Приклад виконання завдання....................................................... 122

 

 

Рівняння Лагранжа 2-го роду…………….132

Д.12 Дослідження руху матеріальної системи з використанням

рівняння Лагранжа 2-го роду................................................................ 132

12.1 Приклад виконання завдання....................................................... 132

Д.13 Дослідження вільних коливань матеріальної системи............ 135

13.1 Приклад виконання завдання....................................................... 135

Література........................................................................................... 142

 

 

Розрахунково-графічні та контрольні завдання

Динаміка точки

Д.1 Дослідження руху точки

Невільна матеріальна точка масою m (рис.1.1) рухається протягом τ с. по шорсткій поверхні ОА (коефіцієнт тертя ковзання f). В пункті А матеріальна точка із швидкістю залишає поверхню ОА і через Т_с падає в точку В ділянки АВ із швидкістю . Знайти і побудувати траєкторію руху точки на ділянці АВ та її швидкість в точці В.

Якщо точка рухається під дією постійних сил (табл.1.1), прийняти (рис.1.1), що сила , а при змінних силах (табл. 1.2) сила опору руху точки на ділянці АВ має напрямок протилежний вектору швидкості точки.

 

Рисунок 1.1

 

 

Рисунок 1.1 (продовження)

 

 

Таблиця 1.1

Варіант		l =ОА, м	τ, с	α, град	f
					0,10
					0,15
					0,20
					0,11
					0,12
			1,5		0,13
					0,14
					0,15
					0,16
					0,17
					0,18
					0,19
					0,10
					0,11
					0,12
					0,13
					0,14
					0,15
					0,16
					0,17
					0,18
					0,19
					0,20
					0,11
					0,12
					0,13
					0,14
					0,15
					0,16
			0,5		0,17

Таблиця 1.2

Варіант		τ, с	α, град	f	, H	, H
Схеми 1,6,7-0 (рис. 1.1),	Схеми 2-5 (рис. 1.1),
				0,20
				0,18
				0,16
				0,14
				0,12
				0,10
				0,20
				0,18
				0,16
				0,14
				0,12
				0,10
				0,20
				0,18
				0,16
				0,14
				0,12
				0,10
				0,11
				0,12
				0,13
				0,14
				0,15
				0,16
				0,17
				0,18
				0,19
				0,20
				0,21
				0,22

Приклад виконання завдання

На невільну матеріальну точку масою m, що рухається по похилій шорсткій поверхні ОА (рис. 1.2), діє сила H. Із швидкістю точка залишає поверхню ОА. На ділянці АВ точко переміщується в середовищі з опором, сила якого Н.

 

 

Рисунок 1.2

 

Знайти і побудувати траєкторію руху точки на ділянці АВ, її швидкість в пункті В якщо: коефіцієнт тертя ковзання – f = 0,25; початкова швидкість точки v₀ = 0,5 м/c; τ = 2 с; d = 2,0 м.

Розв’язання. Точка масою m на ділянці ОА переміщується під дією сил: ваги , сили , нормальної реакції шорсткої поверхні та сили тертя (рис. 1.3).

Запишемо закон руху точки на ділянці ОА

в проекціях на осі Х₁ та У₁.

. (1.1)

. (1.2)

 

 

Рисунок 1.3

 

Силу тертя знайдемо за законом Амонтона-Кулона, який при переміщені точки з невеликою швидкістю запишеться:

. (1.3)

 

Оскільки точка рухається по прямій ОА, тоді , і з рівняння (1.2) отримаємо:

, (1.4)

де .

Диференціальне рівняння (1.1), враховуючи (1.3) та (1.4) і значення сили F, набуває вигляду:

Або

(1.5)

Інтегруємо диференціальне рівняння (1.5) при початкових умовах: при, , .

,

,

. (1.6)

 

Відстань ОА точка проходить за τ с і її швидкість v_A в точці А знаходимо за формулою (1.6) при t₁= τ

,

.

На ділянці АВ (рис. 1.4) точка рухається під дією сили ваги та сили опору , що направлена в протилежну сторону швидкості точки.

 

 

Рисунок 1.4

 

Запишемо диференціальне рівняння руху точки в проекціях на осі Х та У.

(1.7)

. (1.8)

де , , .

Тоді

.

.

Або

. (1.9)

. (1.10)

При t =0; (1.11)

Оскільки , , то в диференціальних рівняннях (1.9) та (1.10), розподіляючи, змінні, отримаємо:

,

.

Інтегруючи рівняння при початкових умовах (1.11), знаходимо:

 

, .

, .

Або

. (1.12)

. (1.13)

Інтегруємо рівняння (2.12) та (2.13) при початкових умовах (1.11).

.

.

Або

 

. (1.14)

. (1.15)

 

Із рівняння (1.14) та (1.15) знаходимо рівняння траєкторії руху точки на ділянці АВ.

 

. (1.16)

 

Будуємо траєкторію руху точки (рис.1.5,б), використовуючи рівняння(1.16) (рис. 1.5,а) або формули (1.14) та (1.15).

t x y y/x 0,1 1,686 1,03 0,61 0,3 2,011 1,33 0,66 0,7 2,02 1,55 0,77   2,02 1,72 0,85 1,5 2,02 1,99 0,98   2,02 2,26 1,12

 

а) б)

Рисунок 1.5

 

Знайдемо швидкість точки v_B. При t₂=T, x_T=d; тоді із рівняння (1.14) визначаємо час Т руху точки на ділянці АВ.

 

,

 

.

 

На підставі рівняння (1.12) та (1.13) визначаємо проекції швидкості по осі Х та У (t₂=T)

 

.

 

.

 

Швидкість точки в пункті В ділянки АВ.

 

,

 

.

 

На ділянці АВ швидкість точки зменшилась від v_A =42,06 м/с до v_В =0,82 м/с,тобто в раза за рахунок сили опору.

 

Відповідь: , .

Динаміка системи

Приклад виконання завдання

По похилій площині (рис. 2.6) призми 1 масою m₁=10кг спускається вантаж 2 (m₂=6кг), який тягне за допомогою невагомої нитки вантаж 3 масою m₃=4кг.

Знайти переміщення призми 1 по гладенькій горизонтальній площині, якщо тіло m₂ опустилось по похилій площині на S=0,5м.

Розв’язання. Покажемо зовнішні сили, які прикладені до матеріальної системи, що складається з призми 1 та тіл 2, 3. Такими силами є: P₁=m₁g – сила ваги призми, P₂=m₂g i P₃=m₃g – вага відповідно другого та третього вантажів, N – реакція гладенької горизонтальної поверхні.

 

Рисунок 2.6

 

Запишемо теорему про рух центра мас матеріальної системи в проекціях на вісь Х:

 

, (2.1)

 

де , - проекція головного вектора зовнішніх сил на вісь Х.

Оскільки = 0, то = 0. Тоді .

В початковий момент часу система знаходилась у спокої і тому . Із формули (2.1) маємо:

 

.

 

Таким чином, координата Х_С центра мас матеріальної системи залишається сталою незалежно від переміщень тіл, що входять у систему.

Визначимо положення центра мас системи в початковий момент часу:

 

. (2.2)

 

Якщо вантаж 2 переміститься на величину , тоді тіло 3 – на , а призма 1 - і положення Х_С центра мас знайдемо за формулою:

 

. (2.3)

 

Враховуючи (2.2), із формули (2.3) отримаємо:

 

. (2.4)

 

Переміщення та складається із відносного по призмі і переносного разом із призмою.

 

 

Тепер із формули (2.4) знаходимо переміщення призми.

 

 

Знак “мінус” вказує на те, що призма 1 перемістилася в сторону, протилежну додатному напрямку осі Х.

Відповідь: призма 1 перемістилась вправо на 0,229 м.

Приклад виконання завдання

Система тіл (рис. 3.11) до якої входить електродвигун 1 масою m₂ = 20 кг, однорідний стержень 2 масою m₂ = 2 кг та довжиною м, матеріальна точка масою m_А= 0,5 кг, яка знаходиться в точці А (ОА=2/3 ).

Система пружин жорсткістю С₁=2·10³Н/м, С₂=3·10³Н/м, та С₃=4·10³Н/м знаходиться у положенні статичної рівноваги.

В деякий момент часу точку О зміщують із положення рівноваги вверх на х₀=2см і надають швидкість ν₀ = 3 м/с вертикально вниз. Одночасно ротор електродвигуна починає обертатись із постійною кутовою швидкістю ω = 1/2·ρ (ρ – частота збурювальної сили) навколо горизонтальної осі.

Знайти закон та побудувати графік (при , де T – період) руху центра мас (точка О) електродвигуна.

Рисунок 3.11

 

Розв’язання. Систему пружин замінюємо однією еквівалентною пружиною жорсткістю С

,

де

С₁₃ = С₁·С₃ /(С₁+С₃) = 2·10³·4·10³/(2·10³+4·10³) = 4/3·10³ Н/м.

 

λ

Рисунок 3.12

 

Розглянемо рух невільної системи тіл (рис. 3.11): електродвигуна 1, двох однорідних стержнів 2, двох матеріальних точок А. Центр мас О електродвигуна зміщений із положення статичної рівноваги на величину х (рис. 3.12), а стержні 2 повернулися на кут φ навколо горизонтальної осі О. Дію в’язі (пружину жорсткістю С) замінюємо реакцією в’язі – силою F_пр. Оскільки в точці деформація пружин дорівнює нулю, то

 

F_пр= С· (х+λ), (3.1)

де λ – статична деформація пружин, яка знаходиться за формулою

λ= (P₁+2P₂+2P_A) /C,

де P₁,P₂,P_A – вага відповідно тіл 1,2 та матеріальної точки А.

Кутова швидкість обертання ротора

 

,

 

оскільки при явищі резонансу частота збурювальної сили p дорівнює власній частоті коливань системи k= (m – маса системи)

Для дослідження руху корпуса електродвигуна (рис.3.12) використаємо теорему про зміну головного вектора кількості руху системи в проекції на вісь х.

 

(3.2)

 

, (3.3)

 

Проекція Q_х головного вектора кількості руху системи на вісь х

 

. (3.4)

 

Використовуючи теорему додавання швидкостей, отримаємо проекцію швидкості точки А і швидкості центра мас тіл 2 на вісь х (рис.3.12).

(3.5)

,

де .

Тепер формула (3.4), враховуючи (3.5), запишеться:

Q_х= ( +2m ₂ +2m )-( m ₂ + m ) (3.6)

 

Підставляючи значення Q_х (3.6) та F_x^e (3.3) в теорему (3.2), отримаємо диференціальне рівняння:

 

.

Або , (3.7)

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7) складається із загального розв’язку однорідного диференціального рівняння ₁ + х₁ =0, а саме:

 

х₁=B₁coskt + B₂ sinkt (3.8)

 

та частинного розв’язку х₂ неоднорідного диференціального рівняння (3.7), який будемо шукати у вигляді:

 

х₂=B₃ cosωt. (3.9)

 

Із (3.7) враховуючи (3.9), знаходимо B₃

 

- ω²B₃cosωt + k²B₃cosωt = h₀cosωt,

.

 

Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння (3.7)

(3.10)

 

Постійні інтегрування B₁ та B₂ визначимо із початкових умов:

.(3.11)

Швидкість V точки О (рис.3.12)

Із рівнянь (3.10), (3.12) та початкових умов (3.11) знаходимо постійні інтегрування B₁ та B₂ .

-0,02 = B₁+0,007, 3 = 22,86 B_2. B₂ = 0,13 м; B₁ = -0,027м.

Тепер рівняння (3.10) руху точки О електродвигуна запишеться:

x=-0,027cos(22,86t) +0,13sin(22,86t)+0,007cos(11,43t). (3.13)

 

Рисунок 3.13

 

На рис.3.13 наведений графік руху точки О корпуса електродвигуна, який отриманий на підставі формули (3.13).

 

Відповідь:

Приклад виконання завдання

 

До вантажу 1 (рис. 4.6) масою m₁=20кг прив’язаний трос, який перекинутий через нерухомий блок 4 і другий кінець якого закріплений на поверхні шківа 2 радіусом r₂ (m₂ = 2кг). Механічна система приводиться до руху моментом , прикладеним до східчастого шківа 3 масою m₃=3кг.

Знайти закон руху вантажу 1, якщо на тіло 2 діє момент опору

М_ОП = 15 Н×м і при t = 0 кутова швидкість тіла . Більший радіус у шківа 2 - R₂=0,4м, менший – r₂ = 0,2м, радіус інерції – і₂ = 0,3м. Тіла 3 та 4 мають однакові маси m₃=m₄ і розміри R₃ = R₄ = 0,3м. Тіла 2,3 та 4 обертаються навколо горизонтальних нерухомих осей, а тіло 1 переміщується поступально.

Рисунок 4.6

 

Розв’язання. Розглянемо окремо рух тіл 2 і 3 та механізму наведеного на рис. 4.6

До тіла 3 (рис. 4.7) прикладені зовнішні сили: пара сил з моментом М, сила тяжіння P₃=m₃g, реакції циліндричного шарніра X₃ і Y₃, реакції тіла 2 – колове зусилля S₃ і сила нормального тиску N₃.

Запишемо диференціальне рівняння обертання тіла 3 навколо нерухомої осі враховуючи, що якщо момент зовнішніх сил діє у напрямку руху тіла, тоді записуємо його з додатним знаком.

,

де - момент інерції тіла відносно осі z;

- кутове прискорення тіла 3;

- момент зовнішніх сил, прикладених до тіла 3, відносно осі z.

Таблиця 4.2 - Осьові моменти інерції однорідних тіл

Форми тіла	Іх	Іу	Іz
Кільце
Кругла пластина
Стержень
Прямокутна пластина

 

Рисунок 4.7

. (4.1)

Початкові умови:

при t=0, , . (4.2)

На тіло 2 (рис. 4.8) діють такі зовнішні сили: сила тяжіння P₂=m₂g, реакції циліндричного шарніра X₂ та Y₂, натяг троса S₂ (трос працює тільки на розтяг), реакції тіла 3 – та , які за третім законом Ньютона направлені в протилежні сторони сил S₃ та N₃ (рис. 4.7).

Диференціальне рівняння обертання тіла 2 (рис. 4.8) навколо горизонтальної осі Z.

, (4.3)

де - момент інерції тіла 2 відносно осі Z.

Оскільки , то рівняння (4.3) запишеться у вигляді

. (4.4)

До тіл 1 та 4 (рис. 4.9) прикладені зовнішні сили: сили тяжіння P₁=m₁g та P₄=m₄g, реакція троса , реакції циліндричного шарніра X₄ та Y₄.

 

 

Рисунок 4.8

 

Теорема про зміну кінетичного моменту для тіл 1 та 4 (рис. 4.9) в проекціях на вісь Z запишеться:

, (4.5)

де L_Z – кінетичний момент системи тіл 1 та 4 відносно осі Z, - головний момент зовнішніх сил.

Рисунок 4.9

Кінетичний момент L_Z складається із моменту кількості руху L_Z1

тіла 1 та кінетичного моменту L_Z4 тіла 4 відносно осі Z

L_Z1 = m₁V₁R₄, (4.6)

L_Z4 = I_Z4ω₄. (4.7)

Враховуючи, що , а , кінетичний момент системи L_Z визначимо за формулою

Тепер диференціальне рівняння (4.5) набуває вигляду

. (4.8)

Якщо до диференціальних рівнянь (4.1), (4.4), (4.8) додати кінематичні співвідношення

(4.9)

тоді отримаємо систему шести рівнянь в які входять невідомі:

Розв’язуючи систему рівнянь (4.1), (4.4), (4.8), (4.9) маємо:

.

З урахуванням того, що m₁=20кг, m₂=2кг, m₃=m₄=3кг, r₂=0,2м, R₂=0,4м, і₂=0,3м, R₃=R₄=0,3м, М = (16+11t²) , M₀=15 , g=9,81 , отримаємо

. (4.10)

Для визначення закону руху тіла 1, інтегруємо двічі диференціальне рівняння (4.10), беручи до уваги початкові умови (4.2)

Перший інтеграл диференціального рівняння (4.10)

Закон руху тіла 1: м.

 

Відповідь: м.

 

Рисунок 5.1

Рисунок 5.2

Рисунок 5.3

Рисунок 5.4

Рисунок 5.5

Приклад виконання завдання

 

Визначити прискорення та швидкість центра мас тіла 1 у момент часу, коли він пройде шлях S₁, якщо матеріальна система (рис.5.6) починає рухатися із стану спокою. Масами шнурів знехтувати. Тіла 1 та 3 рухаються без ковзання. Дано: m₁=10 кг, m₂=2 кг, m₃=1 кг, R₂=0,4 м, r₂=0,3м, R₃=0,3 м, r₃=0,2 м, ρ₂=0,35 м, ρ₃=0,25 м, α=30˚, β=45˚, S₁=0,4 м.

 

Рисунок 5.6