Енергетичні методи визначення переміщень

Теорема Клапейрона:

Дійсна робота при статичній дії узагальненої сили на пружну систему дорівнює половині добутку остаточного значення сили на остаточне значення відповідного узагальненого переміщення.

A= ½ P ∆

P – узагальнена сила (q- розподілене навантаження; P-зосереджена сила; М- зосереджений момент)

∆ -узагальнене переміщення (ω;θ).

У разі статичної дії на пружну систему кількох узагальнених сил P₁, P₂, …,P_k робота деформації дорівнює половині суми добутків остаточного значення кожної сили на остаточне значення кожної сили на остаточне значення відповідного переміщення:

 

 

A=1/2 P∆l

 

Визначимо потенціальну енергію деформації пружнього елемента при чистому згині.

 

 

М н.ш.

х dx dx

 

 

dS= ρ dφ → dx= ρ dφ так як нейтральний шар:

M M dφ=dx/ ρ

du= ½ M dφ = ½ M 1/ρ dx

Закон Гука 1/ ρ= М/ЕΙ_z

du=1/2 (M²/ ЕΙ_z) dx

-

 

 

потенціальна енергія деформації при згині. Знак Σ означає додавання по всім ділянкам балки.

Інтеграл Мора

 

Розглянемо будь-яку пружну систему.

 

1) Нехай діє узагальнене навантаження, сила Р₁ в точці 1. Переміщення відповідних точок системи будуть Δ₁₁, Δ₂₁ … Δ_і1.

 

 

2) Нехай діє узагальнена сила Р₂ в точці 2, переміщення відповідних точок будуть Δ₁₂, Δ₂₂ … Δ_і2.

 

Δ_ij – i – номер точки,яка переміщується;

j – номер точки прикладання зовнішньої сили, тобто цей індекс вказує силу, яка викликає прогин.

Розглянемо балку, яка нагружена силою Р₁. Прогин від цієї сили Δ₁₁.

 

 

Прикладаємо далі силу Р₂. До прогина Δ₁₁ точки, де прикладена сила Р₁, від цієї ж сили добавиться прогин Δ₁₂ від сили Р₂.

 

Робота сили Р₁ на переміщенні Δ₁₁ дорівнює за формулою Клайперона:

 

Відповідна енергія деформації:

Так як A₁=U_1, то .

Після прикладання сили Р₂ точка 1 одержить додаткове переміщення Δ₁₂. Робота сили Р₁ на переміщенні Δ₁₂ дорівнює:

.

В цьому виразі немає множника 1/2, так як, в процесі навантаження балки силою Р₂, сила Р₁ була вже прикладена і її значення не змінилось. Сила Р₂ здійснює роботу на переміщенні Δ₂ точки, де вона прикладена

.

Енергія деформації, яка відповідає навантаженню Р₂ дорівнює

, A₂=U₂.

 

Повну роботу зовнішніх сил можна представити як суму трьох доданків:

Енергію деформації при спільній дії сил та знайдемо, враховуючи, що (до визначення згинальних моментів можна застосувати принцип незалежної дії сил):

А=U

Величин - це одиничний момент,який викликається дією сил рівної 1(безрозмірна)

або - Інтеграл Мора

Δ_ip - переміщення точки і від сили Р.

Фізичний зміст інтеграла Мора:

Це робота одиничної сили на переміщенні її точки прикладення від заданого навантаження, якщо інтеграл Мора має знак «+» то напрям одиничного навантаження співпадає з напрямком шуканого переміщення, знак «-» напрямки протилежні.

Послідовність визначення переміщення за допомогою інтеграла Мора:

1) Скласти рівняння згинальних моментів для кожної з ділянок від зовнішніх сил.

2) Звільнивши балку від заданого навантаження, прикласти до неї силу, яка дорівнює одиниці в тій точці де визначяється прогин і в напрямку прогину. Якщо визначяється кут повороту, то в точці потрібно прикласти одиничний безрозмірний момент.

3) Скласти рівняння згинаючих моментів від одиничної сили або від одиничного момента для кожної ділянки балки.

4) Обчислюємо суму інтегралів Мора по ділянках.

 

 

Лекція № Спосіб Верещагіна

Обчислення інтегралів Мора суттєво спрощується для систем, які складаються з прямих брусів, оскільки для них епюри від одиничного навантаження обмежені прямими лініями.

Обчислимо інтеграл

у випадку, коли епюра від зовнішнього навантаження

довільна, а від одиничної – прямолінійна.(рис. 7.4).

Позначимо:

- площа нелінійної епюри M_P(x) від зовнішнього навантаження,

C – її центр ваги,

- ордината епюри від одиничного навантаження під центром ваги епюри M_P(x).

Очевидно, .

Тоді

.

Інтеграл є статичний момент площі відносно осі y, тому .

Підставляючи це рівняння, одержимо:

, тобто .

Отже, якщо одна з епюр лінійна, то інтеграл Мора дорівнює добутку площі нелінійної епюри на ординату прямолінійної епюри, взятої під центром ваги епюри нелінійної. Оскільки епюра M_P(x), як правило, складна– це ряд графіків різних кускових функцій, то обчислення виконують, розбиваючи епюри на ділянки так, щоб одна з епюр була обов’язково лінійна на цій ділянці, а для другої можна було б визначити площу і положення центра ваги.

Загальна формула для визначення переміщення способом Верещагіна має вигляд:

(7-5)

Це математичний вираз правила Верещагіна: переміщення дорівнює сумі добутків площі нелінійної епюри згинальних моментів на ординату лінійної епюри, взяту під центром ваги нелінійної, поділеному на жорсткість перерізу EI_Z при згинанні.

Оскільки ми розглядаємо балки постійної жорсткості, тобто EI_Z=const, то її можна винести за знак суми.

Обчислення інтеграла Мора за правилом Верещагіна часто називають способом перемноження епюр. При цьому епюру M_P(x) називають вантажною, а - одиничною.

 

 

Площі епюр на відстані до їх центрів ваги

=1/2hl

=1/3hl

=2/3hl

 

 

 

 

=2/3hl

 

Дані для параболічних епюр вірні за умовою, що т.а. – це вершина параболи, тобто дотичне в цій точці паралельна осі балки.

Практичні рекомендації щодо застосування способу Верещагіна

1. Добуток площі вантажної епюри на ординату лінійної вважається додатнім, якщо епюри розташовані по один бік від базової лінії.

2. Якщо в межах однієї силової ділянки вантажна і одинична епюри прямолінійні, то все одно, площу якої епюри брати, і на ординату якої множити.

3. Якщо в межах силової ділянки одна із епюр криволінійна, а інша ламана, то слід розбити другу епюру на ділянки, в межах яких вона лінійна.

4. Якщо вантажна епюра і одинична епюра ламані і границі їх ділянок співпадають, то треба розбити ці дві епюри на лінійні ділянки. При цьому може статися, що на одній з ділянок краще брати площу епюри Mp, а на іншій площу епюри M1. Завжди треба брати площу тієї епюри, яка в межах даної ділянки однозначна.

 

Mp

 

M1

5.Складні епюри розбивають на ділянки, в межах яких одна з епюр обов’язково лінійна, і беремо ординату лінійної епюри, площу – будь-якої, потім підсумовуємо їх добутки по всій довжині балки.

6.Епюри, побудовані спеціально для застосування правила Верещагіна, не штрихують.

7.Іноді виявляється зручним будувати вантажну епюру у так званому розшарованому вигляді. Суть цього розшарування полягає в наступному: рівняння згинального момента M(x) являє собою складну функцію.

Наприклад, для балки на рис. 7.5, для ІІІ ділянки

M(x) = -Px + M – q(x-b)²/2.

Замість того, щоб будувати графік цієї складної функції, для (рис. 7.5,а) перемноження епюр доцільно побудувати графіки від кожного доданку (тобто окремі епюри) (рис.7.5,б).

При цьому розшаровану вантажну епюру будують по одиничній в залежності від місця зламу на одиничній епюрі.

 

 

Лекція №