Використання принципу можливих переміщень для розв’язання задач

Варіацією функції називається приріст функції, обумовлений зміною виду функції, при фіксованому значенні аргументу.

При переході від функції до функції варіацію функції можна знайти як:

Можливим назвається змінна точки цього положення системи, що допускається зв'язями, накладеними на цю точку.

Ідеальними називаються в'язі, сума робіт сил реакцій яких на будь-яких можливих переміщеннях точок системи дорівнює нулю, тобто

 

- сила реакції в'язі.

- можливе переміщення k -ої матеріальної точки системи.

Принцип можливих переміщень:

для рівноваги системи матеріальних точок, що підпорядкована ідеальним стаціонарним в'язям, необхідно і достатньо, щоб сума робіт сил, що задаються на будь-яких можливих переміщеннях точок системи дорівнювали нулю:

 

.

Перевагою принципу можливих переміщень є відсутність в його формулюванні сил реакцій ідеальних в'язей.

З його допомогою можна досить просто розвязувати задачі про рівновагу твердого тіла і систем твердих тіл, а також визначати залежність між величинами заданих сил.

Якщо не усі в'язі, накладені на систему, є ідеальними, то до сил, що задаються, слід додавати сили тертя і прирівнювати до нуля суму робіт не лише заданих сил, але і можливих сил тертя, на будь-яких можливих переміщеннях точок системи. Складені рівняння визначають залежність між заданими силами і силами тертя.

Якщо вимагається визначити яку-небудь силу реакцій ідеальної в'язі, для якої , то слід, застосовуючи принцип звільненої від в'язей, відкинути відповідну в'язь і замінити її шуканою силою реакції. При складанні рівняння рівноваги потрібно до сил, що задаються, додати цю силу реакції в'язі. Такий метод розвязання задач в рівновазі систем твердих тіл є надзвичайно ефективним, оскільки шукана сила реакції в'язі безпосередньо визначається зі складеного рівняння

Приклад розв’язання задачі.

 

рис.19

 

1. До системи прикладені задані сили: - вага вантажу А, - вага вантажу В, - вага вантажу С (рис.19)

2. Похила площина не є ідеальною в'яззю, тому сили тертя ковзання визначаються як

 

;

3. Додамо сили інерції матеріальних точок системи. Нехай вантаж В опускається з шуканим прискоренням w. До вантажів А та В прикладена рівнодійна сил інерції, спрямуємо їх протилежно прискоренням відповідних вантажів

 

,

.

 

До блоку С прикладемо головний момент сил інерції , знак якого протилежний до знаку проекції умовного прискорення :

 

;

,

.

 

Головний вектор сил інерції блоку дорівнює нулю, оскільки центр розташовано на вісі обертання.

4. Надамо вантажу В можливого переміщення . Тоді внаслідок нерозтяжності нитки, вантаж А отримає рівне за модулем можливе переміщення, спрямоване уздовж похилої площини вгору, а блок С отримає кутове можливе переміщення .

Залежність між лінійним та кутовим переміщеннями:

 

.

 

5. Знайдемо суму робіт усіх сил.

 

,

 

,

 

,

Тоді шукане прискорення:

 

Спираючись на розвязання цієї задачі можна скласти наступний алгоритм:

1. Зобразити задані сили.

2. За наявності неідеальних в'язей додати відповідні сили реакцій в'язей.

3. У разі потреби визначити силу реакції в'язей, подумки відкинути відповідну в'язь та замінити її шуканою силою реакції в'язі (якщо ).

а) У разі системи з одним степенем вільності:

4. Надати можливого переміщення одній з точок системи та виразити можливі переміщення точок прикладання сил залежно від заданого можливого переміщення;

5. Знайти суму робіт усіх сил, вказаних в пунктах 1, 2, 3 на відповідних можливих переміщеннях їх точок прикладання, та прирівняти цю суму до нуля.

6. Розв’язавши складене рівняння рівноваги, визначити шукану величину;

б) У разі системи з декількома степенями вільності:

5. Вибрати незалежні можливі переміщення точок системи таким чином, щоб їх число було рівним числу степенів вільності цієї системи.

6. Надати можливого переміщення, що відповідає одному із степенів вільності системи, вважаючи при цьому рівними нулю можливі переміщення, що відповідають залишившимся системам вільності. Виразити можливі переміщення точок прикладання сил залежно від заданого можливого переміщення.

7. Знайти суму робіт усіх сил, вказаних в пунктах 1, 2, 3 на відповідних можливих переміщеннях їх точок прикладення, прирівняти цю суму до нуля.

8. Послідовно повторюючи викладки пунктів 5 та 6 для кожного з незалежних можливих переміщень, скласти систему рівнянь рівноваги таким чином, щоб їх число було рівним числу степенів вільності цієї системи, тобто числу степенів вільності системи.

9. Розв’язавши| систему відповідних рівнянь рівноваги визначити шукану величину.