Розділ ііі. Порівняльний аналіз методів розв’язання

 

Дамо порівняльну характеристику методів розв’язання задач аналітичної механіки, а також межі та доцільність застосування цього методу до конкретної задачі.

Найбільш загальним та ефективним прийомом складання диференціальних рівнянь руху системи матеріальних точок є застосування рівнянь Лагранжа або загального рівняння динаміки.

За наявності ідеальних в’язей, накладених на систему, в диференціальні рівняння не входять сили реакції в'язей. Ці рівняння пов'язують інерційні коефіцієнти системи (маса, моменти інерції), задані сили та прискорення точок системи. За наявності голономних в'язей, накладених на систему, кількість складених диференціальних рівнянь руху системи дорівнює числу її степенів вільності.

Якщо за умовою задачі вимагається визначити сили реакцій в'язей, то задачу слід розв’язувати в два етапи:

1) за допомогою рівнянь Лагранжа або загального рівняння динаміки визначити прискорення точок системи,

2) застосувавши принцип звільнення від в'язей, використати диференціальні рівняння руху відповідної матеріальної точки, або застосувати метод кінетостатики.

Якщо за умовою задачі вимагається визначити рівняння руху точок системи, то доводитися інтегрувати систему диференціальних рівнянь руху.

Але в залежності від даних та шуканих величин конкретної задачі можна застосувати інші більш раціональні методи аналітичної фізики:

1) Якщо до числа заданих та невідомих величин входять маси матеріальних точок, моменти інерції твердих тіл, швидкості та прискорення точок, кутові швидкості та кутові прискорення твердих тіл, сили та моменти сил, то можна, застосувавши метод кінетостатики, скласти диференціальне рівняння руху.

Цим методом можна користуватися при розв’язанні прямої задачі динаміки вільної системи матеріальних точок, тобто при розв’язанні задач, в яких по заданому руху визначаються невідомі сили. Проте ці задачі можна розв’язати й застосувавши основне рівняння динаміки до кожної з матеріальних точок системи тобто

 

 

При розв’язанні обернених задач, в яких по заданих силах визначається рух, застосування методу кінетостатики є абсолютно недоцільним, оскільки в ході розв’язання доводиться інтегрувати систему диференціальних рівнянь руху.

2) Якщо розглядається задача про рівновагу твердого тіла і системи твердих тіл, то найбільш раціональним є застосування принципу можливих переміщень. Оскільки шукана сила реакції в'язейбезпосередньо визначається зі складеного рівняння рівноваги.

Якщо не всі в'язі, що накладені на систему, є ідеальними, то до заданих сил слід додавати сили тертя і прирівнювати до нуля суму робіт і заданих сил і можливих сил тертя на будь-яких можливих переміщеннях точок системи.

Складені рівняння визначають залежність між заданими силами і силами тертя.

Якщо вимагається визначити силу реакцій ідеальної в'язі, для якої , то слід, застосовуючи принцип звільнення від в'язей, відкинути відповідну в'язь та замінити її шуканою силою реакції. При складанні рівняння рівноваги потрібно до сил, що задаються, додавати цю силу реакції в'язей.

3) Якщо до числа заданих та шуканих величин входять: інерціональні характеристики (маси та моменти інерції), прискорення точок системи (лінійні та кутові), задані сили та пари сил, коефіцієнти тертя (ковзання і кочення), коефіцієнти пружності пружин, то можна розв’язувати такі задачі з використанням загального рівняння динаміки.

 

Завдання на розрахунково-графічні роботи

З теоретичної механіки

 

Дослідження руху системи материальних точок проводяться комплексно, шляхом використання різних методів для визначення основних характеристик руху конкретної механічної системи абсолютно твердих тіл під дією постійних сил ваги.

Такий підхід дозволяє, крім тривіального надання навиків використання теорії для практичних розрахунків та їх закріплення, розв'зати також дуже важливу проблему аналізу одержаних різними методами результатів розв'язку однієї задачі динаміки. Це дає можливість порівняти різні шляхи розв'язання однієї задачі і перевірити правильність отриманих результатів.

 

Умови завдання

 

Механічна система (механізм), яка складена з декількох абсолютно твердих тіл, починає рухатися з стану спокою під дією сил ваги. Вважаючи в'язі ідельними і нехтуючи їх масами визначити в мить часу, коли тіло А пройде шлях S, величини які вказані в пунктах 1, 2, 3,4, 5 завдання.

Схеми механічних систем показані на рис. 26.

В завданні прийняті слідуючи позначення: m_A, m_B, m_Б, m_Д - маси тіл А, В, Б, Д; R_в=2r_в, R_Д=1,5r_Д - радіуси великих і малих кіл; і_вх, і_дх - радіуси інерції тіл В і Д, відносно горизонтальних осей, що проходять через їх центри мас, a, b - кути нахилу площин до горизонту; m - коефіцієнт тертя тіла А.

Необхідні дані приведені в таблиці 1.