Определение момента инерции шаров малого радиуса

 

Цель работы: экспериментальным путём определить моменты инерции шара, выяснить физический смысл этой величины.

Приборы и принадлежности: штатив, два желоба, шары малых радиусов, линейка, штангенциркуль.

Краткая теория

При изучении вращения твёрдых тел пользуются понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

J = ².

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу:

J= ,

где интегрирование производится по всему объёму тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.

r

В качестве примера найдём момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси. Разобьём цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r²dm (так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно r), где dm – масса всего элементарного цилиндра; его объем . Если – плотность материала, то dm = 2 и dJ = 2 .

Тогда момент инерции сплошного цилиндра:

J = .

Так как – масса цилиндра, то момент инерции

J =

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции J_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс Стела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

J = J_c + ma²;

Значения моментов инерции для некоторых тел приводятся в таблице 1.

Таблица 1

 

Тело	Положение оси	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом R	Ось симметрии.	mR2
Сплошной цилиндр или диск радиусом R	То же.
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину.
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец.
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

 

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси Z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на малые объёмы с элементарными массами m₁, m₂, …, m_n, находящиеся на расстоянии r₁, r₂,…r_n от оси.

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси отдельные его элементарные объёмы массами m_i опишут окружности различных радиусов r_i с различными линейными скоростями v_i. Но так как мы рассматриваем абсолютное твёрдое тело, то угловая скорость вращения этих объёмов одинакова:

(1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдём как сумму кинетических энергий его элементарных объёмов:

или

Используя выражение (1), получаем:

где J_z – момент инерции тела относительно оси Z.

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела:

. (2)

Из сравнения формулы (2) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (Е_пост = mv²/2) следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Формула (2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

(3)

где m – масса катящегося тела; v_c – скорость центра масс тела; J_с – момент инерции тел относительно оси, проходящей через его центр масс; – угловая скорость тела.

 

Описание экспериментальной установки

 

На штативе закреплены два желоба АВ и А’B’C’ диаметром 1,9 см и толщиной 0,1см. Желоб А’В’С’ изогнут под углом (радиус изгиба r = 2,5 см, расстояние А’В’ = 55 см, В’С’ = 45 см); желоб АВ идентичен части А’В’. В работе используются шары радиусами r = 0,25 – 0,35см.

Шар массой m, помещенный в точку А, обладает относительно горизонтального уровня BD запасом потенциальной энергии mgh. При его скатывании по желобу АВ потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию поступательного движения mv²/2 (v – линейная скорость центра масс относительно желоба), кинетическую энергию вращательного движения J /2 ( – угловая скорость вращения, J – момент инерции шара), а также затрачивается на работу сил трения А_тр. Тогда в точке В изменение механической энергии шара равно работе сил трения, т.е

. (4)

При этом квадраты линейной и угловой скорости можно найти по формулам:

, (5)

где Н – высота края желоба над поверхностью стола, l – дальность полёта шара до поверхности стола.

Для вычисления работы трения А_тр пускают тот же шар из точки А’ по желобу А’В’С’. Он, скатившись с высоты h по левой стороне желоба, поднимается на высоту h’< h по его правой половине. Подъём шара на высоту h’ определяют с помощью линейки.

После проведения экспериментов шар извлекают через отверстие B’. Очевидно, изменение потенциальной энергии шара mg (h–h’) равно работе сил трения А_тр, т.е.

А_тр = mg(h’– h). (6)

Работа А₁ совершается на пути длиной , (где – угол наклона желоба), следовательно, на единицу длины пути совершается работа сил трения, равная

А_l = . (7)

Умножив эту величину на А’B’ = h/sin , получим работу, совершаемую силами трения при скатывании шара по отрезку А’B’ желоба, и она равна работе сил трения А_тр, входящей в соотношение (4), так как левая половина желоба A’B’C’ идентична желобу АВ. Таким образом:

. (8)

Подставляя выражения (5) и (8) в соотношение (4) и решая его относительно J, получим:

(9)

По этой формуле определяют момент инерции шара после измерений m, R, H, h, h’, l.