Статистические методы анализа взаимосвязи социально-экономических явлений.

Связи между общественными явлениями отражаются в статистических показателях, которые находятся между собой в определенных соотношениях. Причем одни из признаков выступают как факторные признаки или причины, другие как результативные признаки или следствия. Использование статистических методов анализа позволяет изучить, измерить и дать количественное выражение взаимосвязи между явлениями общественной жизни, установленными на основе качественного анализа.

Виды взаимосвязей статистических показателей:

1. Факторные или корреляционные взаимосвязи. Они проявляются в согласованной вариации различных признаков у единиц одной и той же совокупности и изучаются с помощью аналитической группировки и корреляционно-регрессионного анализа.

2. Компонентные взаимосвязи – это такие взаимосвязи, когда изменения какого-то сложного явления целиком определяется изменением компонент, входящих в выражение, характеризующих сложное явление. В отличие от предыдущей связи, связи между показателем и компонентой жесткие. Изучаются эти показатели индексным методом.

3. Балансовые взаимосвязи служат для анализа балансовым методом пропорций в образовании ресурсов и их использования.

Рассмотрим корреляционные или факторные показатели. Корреляционные взаимосвязи являются наряду с функциональными частным случаем статистической связи. Статистическая связь – это такая связь, что с изменением одной переменной вторая может в определенных пределах принимать любое значение, но ее статистические характеристики изменяются по определенному закону – разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения другой. Частный случай корреляционной связи – функциональная связь.

Функциональные взаимосвязи – это крайний случай, когда одному значению переменной соответствует четко заданное значение (одно или несколько). Когда одной переменной соответствует одно или несколько средних значений, то такая зависимость называется корреляционной.

Корреляционная связь возникает различными путями:

1. Причинная зависимость вариации результативного признака от вариации факторного (напр., плодородие и урожайность).

2. Следствие общей причины (н апр., как зависит число пожаров и количество пожарных? Общая причина – это размер города. Чем больше город, тем больше пожаров и больше пожарных).

3. Оба признака являются и причиной и следствием (Напр., з/п и производительность труда).

Формы корреляционной связи:

§ Прямая и обратная связь. Прямая связь – с увеличением факторного признака увеличивается и результативный. Обратная связь – с увеличением факторного признака результативный уменьшается.

§ Линейные связи и нелинейные.

§ Однофакторные связи и многофакторные.

Если корреляционная связь такова, что преобладающая доля вариации результативного признака обусловлена вариацией факторных признаков, то зависимость между результативным и факторными признаками приблизительно можно считать функциональной и использовать эту зависимость для анализа и прогнозирования. Подобные зависимости или модели называются регрессионными или казуальными (амер. термин: казуальные модели, т.е. обусловленные) или корреляционно-регрессионными.

Одним из методов выявления взаимосвязей является аналитическая группировка. Сначала статистическая совокупность группируется по факторному признаку, т.е. по нему строится распределение. После рассчитывается 3 дисперсии результативного признака, чтобы проследить вариацию признака по всей совокупности, а также количественные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами.

§ Межгрупповая дисперсия:

где k номер группы (всего m групп), а f_k число единиц в k -той группе. Межгрупповая дисперсия показывает рассеяние групповых средних относительно общих и характеризует вариацию результативного признака y за счет факторного признака x.

§ Внутригрупповая дисперсия:

– характеризует рассеяние внутри группы.

§ Общая дисперсия:

Все дисперсии связаны между собой правилом сложения дисперсий:

где – общая дисперсия, а – средняя из внутри групповых, – межгрупповая дисперсия:

;

;

.

 

Для оценки тесноты связи между результативным (y) и факторным (х) признаками используется эмпирическое корреляционное отношение , а также коэффициент детерминации , который показывает, какая доля вариации вызвана вариацией , . Если данный коэффициент равен нулю, то результативные и факторные признаки не связаны между собой, если же равен единице, то между ними существует функциональная зависимость.

Рассмотрим схему построения казуальных моделей на примере построения прогнозной модели производительности труда.

Первый этап. Постановка задачи – это четкое определение целей создания модели и объекта моделирования. Например, необходимо составить план по производительности труда на следующие 3 года на одном из предприятий. Необходимо определить от чего качественно зависит производительность труда, затем построить количественную модель, сделать прогноз по этим факторам и подставить прогнозные значения факторов в модель, а затем уже определить прогнозное значение производительности труда. Таким образом, следует определить от каких факторов зависит производительность труда, и при этом факторы должны быть управляемыми. Например, возьмем такие факторы: фондовооруженность, энерговооруженность, доля новой техники, коэффициент специализации.

Второй этап. Сбор и систематизация статистической информации. Производительность труда называется результативным признаком – , факторные признаки – это признаки от которых зависит производительность труда , где . Факторные признаки отбираются экспертным образом. При выборе факторного признака он должен быть количественно выражен; легко управляем; зависит от нас и влияет на производительность труда. Мы должны собрать информацию по этим признакам.

Встает вопрос о единицах совокупности, т.е. о точках выборки, которые могут быть разного рода. Если используются исследования в течение ряда лет, то точкой выборки станет год. Если рассматриваются эти показатели у всех предприятий за год, то точка выборки – завод. Если рассматривать показатели у ряда предприятий за ряд лет, то точка выборки – завод/год. Но лучше всего брать в качестве точки выборки год.

Информация берется из документов и отчетов предприятия или предприятий. Причем исследуется максимальный перечень факторных признаков. Результат сбора информации оформляется в виде таблицы: m строк – точки выборки, n+1 столбцов – признаки. Первый столбец – результативный признак, а последующие факторные признаки. Точка выборки – год (квартал).

– производительность труда в тыс.руб. на человека.

– фондовооруженность тыс.руб. на человека.

– энерговооруженность в киловаттах на человека.

– коэффициент специализации в процентах.

Третий этап. Статистическая оценка значимости факторов или корреляционный анализ позволяет включить в модель только те факторные признаки, которые существенно влияют на результативный. Для оценки степени влияния двух случайных величин и друг на друга можно использовать коэффициент парной корреляции:

смешанный центральный момент второго порядка.

Коэффициент корреляции после преобразований примет вид:

где - объем выборки. Коэффициент парной корреляции меняется от -1(если функциональная зависимость обратная) до 1(если функциональная зависимость прямая). Если и не связаны между собой, то коэффициент равен нулю.

Результаты расчета коэффициентов парной корреляции оформляется в виде таблицы или корреляционной матрицы:

			..
..

Матрица имеет единицы по диагонали и симметрична относительно главной диагонали.

В нашем примере получена следующая таблица:

		0,9	0,74	0,03
			0,9	0,1
				0,21

Факторные признаки отбираются в два шага. На первом шаге рассматриваются коэффициенты корреляции между результативными и факторными признаками. В модель включаются все факторные признаки, у которых │r_xy│ больше некоторого наперед заданного значения. В нашем случае отбрасываем третий фактор. На втором шаге рассматриваются оставшиеся факторные признаки, т.е. рассматриваются коэффициенты парной корреляции между оставшимися факторными признаками. Если рассматриваемый показатель превышает некоторое наперед заданное значение, например 0,8, то один из факторных признаков исключается, а именно тот, у которого коэффициент парной корреляции с результативным признаком меньше. В обратном случае оба фактора включаются в модель. В нашем примере остается только фондовооруженность.

Четвертый этап. Построение эмпирического уравнения регрессии предназначено для выявления характера взаимосвязей между результативным и факторным признаком. Графики строятся следующим образом. Ось абсцисс разбивается на интервалы точками x_j. Строятся графики зависимостей . По ломаной можно судить, то ли зависимость линейная, то ли нелинейная. Если большинство зависимостей линейны, то и общая модель будет линейной.

Пятый этап. Построение однофакторных уравнений регрессии.

Рассмотрим построение линейной регрессии.

- уравнение линейной регрессии.

Для нахождения коэффициентов регрессии используется метод наименьших квадратов.

В результате получаем система нормальных уравнений:

Из этих уравнений получаем значение неизвестных коэффициентов регрессии:

Если зависимость нелинейная, то метод наименьших квадратов применять нельзя. Тогда следует привести зависимость к линейной при помощи некоторых приемов.

Если зависимость показательная , то можно использовать логарифмирование: log y = log a₀ + a₁*log x.

Шестой этап. Построение многофакторной регрессии. Ее построение начинается с выборы формы зависимости. Если среди эмпирических зависимостей преобладают линейные зависимости, то строится многофакторная линейная зависимость:

Если преобладает нелинейные зависимости, то и множественная регрессия будет нелинейной. Можно использовать в этом случае мультистепенную модель:

которую путем логарифмирования приводим к линейной: . Коэффициенты регрессии определяются при помощи метода наименьших квадратов:

Дифференцируя по и приравнивая частные производные к нулю, получаем систему нормальных уравнений, которую запишем в матричной форме:

(X^TX)*A = X^TY

где – матрица факторных признаков, полученных из таблицы исходных данных путем замены столбца результативных признаков на единицы. Матрица размерностью , – матрица-столбец результативного признака размерностью , – матрица-столбец коэффициентов регрессии размерностью .

Решая систему относительно неизвестных коэффициентов регрессии, получаем:

Четвертый, пятый и шестой этапы называют регрессионным анализом, который подразумевает построение различных уравнений регрессии, чтобы впоследствии выявить лучшую модель.

Седьмой этап. Дисперсионный анализ или оценка точности и адекватности регрессионной модели. При оценке используются различные виды дисперсий:

§ общее рассеяние D_y;

§ рассеивание относительно уравнения регрессии D₀;

§ рассеивание точек, лежащих на уравнении регрессии, относительно среднего значения;

Общая дисперсия:

Остаточная дисперсия (относительно уравнения регрессии):

Дисперсия, обусловленная регрессией:

В случае этих дисперсий также выполняется правило сложения дисперсий, но отдельно для числителя и отдельно для знаменателя.

Для оценки точности используются следующие показатели:

§ Остаточная дисперсия, которая является относительной оценкой. Если у нас зависимость функциональная, то точка выборки будет лежать на уравнении регрессии и остаточная дисперсия будет равна нулю. Но в качестве абсолютного показателя остаточную дисперсию использовать нельзя, потому что она имеет размерность ед.².

§ Коэффициент множественной корреляции, который показывает долю вариации результативного признака, обусловленного влиянием всех признаков, включенных в модель. Существует несколько формул для его расчета.

Если остаточная дисперсия равна нулю, то коэффициент равен единице, т.е. зависимость функциональная. Эта формула работает для достаточно хороших зависимостей.

Воспользовавшись правилом сложения числителей дисперсий, получим:

,

Здесь надо вычислить матрицу, обратную матрице коэффициентов парной корреляции, и взять ее первый элемент . Коэффициент множественной корреляции меняется от нуля до единицы, квадрат данного коэффициента называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменчивости результативного признака за счет вариации всех факторных включенных в модель.

§ Средняя относительная ошибка:

.

§ Доверительный интервал позволяет оценить качество модели, для которой точки доверительного интервала вычисляются следующим образом:

– для однофакторной модели;

 

– для многофакторной модели,

где t – t-распределение; – уровень риска; () – доверительная вероятность. Подкоренное выражение будет минимальным, когда . Точность будет тем выше, чем меньше доверительный интервал. Следует отметить, что определение доверительного интервала эффективно в случае однофакторных моделей, т.к. для многофакторных моделей это ненаглядно.

§ Адекватность модели можно оценивать при помощи критерия Фишера:

Полученный критерий сравнивается с табличным значением, для вероятности и число степеней свободы . Если вычисленное значение больше табличного, то модель адекватна. Таким образом, чем ближе зависимость к линейной, тем критерий Фишера больше. На практике желательно, чтобы вычисленное значение было больше табличного в четыре раза.