Скорость фильтрации. Основной закон ламинарной фильтрации (формула Дарси)

 

Представим на рис. 60 металлическую трубу, заполненную песком, имеющую внутренний диаметр d. Предположим, что под действием разности давлений на концах этой трубы вода, полностью заполняющая все поры в песке, движется (фильтрует) в этих порах. Рассмотрим сечение А-А трубы, здесь можно различить три разные площади:

1) площадь сечения пор грунта ω_пор, эту площадь можно рассматривать как площадь действительного «живого сечения»;

2) площадь сечения частиц грунта ω_гр; через эту площадь вода в действительности не проходит;

3) площадь сечения всей трубы ω_геом; очевидно,

ω_геом= = ω_пор, + ω_гр. (178)

 

 

d

 

Рис. 60

 

Действительная скорость движения воды в порах грунта, исходя из выше сказанного, равна:

υ^'= ,(179)

где Q – расход воды, движущейся в трубе.

Наряду с этим вводят понятие так называемой скорости фильтрации

. (180)

Как видно, скорость фильтрации есть фиктивная (воображаемая) скорость, получающаяся в том случае, если мы себе представим, что вода движется не только через поры, но и через тельца частиц грунта, причем расход воды равен заданному (действительному расходу).

Проводя опыты с фильтрацией в песках и глинах, еще в середине IXI столетия установили, что скорость фильтрации υ в случае установившегося движения может быть представлена следующей зависимостью, называемой формулой Дарси и выражающей основной закон ламинарной фильтрации:

υ=kI, (181)

где υ – скорость фильтрации в данной точке фильтрационного потока; I – пьезометрический уклон в той же точке (гидравлический градиент грунтового потока); k – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации.

Коэффициент фильтрации, имеющий размерность скорости (т.к. I в формуле – величина безразмерная), представляет собой скорость фильтрации при уклоне I =1. Как показывают опыты, для воды определенной температуры величина k зависит только от рода грунта и характеризует фильтрационную способность грунта. Вообще же величина k зависит и от вязкости фильтрующей через грунт воды, а следовательно, и от температуры воды, поскольку с изменением температуры вязкость воды меняется.

Величина k тем меньше, чем меньше частицы грунта и чем грунт более разнозернистый. Численные значения k встречаются в практике самые различные. Приведем для примера округленные численные значения k для разных грунтов (табл. 5).

Расход фильтрационного потока может быть выражен такой зависимостью:

Q=kωI, (182)

где ω – площадь живого сечения, нормального к направлению потока.

 

Т а б л и ц а 5

Ориентировочные значения коэффициента фильтрации

 

Грунт	k, см/сек	k, м/сут
Песок крупнозернистый	0,1÷0,01	100÷10
Песок мелкозернистый	0,01÷0,001	10÷1
Супесь плотная	0,001÷0,0001	1÷0,1
Суглинок	0,0001÷0,00001	0,1÷0,01
Глина	0,00001÷0,000001	0,01÷0,001

 

Зависимость (182) также называется формулой Дарси. Формула (181) и (182), относящаяся к ламинарной фильтрации, имеет определенные границы применимости. Для воды обычной температуры (ν≈ 0,01 см²/с) различные авторы рекомендуют применять указанную формулу в случае, когда υd< 0,01÷0,07, υ – в м/с; d – диаметр (в см) частицы грунта (некоторого среднего размера). Если это условие не выполняется, то получаем турбулентную фильтрацию, причем зависимость Дарси нарушается.

В случае широкого фильтрационного потока расчет ведут на единицу его ширины и называют удельным расходом

, м²/с, (183)

где h₀ – глубина равномерного движения грунтовой воды

. (184)

Уравнение (184) является уравнением безнапорного равномерного движения грунтовой воды в случае плоской задачи.

В 1857 г. французский ученый Дюпюи, основываясь на законе Дарси, получил уравнение кривой депрессии (для фильтрационного потока со свободной поверхностью при горизонтальном подстилающем слое), рис.61:

(185)

Для двух сечений фильтрационного потока удельный расход определяется из (185) по выражению:

, (186)

называемым уравнением Дюпюи, где l – расстояние между сечениями 1-1 и 2-2; h₁ и h₂ – глубины соответственно в сечениях 1-1 и 2-2.

 

 

Рис. 61. Схема к выводу Рис. 62. Приток грунтовой воды

уравнения Дюпюи к совершенному колодцу