Критические скорости вращения роторов

 

При определенных скоростях вращения роторов возникают поперечные изгибные колебания, которые в не­которых случаях служат причиной разрушения конструкции. При­чинами, вызывающими колебания, могут быть: неуравновешенность деталей ротора, биение опор, неоднородность воздействия газового потока на лопатки, несоосности валов и соединительных муфт и т. д. При вращении роторов ГТД из-за неуравновешенности масс (дисбаланс), зазоров в опорах достичь математически точного совпадения центра тяжести ротора с геометрической осью вала практически нереально. Из-за эксцентричного положения центра масс относительно оси вала возникает неуравновешенная центробежная сила, возрастающая с дисбалансом и числом оборотов ротора, приводящая к прогибу вала.

Изгибная податливость ротора в целом невелика, однако при неко­торых угловых скоростях вращения ротора вал теряет устойчивость, прогибы и динамические напряжения интенсивно растут. При этом возможно задевание лопаток за корпус, разрушение подшипников и лабиринтных уплотнений, рост вибрации всей силовой установки и даже разрушение ротора.

3.1. РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ НЕВЕСОМОГО ВАЛА С ДИСКОМ

 

Рассмотрим расчётную схему равномерно вращающегося с угловой скоростью ротора. Ротор, состоящий из вала длиной l посередине которого с эксцентриситетом е насажен тонкий диск массой , установлен в опорах А и В. В опоре А жёсткое крепление, в опоре В свободное в продольном направлении крепление вала.Для исключения влияния на прогиб ротора веса вала расположим ротор вертикально (рис.3.1.).

 

Рис.3.1. Расчетная схема ротора с одним диском

 

При вращении ротора из-за эксцентриситета возникает центробежная сила , вызывающая прогиб вала в сторону эксцентриситета от вертикальной оси. При этом, геометрическая ось вала точка W, отклоняется от вертикальной оси также на величину у, а центр масс диска отклонится от вертикальной оси на величину ( (рис.3.1, б).

Центробежная сила определится:

. (3.1)

 

При прогибе вала из-за его жёсткости возникает сила упругого противодействия

(3.2)

 

где с - коэффициент жесткости - сила, вызывающая единичный прогиб.

Значение коэффициента жесткости зависит от расстояния между опорами, расположением дисков по валу их числа и массы, заделкой опор, конструкции материала и геометрических размеров вала.

Пренебрегая силами демпфирования можно записать:

 

(3.3)

 

выразим из формулы (3.3)

 

(3.4)

 

С увеличением угловой скорости прогиб растёт и, при

 

, (3.5)

 

вал, теряет устойчивость, при этом прогиб вала неограниченно возрастает ().

Угловая скорость вращения ротора, при которой ротор теряет устойчивость, называется критической скоростью и определяется из равенства (3.5)

(3.6)

 

В реальном роторе из-за сил демпфирования, трения в опорах, внутренних сил и др. прогиб является конечной величиной и поломка вала происходит не сразу, поэтому возможно дальнейшее увеличение угловой скорости . Проанализируем зависимость (3.4). Для удобства анализа подставим (3.6) в (3.4) и разделим на

(3.7)

правая часть уравнения (3.7) положительна при и отрицательна при . Знак минус означает, что прогиб направлен в сторону, противоположную эксцентриситету. При этом центр масс диска, точка S, располагается между вертикальной осью (точка О) и геометрическим центром вала точкой (см. рис.3.1, в).

Графическая зависимость (3.7) представлена на рис.3.2.

 

 

Рис. 3.2. Изменение прогиба

вала от скорости вращения

С увеличением угловой скорости от нуля до критической прогиб увеличивается. При = происходит потеря равновесия между силами упругости и центробежной силой, то есть происходит потеря устойчивости ротора.

При повышении знаменатель выражения (3.4) и величина прогиба получаются отрицательными, причем прогиб у по абсолютной величине уменьшается. Это возможно только при уменьшении центробежной силы, а так как растет, то, следовательно, центр тяжести (точка S) располагается между центром геометрической оси и центром вертикальной оси О. Расстояние между точками W и О равно, по абсолютной величине, разности .

Таким образом, на больших скоростях вращения происходит снижение величины прогиба у, то естьсамоцентровка ротора, при этом центр тяжести диска располагается на оси вращения (точки и совмещены рис.3.1, г).

Ротор, вращающийся с угловой скоростью меньше критической, называется жёстким, а ротор, вращающийся с угловыми скоростями - гибким.

Устойчиво работают как жёсткие, так и гибкие роторы. В процессе разгона гибкие ротора проходят через критические обороты, поэтому этот переход необходимо проходить быстрее, чтобы исключить большие прогибы ротора.

В реальных конструкциях рабочие обороты рассчитывают на значительном удалении от критических .

Критическая скорость вращения ротора численно совпадает с частотой собственных колебаний.

Рассмотрим полностью уравновешенный ротор (е =0). Если такой ротор привести в колебательное движение, отклонив импульсом силы на прогиб у, то он будет совершать колебательное движение по уравнению:

 

, (3.8)

 

проведем преобразование

 

, (3.9)

где .

 

Интегрируя дважды уравнение (3.9), получим

 

(3.10)

 

где А и В - коэффициенты определяемые из начальных условий.

Уравнение (3.10) соответствует гармоническим колебаниям с периодом и частотой .

Так как колебания ротора были свободными, то частота колебаний будет называться собственной частотой колебаний ротора.

Таким образом, мы получили, что значение критической частоты вращения ротора по величине совпадает с собственной частотой поперечных колебаний ротора. Методы расчёта собственных частот поперечных колебаний ротора можно использовать для определения критических скоростей вращения.

Проведем исследование динамической устойчивости вращающегося вертикального вала с диском, размещенным в его середине с эксцентриситетом.

Предположим, что центр прогиба вала (точка W), центр тяжести диска (точка S) и центр опор (точка О) не лежат на одной прямой рис. 3.3.

 

 

Рис.3.3. К исследованию

динамической устойчивости

Обозначим угол наклона прямой OW c осью Х через , а угол наклона прямой WS с осью Х, как .

В соответствии с обозначениями рис.3.3. запишем

 

(3.11)

 

Проекции на оси х и r силы упругости со стороны вала

 

и .

 

Запишем уравнения движения центра тяжести диска

 

(3.12)

 

Продифференцируем дважды выражения (3.11) по времени

 

(3.13)

Подставим две последние зависимости (3.13) в уравнения (3.12)

 

(3.14)

 

По теореме моментов количества движения - момент всех сил, действующих на диск равен вращающему моменту

 

, (3.15)

 

где - момент количества движения диска относительно начала координат; - момент всех сил, действующих на диск.

Момент количества движения относительно начала координат складывается из - момента количества движения диска относительно центра тяжести S и - момента количества движения относительно начала координат О массы , размещенной в центре тяжести

 

, (3.16)

 

где ; ; - полярный момент инерции диска.

Подставим выражения (3.16) в уравнение (3.15)

 

 

используя соотношения (3.11) и (3.13) и, проведя преобразования, получим

 

(3.17)

 

Нелинейные дифференциальные уравнения (3.14) и (3.17) полностью определяют движение диска.

Рассмотрим решение для диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью

 

Уравнения (3.14) и (3.17) запишутся

 

(3.18)

 

(3.19)

 

Используя выражения (3.18) преобразуем уравнения (3.19)

 

(3.20)

 

Каждое из уравнений (3.18) является уравнением вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы, так как проекции центробежных сил на оси и изменяются во времени по периодическому закону с частотой Таким образом мы получили, что движение точки W в плоскостях и ( - ось вала) колебательное.

При частотах вынужденных колебаний не равных частоте свободных колебаний , общие интегралы уравнений (3.18) запишутся

 

(3.21)

 

Первые слагаемые в выражениях (3.21) описывают свободные колебания с частотой , а вторые слагаемые вынужденные колебания с частотой

Свободные колебания из-за сопротивлений (трения диска о воздух, гистерезиса материала вала и т.д.) являются затухающими, поэтому в выражениях (3.21) первые слагаемые можно опустить, тогда

 

(3.22)

Подставляя выражения (3.22) в (3.20) получаем, что . Таким образом, после затухания свободных колебаний, при установившемся движении и отсутствии сопротивлений вращающий момент равен нулю, то есть вращение вала устойчиво при любых скоростях вращения, кроме .

Величина прогиба вала определяется

 

(3.23)

 

Подставим в формулу (3.23) соотношения (3.22) получим

 

(3.24)

 

Данное выражение полностью идентично формуле (3.4) так как Следовательно, сложение колебаний в плоскостях и показывает, что точка движется по окружности радиуса .

Подставляя в уравнения (3.22) значения координат и используя соотношение (3.24), получаем откуда следует, что

Таким образом получено, что при вращении ротора с постоянной угловой скоростью точки О,W,S – располагаются на одной прямой.

При критической скорости вращения , численно равной частоте свободных колебаний , возникает резонанс при котором прогибы резко возрастают.

При частные интегралы неоднородных дифференциальных уравнений (3.18), описывающие вынужденные колебания, имеют вид

 

(3.25)

 

Подставляя (3.25) в формулу (3.23), получим

 

 

Таким образом, получено, что на резонансных режимах прогиб растет со скоростью

Устойчивость вращения ротора двигателя рассмотрим по графической зависимости рис. 3.4. Ось абсцисс – прогиб , ось ординат – центробежные и упругие силы. Зависимость - прямая выходящая из начала координат под углом к оси абсцисс. Наклон прямой определяется упругостью вала

 

 

Рис. 3.4. Графическая интерпретация устойчивости ротора

 

Зависимости представляют собой прямые, выходящие из точек на оси ординат на расстоянии от начала координат. Тангенс угла наклона прямых центробежных сил к оси абсцисс равен . Точки пересечения прямых - и , характеризуют работу ротора с прогибом , так как в них .

При вращение ротора устойчиво, так как с увеличением прогиба у под внешним воздействием на значение возникает восстанавливающая сила , которая возвращает ротор в равновесное положение (точка В). Также и при уменьшении прогиба на величину возникает восстанавливающая сила , вследствие того, что .

Таким образом ротора, вращающиеся с угловыми скоростями , устойчивы. Устойчивая работа роторов обусловлена тем, что

С увеличением угловой скорости вращения ротора прямые центробежных сил смещаются по оси ординат вверх, и увеличивается угол их наклона к оси абсцисс (прямая Б).

При увеличении угловой скорости вращения ротора и сохранении центробежной силы при нулевом прогибе за счет снижения дисбаланса me

увеличивается угол наклона прямой к оси абсцисс и при угловой скорости вращения углы наклона прямых и становятся равными (), то есть прямые параллельны. Во всем диапазоне изменения нет пересечения прямых и .

При дальнейшем увеличении скорости вращения ротора центр тяжести диска располагается между геометрической осью ротора и центром вращения. Новое равновесное состояние при этом переходит в область отрицательных прогибов (точка Д рис. 3.4.), которое также устойчиво.

При сдвиге фаз собственных колебаний, характеризуемых прогибом у, и колебаний, возникающих от действия возмущающей силы, обусловленной действием центробежной силы от дисбаланса еm можно записать уравнение

 

(3.26)

 

При угол сдвига фаз положителен и меньше . При и угол сдвига фаз . При колебаниях без сопротивления, , взаимное расположение центра тяжести и центра вращения соответствует рис.3.1, а.

При резонансе , (при любом значении коэффициента затухания колебаний угол сдвига фаз ).

При скоростях вращения ротора угол сдвига фаз Если мал и , то (рис.3.1, б). При этом, согласно уравнения (3.7), в котором при знаменатель отрицателен, следовательно, отрицательным должен быть и эксцентриситет е. то есть можем записать

 

(3.27)

 

Из (3.27) следует, что с увеличением угловой скорости вращения ротора при , прогиб уменьшается и при прогиб . То есть при вращении роторов с угловыми скоростями , при внешнем воздействии, при его снятии, появляется восстанавливающая сила , возвращающая ротор в состояние устойчивого равновесия (точка Д рис.3.4).

Угловые скорости вращения роторов на рабочих режимах не должны быть близки к критическим скоростям.

Для жестких роторов рабочие скорости должны быть меньше, а для гибких больше критических скоростей. Диапазон скоростей, в котором не должны лежать рабочие скорости определяется допустимым прогибом вала.

Значение прогиба определяет радиальные зазоры между роторными и статорными частями двигателя, вибрационные перегрузки при прохождении критических скоростей.

Диапазон недопустимых скоростей вращения роторов на рабочих режимах определяется из зависимости относительного прогиба от соотношения скоростей, без учета знака прогиба рис.3.5

 

 

Рис.3.5. Определение границ допустимых

перегрузок

Если ограничить относительный прогиб пятикратным значением (), то угловая скорость вращения на рабочих режимах не должна находиться в пределах (0.92…1.12) .

При изготовлении двигателей необходимо стремиться добиваться минимального значения дисбаланса для увеличения диапазона угловых скоростей с допустимыми перегрузками и меньшего значения прогибов при рабочих режимах.

Допустим, что эксцентриситета нет (), тогда прямые и будут исходить из начала координат (прогиб вала при любых скоростях вращения, кроме - , отсутствует), а при прямые сольются. При этом ротор будет находиться в состоянии безразличного равновесия при любом значении прогиба.

 

 

3.2 УСТОЙЧИВОСТЬ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ ГЛАДКИХ ВАЛОВ

 

Расчетная схема вала (Рис. 3.6), представляет из себя идеально уравновешенный вал круглого сечения, расположенный на двух шарнирных опорах и вращающийся с угловой скоростью .

 

Рис. 3.6. Расчетная схема вращающегося упругого вала

 

Поперечное сечение вала и моменты инерции на изгиб изменяются вдоль его длины. Центры масс сечений лежат на оси вала.

Задача об устойчивости вала сводится к определению угловой скорости вращения вала и такой форме изгиба вала, при которых вал может вращаться в изогнутом состоянии и будет существовать равновесие между силами инерции кругового движения и внутренними силами упругости при отсутствии неуравновешенности.

Оси координат ху связаны с валом и вращаются вместе с ним с угловой скоростью .

Рассмотрим изогнутый участок вращающегося вала длиной и действующие на него внутренние и внешние силы.

Составим уравнение равновесия сил и моментов

 

(3.28)

 

где - интенсивность инерционной радиальной нагрузки вала

 

(3.29)

 

- плотность материала.

Исключим из уравнений (3.28) , получим связь изгибающего момента с интенсивностью инерционной радиальной нагрузкой

 

(3.30)

 

Изгибающий момент в любом сечении вала пропорционален кривизне центральной оси вала и определяется по равенству

 

(3.31)

 

Для согласования знака кривизны и знака изгибающего момента (рис. 3.6) в формуле (3.31) знак минус.

Подставим в уравнения (3.30) зависимости для (3.31) и (3.29), получаем дифференциальное уравнение прогиба вала

 

(3.32)

 

Решение уравнения (3.32) дает линию прогиба вала переменного сечения по длине при потере устойчивости.

Для проведения анализа зависимости (3.32) рассмотрим вал постоянного поперечного сечения и введем относительную координату . Уравнения (3.32) запишется:

 

(3.33)

где

(3.34)

 

Общее решение уравнения (3.33) имеет вид

 

(3.35)

 

Постоянные интегрирования в уравнении (3.35) определяются по условиям закрепления по концам вала. Для расчетной схемы (рис.3.6.) имеем

 

Согласно (3.31) при нулевом моменте вторая производная прогиба также равна нулю.

Условия закрепления левого конца вала (): .

Условия закрепления правого конца вала (

(3.36)

 

Отсюда , т.е. , так как

 

(3.37)

 

Равенство (3.37) удовлетворяется решением

 

(3.38)

 

где - целые числа (1,2,3 и т.д.).

При найденных значениях прогиб вала возможен. Форма упругой линии вала, согласно формулы (3.35), определится синусоидой

 

(3.39)

 

Формула (3.39) показывает, что возможно круговое движения вала с прогибом в виде синусоид и произвольным значением амплитуд . В пределах длины вала укладывается целое число полуволн синусоид (рис. 3.7), определяемое числом .

Найденные формы изгиба могут возникнуть только при определенных угловых скоростях вала, которые определятся из формулы (3.34) при подстановке полученных значений .

 

(3.40)

 

 

Рис. 3.7. Формы колебаний двухопорного вала

 

Критические скорости вращения вала постоянного сечения определенные по формуле (3.40) называются критическими, на этих скоростях вал теряет несущую способность и может неограниченно прогибаться под действием неуравновешенной массы.

Как показывают анализ формул (3.39) и (3.40), вал имеет бесчисленное множество критических скоростей и соответствующим им форм изгиба.

Кратность критической скорости соответствует ряду ().

Обычно при анализе рассматривают первые формы колебаний.

Аналогично, используя граничные условия закрепления валов в опорах, можно получить зависимости для расчета критических скоростей вращения валов с другой заделкой в опорах.

Не выполняя вывода приведем формулы для расчета критических скоростей вращения для следующих схем закрепления валов:

- вал, закреплён одним концом в подшипнике и свободно опирающийся на другой подшипник.

 

. (3.41)

 

- консольный вал с жёсткой заделкой в подшипнике одним концом. Первая критическая угловая скорость

 

. (3.42)

 

Критические скорости вращения валов зависят от способа заделки в опорах и определяются материалом вала, расстоянием между опорами и геометрическими размерами вала.

 

3.3. КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ РОТОРОВ

В реальном двигателе вал располагается горизонтально и под действием веса диска неподвижный вал получает статический прогиб (рис.3.8).

При вращении вала относительно упругой линии под действием центробежной силы вал дополнительно прогибается на величину , при этом центр тяжести диска будет описывать окружность с центром в точке Ранее выведенные зависимости будут справедливы и для горизонтального ротора.

Так как по определению жесткость - сила вызывающая единичный прогиб, то можно записать:

 

(3.43)

 

Рис.3.8. Влияние массы диска на прогиб вала

 

откуда

 

. (3.44)

 

Таким образом, зная статический прогиб, обусловленный массой диска можно определить критические скорости вращения ротора и, наоборот, задаваясь критической скоростью, можно определить допустимый статический прогиб от массы диска а, следовательно, и жёсткость вала.

Оценку критической скорости вращения двухопорного ротора, без учёта веса вала можно провести по зависимости:

 

(3.45)

 

где один диск по центру вала;

= 1,04 – несколько дисков расположенных симметрично по валу;

= 1,128 – нагрузка равномерно распределена по валу.

Статические прогибы наиболее распространённых схем роторов можно рассчитать по известному весу диска , расстоянию между опорами , моменту инерции поперечного сечения вала J и модулю упругости материала вала по зависимостям, приведённым на рис. 3.9.

 

а

 

б

 

в

 

 

г

 

д

 

 

Рис. 3.9. Расчетные зависимости статических прогибов вала различных схем

 

Факторы, влияющие на критические скорости вращения

Влияние на критические скорости вращения различных факторов можно провести, анализируя зависимости статических прогибов реальных валов (рис. 3.9).

При увеличении статического прогиба снижается критическая скорость вращения. К увеличению статического прогиба приводит увеличение расстояния между опорами, уменьшение жесткости вала, жёсткое закрепления вала в опорах, увеличение массы дисков и т.д.

Упругость опор также сказывается на критической скорости вращения ротора. Рассмотрим расчётную схему рис.3.10. Вал с одним диском установлен на опоры А и В. Опора А жёсткая, опора В - упругая.

Под действием веса диска неподвижный вал прогибается на величину . В то же время, из-за веса диска и ротора, упругая опора В переместится на . Тогда дополнительный прогиб ротора в месте размещения диска определится

(3.46)

 

а суммарный прогиб с учетом статического прогиба составит:

 

(3.47)

 

 

Рис. 3.10. Влияние упругости опоры на критическую скорость

Таким образом, изменяя упругость опор можно довольно просто изменять критические скорости вращения роторов и смещать их от рабочих оборотов.

Продольные растягивающие осевые силы уменьшают статический прогиб а, следовательно, увеличивает критическую скорость вращения ротора.

Учёт действия осевой силы можно оценить по зависимости:

 

(3.48)

 

где критическая угловая скорость вращения ротора, без учета осевой силы; - осевая сила, действующая на ротор (знак + сила растягивающая, минус – сила сжимающая); - критическая сила, определяется в зависимости от заделки вала в опорах. Для ротора с шарнирным закреплением в опорах:

. (3.49)

Крутящий момент, действующий на вал, снижает критическую скорость вращения вала. Влияние крутящего момента на критическую скорость можно оценить по зависимости

 

(3.50)

 

где М – приложенный крутящий момент; критический крутящий момент, определяемый по зависимости

(3.51)

 

где - полярный момент инерции сечения вала.

 

3.4. ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МОМЕНТА НА КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНЯ

 

Рассмотрим расчётную схему (рис.3.11). Вал шарнирно установлен в опорах А и В и на конце имеет консольный диск. Под действием веса диска вал изогнется и займет криволинейное положение.

 

 

Рис.3.11. Расчетная схема ротора с учетом гироскопического момента

 

При вращении ротора ось вращения может совпадать с криволинейной линией вала, при этом угловая скорость вращения вала равна абсолютной скорости вала. При действии внешних факторов упругая криволинейная ось вала может начать вращаться относительно горизонтальной оси ротора с переносной скоростью . Такое движение упругой линии называется прецессионным. В этом случае абсолютная скорость вала будет складываться из относительной скорости