Расчёт крепления лопатки замком типа «ёлочка»

 

Элементы замка крепления лопатки типа «ёлочка» нагружаются от центробежной силы масс лопаток и самого хвостовика рис.1.17, при этом в них возникают напряжения смятия, изгиба и среза, а в теле хвостовика лопатки и перемычке обода диска напряжения растяжения.

 

 

Рис.1.17. Геометрия и схема приложения сил в креплении лопатки

хвостовиком типа «елочка»

 

Напряжения смятия в зубцах хвостовика лопатки определяются по классической зависимости - напряжение равно сила, деленная на площадь

 

(1.74)

 

Суммарная площадь воспринимающая силу N, при переменной ширине хвостовика определится:

 

(1.75)

 

где n- номер зубца хвостовика; - число зубцов одной стороны замка; - высота зубцов.

Суммарную, нормальную к поверхности зубцов силу от центробежной силы лопатки и хвостовика определим, проектируя все силы на вертикальную ось и проводя преобразования

 

(1.76)

 

а напряжения смятия определятся

 

. (1.77)

 

Если пренебречь силами трения, то

 

. (1.78)

Напряжения изгиба у основания зуба. Напряжения изгиба у основания зуба возникает от силы приложенной на расстоянии с от основания зуба (рис.1.17) по зависимости

 

 

(1.79)

 

где - толщина зуба у основания; с - расстояние от точки приложения силы до расчётного сечения ; - нормальная сила, приложенная к i- тому зубу от распределённого напряжения

 

(1.80)

 

Подставим (1.80) в (1.79) получим

 

(1.81)????

 

Напряжения среза у основания зуба. Напряжения обусловлены силой от равномерно распределенного напряжения и определяется:

 

(1.82)

Напряжение растяжения в хвостовике лопатки необходимо рассчитывать во всех сечениях так, как в каком сечении оно максимально заранее не известно. Для определения напряжений в i- том сечении хвостовика (рис. 1.17), составим равновесия сил на радиальное направление

 

(1.83)????

 

где - центробежная сила масс лопатки вместе с хвостовиком; - центробежная сила части хвостовика расположенного между двумя сечениями; - площадь расчётного сечения.

Подставим из выражения (1.78), получим

 

(1.84)

 

с учётом того, что , получим

 

. (1.85)

 

Напряжения растяжения в перемычке обода обусловлено действием центробежных сил масс лопаток и массы самой перемычки выше расчётного сечения рис.1.18.

 

 

Рис. 1.18. Расчет схема обода диска

 

Составим уравнение равновесия сил действующих на перемычку обода в расчетном сечении .

 

, (1.86)

 

где - центробежная сила от части обода расположенного между лопатками выше расчётного сечения; - ширина обода в расчётном сечении; - толщина перемычки обода в расчётном сечении; е – высота зуба хвостовика.

Подставим и проведём преобразования и сокращения получим:

. (1.87)

 

 

Рис. 1.19. Распределение напряжений в хвостовике

лопатке и ободе диска

 

В хвостовике замка лопатки обычно максимальные напряжения реализуются по первой впадине от корневого сечения лопатки, а в ободе диска по последней впадине от наружного диаметра (рис.1.19).

Рабочие лопатки, лопатки сопловых и направляющих аппаратов ГТД в процессе работы нагружены центробежными, инерционными силами, что вызывает в пере лопаток, узлах их крепления в ободе диска значительные напряжения, которые не должны превышать допустимые для данного материала. Полученные зависимости, позволяют на этапе проектировать назначать конструктивные размеры лопаток, обеспечивающие требуемые запасы прочности, а также анализировать прочностные параметры лопаток эксплуатируемых двигателей.

 

1.5. Контрольные вопросы

 

1. Назовите силы, действующие на рабочие, сопловые и направляющие лопатки ГТД на крейсерском режиме полета;

2. Приведите расчетную схему и основные уравнения изгибающих моментов действующих на лопатку от газового потока;

3. Приведите расчетную схему и основные зависимости расчета изгибающих моментов от центробежных сил.

4. Составьте расчетную схему определения напряжений изгиба в пере лопатки от газовых и центробежных сил;

5. Обоснуйте целесообразность выноса центра тяжести лопаток от радиального направления;

6. Назовите основные силы, учитывающиеся при расчете крепления лопаток замком типа ласточкин хвост;

7. Составьте расчетную схему по определению напряжений смятия, изгиба в креплении лопатки замком типа «ласточкин хвост»;

8. Приведите расчетную схему и основные зависимости по расчету напряжений смятия, растяжения, среза, изгиба в креплении лопаток замком типа «ёлочка»;

9. Приведите расчетную схему и основные уравнения по определению напряжений смятия в перемычке обода при креплении лопатки замком типа «ёлочка»;

10. Приведите расчетную схему и основные зависимости по определению напряжений растяжения в перемычке обода при креплении лопатки замком типа «ёлочка».

 

КОЛЕБАНИЕ ЛОПАТОК

 

Работа рабочих, направляющих и сопловых лопаток компрессоров и турбин в ГТД неизбежно сопровождается их вибрацией, что может быть причиной их разрушения.

Обеспечение надежной работы лопаток ГТД является одним из важнейших вопросов в двигателестроении.

Если к лопатке с жесткой заделкой в корневом сечении приложить единичный импульс силы, обеспечивающий её упругую деформацию, то лопатка начнет колебаться. Колебания лопатки без воздействия внешней силы, называются свободными или собственными. Из-за трения о воздух, гистерезиса в материале лопатке и т.д. амплитуда колебаний со временем уменьшается, т.е. свободные колебания затухающие.

Если колебания лопатки происходят под воздействием внешней переменной силы, то такие колебания называются вынужденными.

При совпадении частоты собственных и вынужденных колебаний наступает резонанс, при котором амплитуда резко возрастает и может произойти поломка детали. Работа изделий на резонансных режимах, особенно продолжительное время недопустима.

Поэтому при разработке нового двигателя решается две динамические задачи:

- определение спектра собственных частот и форм колебаний лопаток компрессоров и турбин;

- определение источника и частот колебаний внешних возбуждающих сил.

Источниками колебаний в ГТД могут быть:

- колебания газового потока по тракту двигателя;

- силы инерции вращающихся масс;

- вибрация элементов двигателя и самолёта.

Колебания газового потока всегда сопровождает работу ГТД. Частота и амплитуда внешних колебаний определяются: конечным числом лопаток ступеней компрессора и турбины, пульсационным горением топлива в камере сгорания, наличием в проточной части стоек, а также отклонением размеров проточной части от расчётных из-за неточности изготовления, сборки, деформаций или обгорания в процессе работы, затенения входа от обледенения и др.

Так, за решеткой профилей с конечным числом лопаток, газовый поток имеет окружную неравномерность скоростей и давлений (рис.2.1), которая определяется толщиной выходной кромки лопатки и расстоянием между решётками.

 

 

Рис. 2.1 Примерная эпюра изменения

давления за направляющим аппаратом

 

В ТВД неравномерность газового потока по тракту двигателя может быть вызвана воздушным винтом и редуктором.

Так лопатка ротора вращающегося со скоростью (число оборотов в секунду) получает за один оборот один импульс, то за одну секунду будет подвержена импульсам, а при числе возмущающих импульсов в одну секунду - импульсам.

Частота вынуждающей силы приложенной к лопатке определится:

 

. (2.1)

 

В реальных двигателях вынуждающая сила действует не мгновенными импульсами, а растянута во времени (рис.2.2).

Для удобства анализа и расчёта обычно зависимость вынуждающей силы раскладывают в ряд Фурье в виде суммы гармоник:

 

, (2.2)

 

где - постоянное среднее давление; - амплитуды сил от первой, второй и - ой гармоники; - угол, отсчитываемый от произвольной точки корпуса; - фазовые углы.

 

Рис.2.2. Разложение вынуждающей силы на гармоники

 

Частота возмущающей силы от - ой гармоники определится:

 

= (2.3)

 

На величину напряжений, возникающих при колебаниях лопаток, влияет амплитуда возмущающей силы, частота и форма колебаний, прочностные характеристики материала лопаток, силы демпфирования и геометрические размеры лопаток.

Точный расчёт напряжений, ввиду сложности процесса из-за отсутствия данных о величине и распределении по высоте лопатки возмущающих сил и сил сопротивления колебаниям практически невозможен даже для низших гармоник возбуждающих сил. Поэтому на практике напряжения определяют тензометрированием лопаток при натурных испытаниях.

На примере изгибных колебаний лопатки постоянного профиля рассмотрим оценочный расчет напряжений в корневом сечении лопатки постоянного сечения и выясним величину динамических напряжений, и какие основные факторы влияют на величину напряжений при резонансе.

Примем допущения, что амплитуда возмущающей силы постоянна по высоте лопатки и составляет часть от статической нагрузки.

Напряжения изгиба в корневом сечении определятся

 

, (2.4)

 

где - длина лопатки; - момент сопротивления в корневом сечении; - амплитуда первой гармоники (принимается 0.03…0,05 от давления входа перед лопаткой); - коэффициент определяется формой колебаний (для первой формы ); - логарифмический декремент собственных колебаний, который определяется (рис.2.3) по зависимости затухания.

 

Рис. 2.3. Декремент затухания колебаний

 

(2.5)

 

Напряжение в корневом сечении от равномерно распределённой по длине лопатки нагрузки определяется:

 

(2.6)

 

Подставим выражение (2.6) в уравнение (2.4)

 

(2.7)

Обычно амплитуда первой гармоники вынуждающей газовой силы составляет 0,03… 0,05 от то и напряжения ,

где напряжение от статических газовых сил.

Пусть при расчете получено, что напряжения в лопатке от статических сил то, подставляя значения в уравнение (2.7), получим

 

Таким образом, получено, что динамические напряжения в корневом сечении являются очень значительными и в 14 раз превышают напряжения - от статических газовых сил. Проведенный анализ является оценочным и показывает, что напряжения изгиба в пластине с жесткой заделкой от переменной силой являются весьма существенными и значительно превосходят напряжения от статической нагрузки.

Формы колебаний лопаток

По форме упругих деформаций свободные колебания лопаток можно разделить на: изгибные, крутильные и сложные (изгибно-крутильные). Возможны также колебания пластинчато-изгибные, при которых происходит деформации относительно средней линии профиля (рис.2.4).

Рис. 2.4 Формы колебаний лопаток: а - изгибные; б – крутильные;

в – пластинчатые

При колебаниях геометрическое место точек лопатки остающееся неподвижным называется узлом колебаний. Соответственно если лопатка имеет один узел колебаний то 1-я форма, два узла 2-я форма и т.д. Число форм колебаний (число узловых линий) определяется числом сосредоточенных масс – одна масса – одна форма, две массы – две формы и т.д. (рис 2.5).

Рис. 2.5 Формы колебаний невесомого упругого

стержня: а – одна масса; б - две массы

 

Рабочие лопатки представляют собой системы с бесконечным числом сосредоточенных масс, поэтому имеют бесконечное число форм и частот собственных колебаний.

 

2.1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

 

Рассмотрим колебания стержня с жёсткой односторонней заделкой постоянного поперечного сечения (рис. 2.6). Считаем прогибы малыми, а силы и моменты функции не только координат, но и времени.

Выделим в стержне длиной на расстоянии от места заделки малый элемент dx и заменим воздействие отброшенных частей поперечными силами и изгибающими моментами М (см. рис.2.6).

Используя принцип Даламбера, запишем уравнение равновесия сил выделенного элемента на ось у

 

, или (2.8)

 

где - плотность материала лопатки; F- площадь рассматриваемого поперечного сечения лопатки.

 

Рис.2.6. Расчетная схема колебания стержня постоянного поперечного сечения

с односторонней жесткой заделкой

 

Приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно оси перпендикулярной плоскости ху, получим

 

(2.9)

 

 

Подставим выражение (2.9) в уравнение равновесия

 

. (2.10)

 

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки при малых прогибах

 

. (2.11)

 

Подставим данное соотношение в выражение (2.9) и получим дифференциальное уравнение колебаний стержня

 

(2.12)

 

Для стержня постоянного сечения тогда (2.12) запишется

 

(2.13)

 

 

где (2.14)

 

Представим решения уравнения (2.13), с учетом граничных условий в виде суммы произведений функций времени и координаты

 

(2.15)

 

Подставим (2.15) в уравнение (2.13) получим

 

(2.16)

 

откуда, с учетом того, что t и х независимы друг от друга, то равенство (2.16) возможно только при условии

 

(2.17)

 

Для определения и составим из равенства (2.17) два обыкновенных дифференциальных уравнения

 

(2.18)

 

где

(2.19)

 

Решение первого уравнения (2.19) имеет вид

 

(2.20)

 

и является уравнением гармонических колебаний с круговой частотой .

Решение второго уравнения (2.18) представим в форме

 

(2.21)

 

Дифференцируя три раза выражение (2.21), получим

 

(2.22)

 

 

(2.23)

 

(2.24)

 

С учетом полученных зависимостей уравнение (2.15) запишется

 

. (2.25)

 

Следовательно, колебательное движение стержня является суммой бесконечно большого числа гармонических колебаний с различными частотами, каждой из которых соответствует своя форма упругой линии.

Постоянные интегрирования и связаны с амплитудой и фазой колебаний и определяются по граничным условиям.

Круговая частота и частота свободных колебаний связаны соотношением

(2.26)

 

Для лопатки с заделкой в корневом сечении, граничные условия имеют вид

(2.27)

 

(2.28)

 

Используя соотношения (2.9) и (2.11) граничные условия (2.28) можно записать

(2.29)

 

или для функции

 

;

 

Выражения (2.22)… (2.25) запишутся

(2.30)

 

(2.31)

 

Так как, и не равны нулям, то определитель системы равен нулю:

 

(2.32)

 

Раскрывая определитель, имеем

(2.33)

 

Полученное уравнение является трансцендентным, имеющим бесчисленное количество корней. Первые четыре корня этого уравнения равны:

 

Подставим в формулу (2.26) значение =1.875, получим первую частоту свободных колебаний

 

(2.34)

 

Аналогично вычисляются и другие формы колебаний.

Из выражения (2.31) можем записать:

 

(2.35)

 

Принимая в уравнении (2.21) и учитывая соотношения (2.30) имеем

 

(2.36)

 

Решая совместно уравнения (2.35) и (2.36) получим

 

(2.37)

 

Подставим (2.37) в уравнение (2.36) получим уравнения, характеризующее формы колебаний различных тонов

 

(2.38)

 

Различные формы колебаний лопатки приведены на рис.2.4.

 

2.2. РАСЧЕТ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАТКИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

 

Существует много методов теоретического определения собственных частот колебаний лопаток: энергетический, метод наложений, конечных разностей и т.д. Рассмотрим метод наложений как наиболее простой. Однако он позволяет рассчитать только 1-ю форму колебаний.

Рассмотрим лопатку с заделкой в корневом сечении и примем следующую расчётную схему (рис.2.7):

 

Рис.2.7. Расчетная схема лопатки

 

Лопатку по длине разобьём на n- равных участков считаем, что в каждом сечении масса сосредоточена в середине участка, а площадь и момент инерции постоянны по длине участка и равны значениям в середине участка.

Рассмотрим произвольный -ый участок; -масса -го участка; , - площадь и момент инерции -го участка.

 

(2.39)

 

При свободных колебаниях каждая точка лопатки совершает колебания с частотой и амплитудой по гармоническому закону

 

(2.40)

 

К - той точке приложена сила инерции

. (2.41)

 

Подставим в уравнение (2.41) и, проведя дифференцирование, получим

 

. (2.42)

 

Так как при свободных колебаниях лопатки силы инерции являются единственными внешними силами, то можно составить систему из уравнений.

 

, (2.43)

 

где - коэффициент влияния представляющий собой прогиб в k точке, от единичной силы, приложенной в точке i. =1,2,… n; k =1,2… n.

Подставим (2.40) и (2.42) в уравнение (2.43) получим

 

(2.44)

Решение системы возможно в том случае если её определитель равен нулю

 

(2.45)

 

Частоты , удовлетворяющие уравнению (2.45) и есть искомые.

Представим определитель (2.45) в виде:

 

, (2.46)

 

где ; - коэффициенты, зависящие от массовых и упругих характеристик лопатки, в частности

 

(2.47)

 

Коэффициенты уравнения (2.46) также можно представить в виде степенного ряда

, (2.48)

 

где - корни уравнения (2.46).

Приравняем (2.48) и (2.47), получим

 

(2.49)

 

Так как частота низших гармоник намного меньше высших, то ими можно пренебречь и тогда

(2.50)

 

и частота первой формы колебаний определится

 

(2.51)

Коэффициенты влияния определяются через интеграл Мора

 

, (2.52)

 

где - момент от единичной силы, приложенный в точке ; - момент инерции сечения лопатки расположенного на расстоянии Х от места заделки.

 

тогда

 

(2.53)

 

Подставим (2.53) в формулу (2.51)

 

, (2.54)

 

где (2.55)

Факторы, влияющие на частоту собственных колебаний лопатки

 

Проведём анализ зависимости (2.54).

При увеличении длины лопатки собственная частота первой формы колебаний уменьшается пропорционально квадрату отношения длин лопаток:

.

 

Изменение температуры лопатки изменяет модуль упругости материала . Повышение температуры снижает Е и, следовательно, частоту собственных колебаний лопатки по соотношению

 

.

 

Материал лопатки характеризуется отношением . Для материалов, из которых изготавливаются лопатки, это отношение меняется незначительно. Так частоты собственных колебаний стальных лопаток всего на 5…7%, а титановых на 6…8% больше чем изготовленной из алюминия при тех же размерах. Однако усталостная прочность у лопаток из алюминия ниже в 4…5 раз.

Уменьшение осевых моментов инерции сечения лопатки приводит к снижению первой собственной частоты колебаний лопатки пропорционально корню квадратному из отношения моментов

Также на частоту колебаний существенно влияют параметры профиля – толщина, клиновидность, трапециевидность, закрученность.

Так, увеличение толщины профиля, в большей степени увеличивает жёсткость, чем массу, поэтому частота собственных колебаний также увеличивается.

Увеличение клиновидности (уменьшение отношения ), при неизменной площади корневого сечения, повышает частоту первой формы изгибных колебаний.

Уменьшение трапециевидности (отношение длины хорды лопатки на периферии к длине хорды в корневом сечении ), при постоянной площади корневого сечения, приводит к снижению частоты собственных колебаний лопатки.

Закрутка лопатки большого влияния на частоту колебаний не оказывает.

На частоту собственных колебаний лопатки оказывает влияние форма перехода от пера к хвостовику, тип и форма хвостовика, а также усилие затяжки хвостовика в диске.

 

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТКИ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ

 

При вращении ротора на лопатку действует центробежная сила, которая повышает частоту собственных колебаний. Центробежная сила стремится выпрямить ось лопатки, отклоняющуюся при колебаниях.

Центробежная сила приводит к повышению жёсткости лопатки, как натяжение струны в музыкальных инструментах. Влияние центробежной силы возрастает с увеличением закрутки лопатки, угла установки. Бандажная полка также повышает влияние центробежной силы на увеличение собственной частоты колебаний.

Кроме того, в конструкциях, где хвостовик лопатки устанавливается свободно в диске, центробежная сила увеличивает защемление хвостовика лопатки и тем самым повышает частоту собственных колебаний.

Определение частоты колебаний лопатки в поле центробежных сил проведем энергетическим методом. Рассмотрим колебание лопаток с жесткой заделкой в ободе диска в плоскости наименьшей жесткости.

Лопатку представим как упругую невесомую балку с приведенной массой на конце (рис.2.8). К массе приложена центробежная сила

При свободных колебаниях сумма потенциальной и кинетической энергий должна оставаться постоянной

 

(2.56)

 

Рис.2.8. К расчету частоты

колебаний лопатки в поле

центробежных сил

 

В процессе колебаний приведенная масса на упругой балке отклонится на угол , при этом центробежная сила совершает работу. Пренебрегаем ввиду малости окружной составляющей центробежной силы , получим максимальную работу центробежных сил при максимальном прогибе

 

(2.57)

где, ввиду малости можно принять , а , - максимальный прогиб и угол наклона лопатки.

Примем, что форма упругой линии лопатки близка к форме упругой линии балки, нагруженной сосредоточенной на конце силой Р, то потенциальная энергия деформации стержня будет равна этой работе

(2.58)

 

Прогиб от силы Р определится

 

(2.59)

 

где - коэффициент жесткости.

Подставим значения из равенства (2.59)в зависимость (2.58), получим

. (2.60)

 

Кинетическая энергия соответствующая максимальной скорости, равна

 

(2.61)

 

При колебаниях масса перемешается по гармоническому закону

 

(2.62)

 

- круговая частота лопатки, находящейся в поле центробежных сил.

Дифференцируя уравнения (2.62), получим

 

(2.63)

 

Подставим (2.63) в (2.61) получим зависимость

 

(2.64)

 

Подставляем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергии в (2.56), получим

 

(2.65)
откуда

(2.66)

 

Подставим в (2.66) зависимости для прогиба (2.59) и угла наклона от силы Р

и учитывая, что

получим

 

(2.67)

Обозначим

 

,

 

тогда (2.67) запишется

 

, (2.68)

 

где круговая частота колебаний неподвижной лопатки

Линейные частоты связаны с круговыми соотношениями

 

 

Частота собственных колебаний лопатки с учётом центробежной силы определяется частотой собственных колебаний при неподвижном роторе и частоты колебаний идеально гибкой лопатки находящейся в поле центробежных сил

 

(2.69)

 

Расчёт частот собственных колебаний лопатки с учётом всех факторов сложен, поэтому рассмотрим полуэмпирические зависимости.

Для расчёта первой собственной частоты колебаний лопатки коэффициент В определяется:

- лопатка с постоянным по длине сечением

 

 

- лопатка с переменным по длине сечением

 

 

- лопатка закрученная, переменного сечения

 

 

где - средний по длине угол закрутки лопатки, - средний радиус лопатки; - длина лопатки.

 

2.4. РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ И СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ОПАСНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ

 

Резонансным называется режим, при котором частота собственных колебаний лопатки совпадает с одной из гармоник возмущающей силы, т.е. ,

 

, (2.70)

 

 

, (2.71)

 

откуда