Расчёт на прочность дисков роторов гтд

Диски роторов ГТД, работают при высоких скоростях вращения, при высоких температурах (газовые турбины) и её градиенте вдоль радиуса, что обуславливает появления в них значительных нагрузок.

На рабочем установившемся режиме в диске возникают следующие напряжения:

- напряжения растяжения от центробежных сил самого диска, а также от центробежных сил масс лопаток установленных на ободе диска;

- температурные напряжения, обусловленные изменением температуры, как по радиусу, так и по толщине;

- напряжения изгиба от газовых сил, действующих на лопатки от газовых сил, а также от центробежных сил масс лопаток и диска в случае отклонения центров тяжести этих масс от срединной плоскости диска.

Кроме того, из-за высоких температур, снижается механическая прочность материала диска.

Существует два основных подхода к расчёту дисков на прочность:

1. Анализ прочности диска известного профиля.

2. Определение оптимального профиля диска с учетом ограничений на его характеристики прочности.

По первому подходу проверяются его прочностные свойства по двум критериям:

- по запасу прочности;

- по несущей способности (разрушающим оборотам).

При невыполнении одного из двух критериев необходимо изменять геометрию диска или применять другой материал.

По второму подходу для выполнения расчетов необходимы пакеты программ и уточнение профиля диска по конструктивным соображениям.

Расчёт прочности диска связан с определением напряжённого состояния в любой точке диска и для диска любой конструктивной схемы является очень сложной задачей.

Рассмотрим упрощенную расчетную схему по определению напряжений в диске.

Примем следующие допущения:

- материал диска упругий;

- диск тонкий (толщина диска много меньше наружного радиуса);

- диск симметричен относительно своей срединной плоскости;

- напряжения изгиба и кручения не учитываются;

- температура изменяется только по радиусу;

- напряжения от лопаток на внешнем диаметре и от запрессовки диска на вал распределены равномерно по толщине и окружности.

С учётом допущений можно считать, что в диске возникают напряжения направленные по нормалям к кольцевому сечению и радиальному сечению диска.

Исходными для расчета напряжений в диске являются уравнения равновесия и уравнения совместных деформаций, выраженные в напряжениях.

Уравнения равновесия. Рассмотрим условия равновесия сил действующих на бесконечно малый элемент диска заключенный между двумя концентрическими поверхностями, отстоящими на расстоянии друг от друга и на расстоянии от оси вращения и двумя радиальными поверхностями, проходящими через ось вращения под углом (рис.6.1).

 

Рис. 6.1. Расчетная схема диска на прочность от центробежных сил

При вращении диска угловой скоростью на выделенный элемент действует центробежная сила , приложенная в центре тяжести, которая определяется по зависимости

(6. 1)

 

где - масса выделенного элемента; составляющими порядка и др. пренебрегаем ввиду их малости

От действия центробежной силы на концентрических и радиальных поверхностях выделенного элемента возникают нормальные напряжения:

- на внутреннем цилиндрическом сечении, расположенном на радиусе напряжение , и радиальная сила, направленная к центру вращения ;

- на внешнем цилиндрическом сечении, расположенном на радиусе напряжение и радиальная сила, направленная от центра вращения ;

- на радиальных поверхностях, ввиду симметричности элемента тангенциальные напряжения на обеих гранях равны и также как и силы направлены по нормали к поверхности.

Составим уравнения сил на поверхностях выделенного элемента от нормальных напряжений.

На внутренней цилиндрической поверхности

(6.2)

 

На внешней цилиндрической поверхности

 

(6.3)

 

На радиальных поверхностях

 

(6.4)

 

Спроецируем все силы на вертикальную ось и запишем уравнение равновесия сил действующих на выделенный элемент

 

. (6.5)

 

Подставляя выражения (6.1 … 6.4) и учитывая, что ввиду малости получим уравнение равновесия в напряжениях

 

(6.6)

В уравнении (5.6) при известном законе изменения толщины диска по радиусу содержится два неизвестных .

Второе уравнения получим, связав с деформациями по закону Гука с учетом температурных деформаций. Относительные удлинения волокон в радиальном и окружном направлениях определятся

, (6.7)

где -коэффициент Пуассона; - коэффициент температурного линейного расширения материала диска; - температура диска на радиусе .

Относительные удлинения и связаны с удлинениями в радиальном и окружном направлениях соотношениями

 

, (6.8) или (6.9)

 

Дифференцируя соотношение (6.9), получим

(6.10)

 

С учетом (6.7) уравнение (6.10) запишется

 

(6.11)

Подставим в уравнение (6.11) выражения для и , получим

 

(6.12)

 

Уравнения (6.6) и (6.12) позволяют найти искомые напряжения и их изменения по радиусу. Точное решение этих уравнений возможно только для частных случаев профилей дисков, например диск постоянной толщины, конический или параболический закон изменения профиля диска по радиусу, диск равного сопротивления (Рис. 6.2).

 

Рис.6.2. Формы профилей дисков: а – постоянной толщины; б -конический; в – гиперболический; г– равного сопротивления

 

Если нет аналитической зависимости изменения толщины диска по радиусу, то задача решается приближёнными методами.

 

6.1. РАСЧЕТ ДИСКА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ

 

Для диска постоянной толщины h= const.

Запишем выражение (6.6) с учетом h= const вследующем виде:

 

(6.13)

 

Дифференцируя, по r найдем

 

(6.14)

 

Подставим выражения 6.13 и 6.14 в формулу 6.12 получим

 

(6.15)

 

Проинтегрируем выражение (6.15) дважды, получим

 

, (6.16)

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования; r_i – внутренний радиус диска (для диска сплошного, без центрального отверстия r_i =0).

Напряжения определяются по формуле (6.13) с учётом выражения (6.16):

(6.17)

 

Постоянные А₁ и А₂ определяются из граничных условий. На наружном радиусе диска радиальные напряжения равно нулю при отсутствии лопаток или напряжению от центробежной силы масс лопаток при их наличии.

В сплошном диске r=0, А₂=0 радиальные напряжения равны тангенциальным (см. рис. 6.3, а).

 

а б

Рис. 6.3. Распределения напряжений по радиусу равномерно нагретого вращающегося диска: а - диск сплошной; б - диск с отверстием; ;

 

В диске с внутренним отверстием радиальные напряжения на контуре свободного ненагруженного отверстия равно нулю или напряжению сжатия , при посадке диска на вал с натягом.

Величина напряжения изменяется в зависимости от режима работы двигателя и может быть рассчитана с учетом совместных деформаций вала и диска.

С учётом граничных условий формулы для расчета распределения напряжений по радиусу равномерно нагретого диска запишутся

 

 

(6.18)

Напряжения и состоят из двух частей- напряжений от внешней нагрузки и напряжений, вызываемых инерционными силами собственной массы диска.

Контурная нагрузка на периферии сплошного диска увеличивает на величину радиальные и тангенциальные напряжения по всему диску.

Напряжения от инерционных сил массы диска увеличиваются с ростом окружной скорости периферии диска и плотности материала .

Изменение относительных напряжений по радиусу вращающегося с угловой скоростью сплошного диска и диска с центральным отверстием рис.5.3 показывают, что тангенциальные напряжения на контуре центрального отверстия в два раза больше напряжений в центре сплошного диска.

В неравномерно нагретом неподвижном диске рис.6.4 относительные напряжения на контуре центрального отверстия также примерно в два раза превышают напряжения в центре сплошного диска.

Изменение напряжений по радиусу диска рис.6.4 построены для параболического закона распределения температуры по радиусу

 

, (6.19)

 

где - разность температур в центре и на периферии диска.

 

Рис.6.4 Распределения напряжений по радиусу неравномерно нагретого невращающегося диска: а - диск сплошной; б- диск с отверстием; ;

 

При , на периферии диска возникают сжимающие (отрицательные) тангенциальные напряжения, обусловленные стремлением диска на этих радиусах расшириться больше, чем это допускают более холодные внутренние участки диска.

При выключении двигателя обод диска турбины остывает быстрее, чем центр, при этом становится отрицательной, напряжения и меняют свои знаки на противоположные. То есть, при пусках и остановах ГТД, в дисках газовых турбин возникают знакопеременные напряжения, которые могут быть причиной появления трещин из-за малоциклической усталости материала диска.

 

6.2 РАСЧЕТ РАВНОПРОЧНОГО ДИСКА

 

Равнопрочным называется диск в котором во всех точках радиальные напряжения равны тангенциальным и постоянны по радиусу, т.е.

 

.

 

При данном определении уравнение (5.6) можно записать

 

, (6.20)

 

или (6.21)

 

Интегрируя уравнение (6.20) в пределах от текущего радиуса до наружного радиуса диска получим

 

(6.22)

 

Из формулы (6.22) выразим

 

(6.23)

 

Толщина диска на внешнем радиусе определяется исходя из контурного радиального напряжения от центробежных сил масс лопаток , центробежной силы массы бандажа и центробежной силы массы замковой части обода диска :

 

(6.24)

 

Центробежная сила масс лопаток размещенных на ободе диска определяется

 

, (6.25)

 

- число лопаток; - масса профильной части одной лопатки; - расстояние от оси вращения диска до центра тяжести масс лопатки.

Центробежная сила от массы бандажа

 

(6.26)

 

где - масса бандажа ( - радиус бандажа, толщина бандажа и ширина бандажа соответственно); расстояние от оси вращения до центра тяжести масс бандажа.

Центробежная сила от масс замковой части

 

, (6.27)

 

где - масса замковой части ( - радиус корневого сечения лопаток, радиус и ширина наружной поверхности рассчитываемого диска соответственно); - расстояние от оси вращения до центра тяжести масс замковой части.

 

6.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ

 

Представим уравнения равновесия и совместных деформаций в следующем виде

 

(6.28)

 

Разобьём диск рядом концентрических кольцевых сечений от 0 до к (рис. 6.5).

Рис.6.5. К расчету диска методом конечных разностей

 

Заменим дифференциалы в системе (6.29) конечными разностями:

 

(6.29)

где номер кольцевого сечения диска.

Подставим уравнения (6.29) в уравнения (6.28) принимая для величин их значения в сечении

проведем преобразования

 

(6.30)

 

Обозначим:

 

(6.31)

 

получим

 

(6.32)

 

Выразим напряжения в каждом сечении через напряжения в нулевом сечении.

Для диска с центральным отверстием нулевое сечение расположено на радиусе отверстия, причем для напрессованного диска на вал радиальные и тангенциальные напряжения равны напряжениям посадки

 

.

 

Для сплошного диска нулевое сечение проводится вблизи оси вращения, где также принимается .

Рассмотрим расчет напряжений в сечениях сплошного диска, используя уравнения (6.32)

 

 

где .

 

Для второго сечения

 

(6.34)

 

Подставим в него уравнения (6.34)

 

(6.35)

 

где

 

Очевидно, что для любого -го сечения можно записать

 

, (6.36)

 

где

(6.37)

 

В нулевом сечении формулы (6.36) запишутся:

- диск, сплошной:

 

.

 

откуда

 

- диск с отверстием:

 

откуда

 

Неизвестные напряжения в нулевом сечении диска определяются по напряжению в периферийном сечении диска, которое рассчитывается по зависимостям (6.34).

(6.38)

 

откуда (6.39)

 

Порядок расчёта 1. По геометрическим параметрам разбиения диска и режимным параметрам работы по зависимостям (6.31) рассчитываются

2. Последовательным расчётом по формулам (6.37) определяются

3. По формуле (6.39) рассчитывается .

4. По зависимостям (6.36) определяется и в каждом сечении диска.

Точность расчёта зависит от числа участков разбиений и их расположения. Обычно назначается не менее 10 сечений.

Радиус нулевого сечения для сплошного диска назначается равным (0.03…0.05) R_н.

В местах с резким изменением толщины диска сечения выбираются на меньшем расстоянии друг от друга. Возможно назначения двух сечений на одном радиусе с различной толщиной диска.

Расчёт выполняется в виде таблицы.

По рассчитанным радиальным и тангенциальным напряжениям определяются эквивалентные напряжения .

 

(6.40)

 

Определяется коэффициенты запасов прочности по радиусу диска

 

(6.41)

 

Типовые зависимости распределения напряжений по радиусу диска и коэффициенты запасов прочности с учетом изменения температуры см. рис.6.6

 

 

Рис.6.6. Распределение напряжений по радиусу диска

 

В качестве предельных допустимых напряжений принимается для турбин предел длительной прочности материала , для дисков компрессоров предел текучести материала или .

6.4. Контрольные вопросы

1. Составьте схему расчета диска произвольного профиля.

2. Основные допущения расчетной схемы.

3. Назовите нагрузки, действующие на диски компрессоров и газовых турбин.

4. Почему при расчете прочности дисков газовых турбин необходимо учитывать температуру и её изменение по радиусу?

5. Какие напряжения возникают во вращающемся нагретом диске?

6. Каким образом влияет профиль диска на распределения напряжений?

7. Какой диск называется равнопрочным?

8. Обоснуйте влияние на напряжения в диске контурной нагрузке от лопаток.

9. Как изменяются напряжения в диске при выполнении в нем центрального отверстия?

10. Как влияет величина натяга при запрессовке диска на вал?

11.Обоснуйте необходимость при определении напряжений учитывать материал дисков?

12. Диск, какой формы имеет минимальную массу и почему?

КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ

Диски роторов являются одними из наи­более нагруженных элементов авиадвигателей. При работе в них возникают напряжения от центробежных и осевых сил, температурные на­пряжения, напряжения от газодинамических сил и т.д. Эти нагрузки зачастую переменны, что вызывает колебания дисков, а при опреде­ленных частотах и амплитудах ведут к их разрушению, в итоге все это приводит к катастрофическим последствиям.

Формы колебаний дисков (рис.7.1) могут быть: без узловых линий ( ) - зонтичные; с узловыми диаметрами - волнообразные («веерные») (s=0; i=2,3,4 и т.д .); с узловыми окружностями - «осесимметричные» (i=0; s =0,1,2,3 и т.д.);комбинация узловых окружностей и диаметров ( ).

Каждой форме колебаний соответствует своя частота. Чем больше число узлов колебаний, тем выше частота колебаний.

Наиболее опасными являются «веерные» колебания с двумя и более диаметрами.

 

Рис.7.1. Формы колебаний дисков: - число узловых диаметров; - число узловых окружностей; 1 – узловые диаметры; 2 – узловые окружности

 

Волнообразные колебания невращающихся дисков

Рассмотрим волнообразные колебания диска с числом узловых диаметров равным двум (рис.7.2).

 

Рис.7.2. Схема веерных колебаний с двумя узловыми диаметрами

 

Уравнения прогибов точек диска при колебаниях в полярной системе координат запишется

 

(7.1)

 

где - функция радиуса, определяющая форму колебаний диска по радиусу; - полярный угол, отсчитываемый от одного из узловых диаметров; - круговая частота свободных колебаний диска; - время.

Перемещение точек, лежащих на радиусе рис.7.2 в момент времени подчиняется гармоническому закону.

Каждой форме собственных колебаний соответствует строго определенная частота колебаний. Для простых круглых пластин частота может быть подсчитана по формуле

 

(7.2)

 

где ρ - массовая плотность материала диска; δ - толщина диска; - наружный радиус диска; μ - коэффициент Пуассона;

 

- цилиндрическая жесткость;

 

- коэффициент частоты, определяемый формой колебаний и условиями закрепления.

В таблицах 7.1 и 7.2 приведены значения коэффициентов частоты для условий закрепления пластины по внешнему и внутреннему диаметрам.

Закрепление пластины на внешнем диаметре таблица 7.1

число узловых окружностей	число узловых диаметров
i=0	i=1	i=2	i=3
s=0	10,24	21,25	33,60
s=1	39,80	60,80	84,60
s=2	89,00		153,8
s=3	158,30			-

 

Закрепление пластины по центральному отверстию таблица7.2

число узловых окружностей	число узловых диаметров
i=0	i=1	i=2	i=3
s=0	3,75	3,42	5,39	12,49
s=1	20,91	27,56	34,80	53,30
s=2	60,68	-	-	-

 

Формула (7.2) и таблицы коэффициентов позволяют проанализировать соотношения собственных частот различных форм колебаний и зависимость от основных размеров, материала и условий закрепления.

Формы собственных колебаний рабочих колес компрессоров и газовых турбин ГТД аналогичны формам колебаний простых пластин с учетом реальных факторов.

Представим произведение косинусов (7.1) в виде суммы

 

(7.3)

 

тогда

 

(7.4)

 

Каждое слагаемое формулы (7.4) представляет собой колебание точек диска, сдвинутые по фазе на угол, пропорциональный координате . Колебания имеют вид фазовых волн - первое слагаемое волны с числом узловых диаметров , бегущую по диску в круговом направлении в сторону отсчета углов , а второе слагаемое – волну, бегущую навстречу (рис. 7.3).

 

Рис. 7.3. Расположение бегущих на

диске волн: а- волна в сторону

вращения; б – волна во встречном

направлении

 

Каждое из слагаемых по отдельности удовлетворяет общему уравнению колебаний диска, поэтому их можно рассматривать как независимые решения. То есть фазовые волны могут существовать на диске независимо друг от друга.

Для любого узлового диаметра выполняется условие При этом условии должно выполняться равенство

 

(7.5)

где - угол, определяющий место расположения узлового диаметра рис. 7.3.

(7.6)

 

знак плюс относится к волне, бегущей вперед, а знак минус - к волне, бегущей навстречу. Из формулы видно, что угол расположения узловых диаметров с течением времени меняется.

Продифференцируем выражение (7.6), получим скорость перемещения узловых диаметров по диску

 

(7.7)

 

Волны бегут в противоположные стороны с одинаковой скоростью, пропорциональной частоте собственных колебаний.

Правило движения фазовых волн сохраняется и на вращающемся с угловой скоростью диске. С учетом увеличения собственных частот вследствие вращения диска, абсолютные скорости фазовых волн относительно неподвижной системы координат, определяются

 

 

. (7.8)

Из (7.8) очевидно, что абсолютные угловые скорости прямых и обратных и волн различны.

Абсолютная угловая скорость обратной волны уменьшается с ростом угловой скорости вращения диска и при становится равной нулю. При этом сама форма колебаний относительно неподвижных осей оказывается неподвижной, а все точки вращающегося диска, следуя по этой форме, совершают поперечные колебания.

Угловые скорости вращения, при которых форма колебаний остается неподвижной относительно неподвижной системы координат называется критической и определяется

 

. (7.9)

 

На критических скоростях вращения возникает явление резонанса, диск теряет устойчивость. Под воздействием неосесимметричного статического давления на боковую поверхность диска или лопатки появляются большие деформации и напряжения изгиба диска, что может привести к задеванию о статор, обрыву лопаток и разрушению диска.

Для исключения опасных резонансных явлений в зоне рабочих угловых скоростей вращения роторов не рекомендуется допускать существования критических угловых скоростей дисков, особенно с числом узловых диаметров Для определения критических угловых скоростей необходимо знать собственные частоты колебаний диска как функции угловой скорости.

Для определения опасных оборотов на графике строятся зависимости собственных частот от угловых скоростей вращения ротора и из начала координат проводятся прямые . Точки пересечения прямых определяют критические угловые скорости вращения дисков (рис.7.4).

 

 

 

Рис.7.4. Определение критических

скоростей вращения рабочих колес

 

Рекомендуется на двигателях иметь запас по критическим скоростям вращения

 

(7.10)

 

В зависимости от числа узловых диаметров

 

 

Отстроиться от резонансных режимов можно изменением собственной частоты колебаний дисков или изменением порядка гармоник возмущающих сил.

Проведем анализ влияния различных факторов на собственные частоты.

Собственные частоты колебаний диска повышаются до 1.5…2 раз с увеличение коничности или гиперболичности полотна диска. Широкий обод на периферии диска увеличивает его изгибную жесткость, что может увеличить частоту собственных колебаний на 10…15%.

Лопатки, расположенные на периферии диска снижают собственные частоты колебаний дисков. Причем снижение частот определяется как соотношением масс лопаток и массы диска , так и соотношением длинны лопатки и радиуса диска. Типовые зависимости собственных частот колебаний рабочих колес с учетом этих факторов приведены на рис.7.5.

 

 

 

Рис.7.5. Влияние массы

лопаток на частоту собственных

колебаний рабочих колес

 

Существенное влияние на частоты собственных колебаний оказывает угловая скорость вращения рабочего колеса так как центробежные силы от масс диска стремятся вернуть отклоняющиеся части диска в состояние равновесия, что приводит к увеличению частоты собственных колебаний (рис.7.6). Повышение частот собственных колебаний рабочих колес от угловой скорости вращения ротора зависит от геометрической формы рабочего колеса и лопаток, соотношения их масс и жесткостей и может достигать двукратного значения. Расчет собственных частот колебаний рабочих колес производится по энергетическому методу Рэлея. Количественная зависимость может быть представлена формулой

 

(7.11)

 

где - коэффициент влияния угловой скорости.

Температура дисков влияет на собственные частоты колебаний за счет изменения модуля упругости материала. Кроме этого при рабочих режимах температура дисков существенно изменяется по радиусу, что приводит к возникновению больших напряжений сжатия на периферии и напряжений растяжения в центре. При этом частоты собственных колебаний рабочих колес снижаются, что может быть определено по методу Рэлея.

 

 

Рис.7.6.Влияние скорости вращения

на частоту собственных колебаний

диска

 

Расчет собственной частоты колебаний диска с лопатками с учетом изменения температуры для формы колебаний с двумя узловыми диаметрами можно оценить по формуле

(7.12)

 

где - коэффициент линейного температурного расширения материала диска; - средняя ширина диска; - модули упругости материала на среднем диаметре при температуре t и ; - разность температур на внешнем контуре и центре диска.

Закон изменения температуры по радиусу диска принят кубическим

 

 

При этом снижение частот собственных колебаний, может происходить на 20…25%, увеличиваясь для тонких дисков большого диаметра.

В реальном двигателе на диск одновременно воздействует угловая скорость и температура, поэтому при малых угловых скоростях основное влияние оказывают центробежные силы лопаток, а с ростом скорости вращения ротора и температуры – температурный фактор. Поэтому для одних форм ко