Способи побудови інтегрального показника

Операціональний рівень концепції інтегрального оцінювання

передбачає створення його інформаційної бази і визначення алгоритму

розрахунку. Його реалізація також не має чітко визначених правил та

процедур. Визначення алгоритму розрахунку інтегрального показника є

логічним продовження процесу операціоналізації і фактично є кінцевим

етапом його побудови.

Формування інформаційної бази його побудови передбачає визначення

часткових

X  X1

, X2

,...,X

n 

показників (критеріїв) щодо оцінювання

ефективності альтернатив, способів шкалювання даних, вимірювання,

квантифікацію значень якісних показників або їх відображення в кількісних

мірах взаємозв’язку з іншими показниками.

Спрощений алгоритм побудови інтегрального показника, який має

наступний вигляд:

1. Формування вектора

q  q1

(X),q2

(X),...,qs

(X)

окремих

показників, які являють собою функції від сукупності вихідних

показників і призначені для оцінювання окремих аспектів

досліджуваних об’єктів з використанням s різноманітних критеріїв.

В найпростішому випадку, який нами буде використовуватись далі,

окремий показник qi буде функцією від одного вихідного показника

Xi

:

() qi

 qi Xi

, s=1, 2, …, n. Зазвичай функції qi застосовуються для

перетворення вихідних показників до того вигляду, який буде

зручно використовувати у ролі складової інтегрального показника;

2. Вибір вигляду синтезуючої функції

(,,...,,,,...,) Q  Q w1 w2 w

s q1 q2 qs

,

яка ставить у відповідність вектору q значення зведеного показника

Q, який характеризує об’єкт у цілому, з урахуванням вектора деяких

додатних параметрів

w  w1

,w2

,...,w

s

, що відображають

значущість окремих складових вектора q.

3. Вибір значень вектора вагових коефіцієнтів w.

Розглянемо деякі практичні аспекти побудови інтегрального показника

оцінювання апріорної ефективності альтернатив. Надалі будемо вважати, що

кожна альтернатива описується деякою сукупністю ознак, кожна з яких є

показником, виміряним за метричною шкалою:

 1

,,..., X  X1 X2 Xk

. (8.1)

де k1 – кількість таких показників. Припустимо, що вихідні дані подані у

вигляді матриці «об’єкт-властивість», рядки якої являють собою сукупність

значень відібраних ознак оцінюваної альтернативи рішення, а стовпчики,

відповідно – значення показників для альтернатив.

Відомо, що ознака називається стимулятором (має монотонно

зростаючу залежність якості), якщо вищим значенням ознаки відповідає

краща якість альтернативи. Ознака називається дестимулятором (має

монотонно спадаючу залежність якості), якщо нижчим значенням ознаки

відповідає краща якість альтернативи. Ознака називається номінатором (має

немонотонну залежність якості), якщо існує деяке значення на проміжку

зміни ознаки, яке відповідає найкращій якості об’єкта. Віддалення від цього

значення призводить до погіршення якості.

Пропонується здійснювати побудову інтегрального показника на

дотриманні вимоги подання всіх ознак як стимуляторів. В цьому випадку

зберігається позитивний кореляційний зв’язок з тим показником відношень

на множині альтернатив, який апроксимується. З метою незалежності

інтегрального показника від одиниць вимірювання вихідних ознак необхідно

провести процедуру уніфікації шкал, за якої можливі значення ознак завжди

будуть обмежуватись відрізком [0; 1]. При цьому нульове значення

перетвореного показника буде відповідати найгіршій його якості за даною

властивістю, а значення, рівне 1, — найвищій. Перетворення будемо

здійснювати за правилом:

*

*

max

~

ij j

j

ij j

ij

x x

x x

x





 , (8.2)

де

ij x - значення j-того показника для i-тої альтернативи;

*

j

x - значення j-того показника, що відповідає його найкращій якості;

i=1, 2, …, m; m – кількість альтернатив; j=1, 2, …, k1.

В ролі

*

j

x

в залежності від типу показника обирається найбільше,

найменше або номінаторне значення. Досить поширеним є підхід, коли в ролі

такого показника використовується його нормативне значення. Тоді

залежність (8.2) вимагає додаткового перетворення з метою зведення значень

до проміжку [0; 1]. Також воно може визначатись на основі змістовних

міркувань стосовно уявного ідеального значення показника.

Важливим, на наш погляд, є питання визначення граничного значення

xjnom у випадку показників-номінаторів. Воно може обиратись, виходячи з

додаткових відомостей стосовно оцінювання якості досліджуваного явища за

такими показниками, або встановлюватись, як нормативне. Якщо така

інформація відсутня, для визначення цього значення за даними вибірки

пропонується використати таку залежність:

(1)

max

(1)

* j min j

j jnom

x x

x x



 , (8.3)

де

(1)

j min x - найменше значення показника, при якому починає спостерігатись

погіршення якості;

(1)

j max

x - найбільше значення показника, при якому має місце покращення

якості;

j=1, 2, …, k1.

Залежність (8.3) можна удосконалити, якщо номінаторне значення

розраховувати як середньозважене між

(1)

j min x

та

(1)

j max

x

, враховуючи кількості

значень, для яких має місце покращення та погіршення якості відповідно:

1 2

(1)

2 max

(1)

1 min

n n

n x n x

x

j j

jnom



  

, (8.4)

де n1 та n2 – кількість значень, для яких має місце відповідно покращення та

погіршення якості. Такий розрахунок дозволяє задати номінаторне значення

ближче до тієї підсукупності даних, якає більш чисельною.

Якщо номінаторне значення xjnom визначається деяким діапазоном

[j

, j], що має місце зокрема для таких показників, як час обслуговування

(консультації) споживача, тривалість рекламного ролика тощо, то для

процедури нормалізації можна запропонувати такий підхід.

Нехай Kj = {i: xij <j} – множина індексів, для яких значення j-того

показника менше за нижнє значення номінаторного інтервалу, а Kj = {i: xij

>j}, множина індексів, для яких значення j-того показника перевищує

верхнє значення номінаторного інтервалу, j=1, 2, …, k1. Введемо позначення:

maxmax{ },max{ ij j

} i K

j ij i K

j

x x

j j

    

   

, (8.5)













  

  

 

 





i j

ij j i

j ij i

ij

i K K

x i K

x i K

0, 

,

,

. (8.6)

Тоді вираз (8.2) прийме вигляд:

j

ij

ij x





 1

~, (8.7)

i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, k1.

Недоліком перетворень (8.3) та (8.4) є те, що серед нормалізованих

значень будуть відсутні одиничні. Натомість для перетворень (8.5) – (8.7)

таких значень може бути декілька.

Залежності (8.5) – (8.7) з певною модифікацією можна використовувати

і у випадку монотонної зміни якості часткового показника Xj

, j=1, 2, …, k1,

за умови, що найкраще значення якості задається не його максимальним

(мінімальним) значенням, а діапазоном. Зокрема, якщо позитивним

напрямком зміни якості є зростання значень показника до деякого

граничного значення j

, після чого наступні значення на зміну якості не

впливають, то:

max{ } j ij i K

j

x

j

   

 

, (8.8)









  

 





i

j ij i

ij i K

x i K

0,

,

, (8.9)

де Kj = {i, xij <j }. Нормалізація показника здійснюється за формулою (8.7).

Аналогічно можна провести нормалізацію для випадку, коли позитивним

напрямком зміни якості є зниження значень показника.

Після того, як всі показники зведені до уніфікованої шкали, можна

переходити до вибору синтезуючої функції Q. Якщо показники являють

собою часткові критерії ефективності, то зазвичай для цього використовують

лінійну адитивну або мультиплікативну згортки:





~

k

j

QA wjX j

, (8.10)





~

k

j

w

M j

j Q X, (8.11)

за умови

0, 1, 2,...,.

1;

w i k

w

i

k

i

i

 

 

. (8.12)

Помітимо, що в такому випадку значення інтегрального показника

також будуть мати діапазон зміни значень [0; 1]. Належність його такому

діапазону покращує інтерпретацію результату, дозволяє проводити

зіставлення результатів, отриманих за різними методиками розрахунків,

визначати ступні відповідності отриманого результату ідеалу тощо.

Ми вважаємо, що адитивна згортка є більш поширеною і

використовується, коли є підстави вважати, кожна складова лінійно і

адитивно впливає на досліджувану якість об’єктів. При цьому практично

немає обмежень на кількість складових залежності.

Мультиплікативна згортка використовується тоді, базисні показники

характеризують відносні величини. Зазвичай кількість складових обирається

не більше семи. Крім того, нижнє значення уніфікованою шкали для

оцінювання показників, рівне нулю, зазвичай не використовується. Слід

також зауважити, що така згортка є надто чутливою до низьких значень

базисних показників: близьке до нуля значення одного з них фактично може

нівелювати вплив інших показників, що погіршує диференціюючи знатність

інтегрального показника.

У тому випадку, якщо при оцінюванні якості використовується деякий

еталонний об’єкт, який володіє найкращими значеннями (отриманими з

вибірки, або гіпотетично) всіх показників (в термінах уніфікованої шкали –

рівних одиниці), то згортку пропонується проводити з використанням

відстані Мінковського:

p

k

j

p

j ij Q w x

1/

~













  





, (8.13)

де p – деякий показник ступеня.

Зростання значення p спричиняє більшу вагу максимального

відхилення від еталону в загальній сумі, зменшення – навпаки. Найбільш

поширеними, на наш погляд, є використання значень p=1 (зважена відстань

Хемінга), та p=2 (зважена Евклідова відстань).

При використанні даного методу часто вагові коефіцієнти беруться

однаковими, рівними 1/k1, що дещо спрощує розрахунки.

Представлене методологічне підґрунтя дозволяє здійснити побудову

науково обґрунтованого інтегрального показника. Практична реалізація

наведених в цьому підрозділі положень буде здійснена в п’ятому розділі при

побудові моделей інтегрального оцінювання ефективності маркетингових

рішень.