Методы формирования свёртки критериев

 

В случае использования аддитивных преобразований свёртка выглядит следующим образом:

 

(1.4)

 

где b _i (x) – коэффициент важности соответствующего критерия

Аддитивное преобразование для построения единого критерия очень часто используется, если объединение различных частных критериев проводится на экономической основе.

В случае использования мультипликативной свёртки обобщённый критерий формируется следующим образом:

(1.5)

где – некоторые вещественные числа.

Использование преобразования (1.5) характерно для тех задач принятия решений, где частными критериями являются некоторые вероятностные характеристики или где возможно использование в качестве некоторых удельных характеристик.

Например, обобщённый критерий технико-экономической эффективности ЭВМ, предложенный в [36], построен следующим образом:

 

(1.6)

 

где и отражает эффективное быстродействие ЭВМ, причём является критерием оценки технической эффективности ЭВМ и зависит от её важнейших технических характеристик (системы операций, номинального быстродействия, ёмкости памяти, надёжности, скорости работы устройств ввода-вывода);

– суммарные затраты на изготовление, амортизацию и эксплуатацию ЭВМ за время Т;

– объём работы, выполненной ЭВМ за время её живучести, в пересчёте на число операций типового набора;

 

Т – время живучести ЭВМ.

 

Если критерии измеряются в различных шкалах, то необходимо привести их к единой шкале. Для этого обычно формируют следующий критерий:

(1.7)

 

где

 

К недостаткам данного метода можно отнести существование возможных неоднозначных компенсаций значений критериев.

Введение метрики в пространстве целевых функций

 

Предположим, что решена система однокритериальных задач:

(1.8)

Совокупность скалярных величин определяет в пространстве критериев некоторую точку, которую назовём точкой «абсолютного максимума». Если найденные векторы х^* в каждой из задач (1.8) различны, то не существует такого выбора, который позволил бы достичь этой точки. Точка является недостижимой в пространстве критериев.

Введём метрику в виде эвклидова расстояния от точки

 

до точки

в пространстве критериев:

(1.9)

В качестве нового скалярного критерия можно принять функцию (1.9). Её минимизация даёт исследователю определённую полезную информацию и показывает предельные возможности достижения абсолютного максимума.

 

Метод максиминной свёртки

Задаётся некоторая система нормативов: . Это значит, что параметры будущего проекта должны быть таковы, чтобы максимизировать функции

 

В таких случаях интегральный критерий удобно представить в виде:

 

(1.10)

 

и искать вектор х ^*, который обеспечивает максимальное значение F(x). Если значения жестко не заданы, то они могут быть определены в результате экспертного опроса.

 

Метод последовательных уступок

 

Все критерии расположим в порядке убывания важности. В основу построения процедуры упорядоченности может быть положен метод экспертных оценок. Каждый из критериев необходимо максимизировать.

Процедура построения компромиссного решения сводится к следующему. Сначала ищется решение, обращающее в максимум главный критерий . Затем назначается, исходя из практических соображений и заданной точности, некоторая уступка , которую согласны мы допустить, чтобы обратить вмаксимум второй критерий . Накладываем при этом на критерий ограничение, чтобы он был не меньше , где – максимально возможное значение , и при этом ограничении ищем решение, образующее максимум .

Далее снова назначается уступка в критерии , ценой которой можно максимизировать и т. д. До последнего критерия .

Такой способ компромиссного решения хорош тем, что здесь сразу видно, ценой какой уступки в одном критерии приобретается выигрыш в другом.

Компромиссы Парето

 

Все рассмотренные выше способы разрешения многокритериальной проблемы выбора были основаны на различных операциях свёртывания скалярных критериев к интегральным. К решению многокритериальных задач можно подойти с других позиций – попытаться сократить множество исходных вариантов, т. е. исключить из неформального анализа те варианты решений, которые заведомо плохи. Один из подобных путей был предложен итальянским экономистом Парето в 1904 г.

Для раскрытия содержания этого подхода воспользуемся теоретико-множественной интерпретацией, для чего введём следующие операции и понятия [33].

 

Определение 1

Отношением R на множестве элементов W называется подмножество R множестваW x W, т. е. .

 

Содержательный смысл этого определения состоит в том, что задание подмножества R на множестве W x W определяет, какие пары находятся в отношении R. Это подчёркивается следующим соглашением об обозначениях:

если пара входит в R, т. е. , то пишут x R y, что читается: “ x находится в отношении R с y ”.

 

Множество W называется областью задания отношения и в тех случаях, где существенна область задания отношения, используется пара обозначений .

Пример 1.1

 

Пусть W ₁ – множество студентов группы, W ₂ – множество студентов факультета, W ₃ – множество студентов всего института. Естественно определяются три разных отношения: , , , где – множество таких пар , что «х» знаком с «у», но при i = 1 областью задания отношения является множество студентов одной группы; при i = 2 – факультета, при i = 3 – института.

Способы задания отношений

 

Существуют три основных способа задания отношений:

· матрицей,

· графом,

· сечениями.

 

Матричный способ. Общее правило задания матрицы отношения формулируется так:

,

 

где , если выполнено ,

, если не выполнено .

 

Задание графом Элементы конечного множества W – вершины графа. От элемента к элементу проводится дуга тогда и только тогда, когда выполнено (при i = j дуга () превращается в петлю при вершине ).

Задание сечениями. Этот способ менее распространён, чем предыдущие, однако он пригоден и для задания отношений на бесконечных множествах.

Определение 2

Верхним сечением называется множество элементов таких, что ; . (1.11)   Аналогично определяется нижнее сечение: . (1.12)

 

Таким образом, множество – это множество всех элементов , с которыми фиксированный элемент находится в отношении .

Множество – это множество всех элементов , которые находятся в отношении с фиксированным элементом

 

Определение 3

Отношение называется дополнением отношения , если оно выполняется для тех и только тех пар, для которых не выполняется отношение . Очевидно, что \

 

Опреде-ление 4

Отношение Парето (Р) определяется следующим образом:   (1.13) где множество – n -мерное пространство .

 

На рис 1.1 изображены верхнее и нижнее сечения отношения Р в точке

 

 

 

Определение 5

Множеством Парето на называется множество:   . (1.14)

 

Из определения множества следует, что содержит те и только те элементы х^* для которых .

Пример 1.2

Пусть ;

 

 

Множества и изображены на рис. 1.2.

 

Легко видеть, что

 

, ,

 

,

 

,

 

, .

 

Таким образом, множество Парето включает только точки и .

Переходя к многокритериальному пространству , где и множеству решений х Î Х,

где х^Т = [ х₁, х₂,..., х _j,.,. х_n ], отношение Парето в соответствии с определением 4 представляет собой следующее отношение доминирования:

 

 

Определение 6

Если для некоторой точки не существует более предпочтительной по Парето точки, т.е. такой точки х, что , тогда называется   эффективным или Парето-оптимальным решением многокритериальной задачи: .

 

 

Множество, включающее в себя все эффективные элементы х множества , называется множеством Парето и обозначается .

Отображение множества в пространстве критериев обозначается и называется множеством эффективных оценок. Смысл введённого понятия состоит в том, что оптимальный исход следует искать среди элементов множества недоминируемых элементов ) (принцип Парето).В противном случае всегда найдётся точка , оказывающаяся более предпочтительной с учётом всех частных целевых функций

Заметим, что принцип Парето не выделяет единственного решения, он только сужает множество альтернатив, окончательный выбор остаётся за ЛПР на основе дополнительной информации о его предпочтениях.