ТОП 10:

Принятие решений в условиях неопределенности критерия.



Основная трудность – наличие нескольких критериев, среди которых могут быть неформализованные, по которым следует сравнивать исходы. В этом случае возникает задача принятия решений при так называемом «векторном критерии» [1]-[3].

Случай 1 (построение сверток критериев). Пусть имеется совокупность m критериев:

F1(x), F2(x),…, Fm (x), x Î X .

Каждый из этих критериев максимизируемый. Требуется найти решение, которое окажется наилучшим с точки зрения выбираемого критерия. Для принятия решения составляют линейную свертку критериев, получая обобщенный критерий

,

где wi – вес соответствующего критерия, и решают задачу max F0(x), x Î X. Одним из примеров в экономике является критерий приведенных затрат, получающийся из противоречивых между собой критериев капитальных и эксплутационных затрат.

Можно привести еще один способ постороения свертки, обычно применяемый при измерении критериев в различных шкалах. Каждый критерий Fi(x), заменяют на и рассматривают задачу минимизации функционала

, (1.1)

где . Эту задачу можно интерпретировать как минимизацию суммы отклонений критериев от их максимальных значений.

При таком формировании обобщенного критерия может возникнуть несоответствие, связанное с тем, что можно добиться высоких показателей по одним критериям за счет ухудшения показателей по другим критериям. Для ликвидации этих несоответствий вводят дополнительные условия:

F i (x)≥ F i доп (1.2)

и решают задачу (1.1) при этом ограничении.

Случай 2 (перевод критериев в ранг ограничений). Для всех критериев, кроме одного (например первого) задают их наименьшие допустимые значения Fi доп и решают задачу

max F1(x) (1. 3)

при ограничениях:

Fi (x) ≥ Fi 2 доп., i=1,2,3,…,m.

Случай 3. (аппроксимационно–комбинаторный подход). Предположим, что для всех критериев j=1,2,3,…,n заданы числа Rj, характеризующие наибольшее допустимое отклонение j–го Fj(x) критерия от его оптимального значения Fjопт, т.е. известно, что решение, подлежащее внедрению должно удовлетворять ограничениям

Fj(x) ≥ FjоптRj, j=1,2,3,…,n

Выбор решения, подлежащего внедрению, осуществляется из получившегося множества W на основе неформальных критериев, которым владеет лицо, принимающее решение. Этот подход предложен В.Р. Хачатуровым [Хачатур] и успешно применялся для дискретных задач.

Случай 4 (оптимизация по Парето). Пусть все критерииF1(x), F2(x),, Fm(x)минимизируемые, т.е. чем меньше их значение, тем предпочтительнее выбор.На множестве всех допустимых решений X, используя формализованные критерии F1(x), F2(x),, Fm (x), xÎX строится порядок. Наибольшие элементы в смысле этого порядка принимаются за оптимальные. Рассмотрим оптимальность по Парето для случая, когда множество X конечное, т.е. X={x1,x2,x3,…,xn}.

Будем говорить, что xÎX предпочтительнее yÎX и записывать , если для всех i=1,2,3,…,m выполняется Fi(xFi(y), и существуют i, для которых это неравенство строгое. Таким образом, для любых x,yÎX либо , либо , либо они несравнимы. Наименьший в смысле этого предпочтения элемент является оптимальным по Парето. Напомним, что элемент множества xÎX называется наименьшим в смысле предпочтения , если не существует xÎX, такого, что .

Выбор решения, подлежащего внедрению, осуществляется из множества Парето P на основе неформальных критериев, которым владеет лицо, принимающее решение.

Примеры.

Построение линейной свертки. Для демонстрации построения линейной свертки рассмотрим пример, приведенный в следующей таблице:

  Элементы множества X Максимальный элемент по критерию
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии x4, x10
x2
x7
x5
x3

 

 

В ней X={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10}, критерии F1(x), F2(x),, F5(x). В каждой строке таблицы указаны значения соответствующего критерия. Все критерии максимизируемые.

Максимальные элементы по каждому критерию приведены в крайнем правом столбце.

Зададим коэффициенты свертки, в следующей таблице они справа.

 

  Элементы множества X Коэфф. свертки
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,1
0,3
0,1
0,4
0,1

 

 

Таблица для свертки критериев имеет вид:

 

  Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Линейная свертка (F0(x)) 4,7 3,4 3,6 5,3 3,2 5,3 2,4 4,7 3,3

Ясно, что F0(x5)= F0(x7)= =5,3, т.е. оптимальными являются элементы x5, x7.

Аппроксимационно–комбинаторный подход.

 

  Элементы множества X Допустимое отклонение от оптимума Допустимые решения по критерию
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии x4, x10, x5, x7, x9
x7, x2, x7, x9
x5, x7, x9
x5, x9, x7
x3, x7, x9

 

Множество допустимых решений одновременно по всем критериям {x7,x9}. Среди эти решений ЛПР произведет окончательный выбор.

Оптимизация по Парето

Рассмотрим пример, приведенный в следующей таблице:

 

  Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии

 

 

В ней X={x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10}, критерии F1(x), F2(x),, F5(x). В каждой строке таблицы указаны значения соответствующей функции. В ней , x8 и x10 несравнимы между собой, они также являются оптимальными по Парето, так как не существует элементов, предпочтительнее, чем они.


 

Самостоятельная работа №1.

Для данных, приведенных далее в таблицах выполнить:

1) Найти максимальные решения по каждому критерию.

2) Построить линейную свертку критериев и найти оптимальное решение, коэффициенты свертки взять из рассмотренного выше примера.

3) Найти множество решений в задаче согласно аппроксимационно–комбинаторного подхода, значения допустимых отклонений от оптимума взять из ранее решенного примера.

4) Считая все критерии, приведенные в таблице, минимизируемые, привести решения

а) x и у, для которых

б) x и у, которые несравнимые по предпочтению ,

в) оптимальные по Парето.

 

Таблицы вариантов заданий:

 

Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,1 1,3 1,3 1,5 0,3 2,0 0,0 1,4 0,3 0,0
0,8 2,0 2,0 0,6 1,3 1,8 0,3 2,0 1,3 0,7
1,7 1,8 1,8 0,0 2,0 0,9 1,3 1,7 2,0 1,6
2,0 0,9 0,9 0,3 1,8 0,1 2,0 0,8 1,8 2,0
1,3 0,1 0,1 1,3 0,9 0,2 1,8 0,1 0,9 1,4
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,8 2,0 2,0 0,6 1,3 1,8 0,3 2,0 1,3 0,7
1,7 1,8 1,8 0,0 2,0 0,9 1,3 1,7 2,0 1,6
2,0 0,9 0,9 0,3 1,8 0,1 2,0 0,8 1,8 2,0
1,3 0,1 0,1 1,3 0,9 0,2 1,8 0,1 0,9 1,4
0,4 0,2 0,2 2,0 0,1 1,0 0,9 0,2 0,1 0,5
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,7 1,8 1,8 0,0 2,0 0,9 1,3 1,7 2,0 1,6
2,0 0,9 0,9 0,3 1,8 0,1 2,0 0,8 1,8 2,0
1,3 0,1 0,1 1,3 0,9 0,2 1,8 0,1 0,9 1,4
0,4 0,2 0,2 2,0 0,1 1,0 0,9 0,2 0,1 0,5
0,0 1,0 1,0 1,8 0,2 1,8 0,1 1,1 0,2 0,0
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 2,0 0,9 0,9 0,3 1,8 0,1 2,0 0,8 1,8 2,0
1,3 0,1 0,1 1,3 0,9 0,2 1,8 0,1 0,9 1,4
0,4 0,2 0,2 2,0 0,1 1,0 0,9 0,2 0,1 0,5
0,0 1,0 1,0 1,8 0,2 1,8 0,1 1,1 0,2 0,0
0,5 1,8 1,8 0,9 1,0 1,9 0,2 1,9 1,0 0,4
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,3 0,1 0,1 1,3 0,9 0,2 1,8 0,1 0,9 1,4
0,4 0,2 0,2 2,0 0,1 1,0 0,9 0,2 0,1 0,5
0,0 1,0 1,0 1,8 0,2 1,8 0,1 1,1 0,2 0,0
0,5 1,8 1,8 0,9 1,0 1,9 0,2 1,9 1,0 0,4
1,5 1,9 1,9 0,1 1,8 1,1 1,0 1,9 1,8 1,4
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,4 0,2 0,2 2,0 0,1 1,0 0,9 0,2 0,1 0,5
0,0 1,0 1,0 1,8 0,2 1,8 0,1 1,1 0,2 0,0
0,5 1,8 1,8 0,9 1,0 1,9 0,2 1,9 1,0 0,4
1,5 1,9 1,9 0,1 1,8 1,1 1,0 1,9 1,8 1,4
2,0 1,1 1,1 0,2 1,9 0,2 1,8 1,0 1,9 2,0
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,0 1,0 1,0 1,8 0,2 1,8 0,1 1,1 0,2 0,0
0,5 1,8 1,8 0,9 1,0 1,9 0,2 1,9 1,0 0,4
1,5 1,9 1,9 0,1 1,8 1,1 1,0 1,9 1,8 1,4
2,0 1,1 1,1 0,2 1,9 0,2 1,8 1,0 1,9 2,0
1,6 0,2 0,2 1,0 1,1 0,0 1,9 0,2 1,1 1,7
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,5 1,8 1,8 0,9 1,0 1,9 0,2 1,9 1,0 0,4
1,5 1,9 1,9 0,1 1,8 1,1 1,0 1,9 1,8 1,4
2,0 1,1 1,1 0,2 1,9 0,2 1,8 1,0 1,9 2,0
1,6 0,2 0,2 1,0 1,1 0,0 1,9 0,2 1,1 1,7
0,6 0,0 0,0 1,8 0,2 0,7 1,1 0,1 0,2 0,7
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,5 1,9 1,9 0,1 1,8 1,1 1,0 1,9 1,8 1,4
2,0 1,1 1,1 0,2 1,9 0,2 1,8 1,0 1,9 2,0
1,6 0,2 0,2 1,0 1,1 0,0 1,9 0,2 1,1 1,7
0,6 0,0 0,0 1,8 0,2 0,7 1,1 0,1 0,2 0,7
0,0 0,7 0,7 1,9 0,0 1,7 0,2 0,8 0,0 0,0

 

Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 2,0 1,1 1,1 0,2 1,9 0,2 1,8 1,0 1,9 2,0
1,6 0,2 0,2 1,0 1,1 0,0 1,9 0,2 1,1 1,7
0,6 0,0 0,0 1,8 0,2 0,7 1,1 0,1 0,2 0,7
0,0 0,7 0,7 1,9 0,0 1,7 0,2 0,8 0,0 0,0
0,3 1,7 1,7 1,1 0,7 2,0 0,0 1,7 0,7 0,2
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,6 0,2 0,2 1,0 1,1 0,0 1,9 0,2 1,1 1,7
0,6 0,0 0,0 1,8 0,2 0,7 1,1 0,1 0,2 0,7
0,0 0,7 0,7 1,9 0,0 1,7 0,2 0,8 0,0 0,0
0,3 1,7 1,7 1,1 0,7 2,0 0,0 1,7 0,7 0,2
1,2 2,0 2,0 0,2 1,7 1,4 0,7 2,0 1,7 1,1
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,6 0,0 0,0 1,8 0,2 0,7 1,1 0,1 0,2 0,7
0,0 0,7 0,7 1,9 0,0 1,7 0,2 0,8 0,0 0,0
0,3 1,7 1,7 1,1 0,7 2,0 0,0 1,7 0,7 0,2
1,2 2,0 2,0 0,2 1,7 1,4 0,7 2,0 1,7 1,1
1,9 1,4 1,4 0,0 2,0 0,5 1,7 1,3 2,0 1,9
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,0 0,7 0,7 1,9 0,0 1,7 0,2 0,8 0,0 0,0
0,3 1,7 1,7 1,1 0,7 2,0 0,0 1,7 0,7 0,2
1,2 2,0 2,0 0,2 1,7 1,4 0,7 2,0 1,7 1,1
1,9 1,4 1,4 0,0 2,0 0,5 1,7 1,3 2,0 1,9
1,8 0,5 0,5 0,7 1,4 0,0 2,0 0,4 1,4 1,9
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,3 1,7 1,7 1,1 0,7 2,0 0,0 1,7 0,7 0,2
1,2 2,0 2,0 0,2 1,7 1,4 0,7 2,0 1,7 1,1
1,9 1,4 1,4 0,0 2,0 0,5 1,7 1,3 2,0 1,9
1,8 0,5 0,5 0,7 1,4 0,0 2,0 0,4 1,4 1,9
0,9 0,0 0,0 1,7 0,5 0,5 1,4 0,0 0,5 1,0
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,2 2,0 2,0 0,2 1,7 1,4 0,7 2,0 1,7 1,1
1,9 1,4 1,4 0,0 2,0 0,5 1,7 1,3 2,0 1,9
1,8 0,5 0,5 0,7 1,4 0,0 2,0 0,4 1,4 1,9
0,9 0,0 0,0 1,7 0,5 0,5 1,4 0,0 0,5 1,0
0,1 0,5 0,5 2,0 0,0 1,4 0,5 0,6 0,0 0,2
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,9 1,4 1,4 0,0 2,0 0,5 1,7 1,3 2,0 1,9
1,8 0,5 0,5 0,7 1,4 0,0 2,0 0,4 1,4 1,9
0,9 0,0 0,0 1,7 0,5 0,5 1,4 0,0 0,5 1,0
0,1 0,5 0,5 2,0 0,0 1,4 0,5 0,6 0,0 0,2
0,1 1,4 1,4 1,4 0,5 2,0 0,0 1,5 0,5 0,1
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,8 0,5 0,5 0,7 1,4 0,0 2,0 0,4 1,4 1,9
0,9 0,0 0,0 1,7 0,5 0,5 1,4 0,0 0,5 1,0
0,1 0,5 0,5 2,0 0,0 1,4 0,5 0,6 0,0 0,2
0,1 1,4 1,4 1,4 0,5 2,0 0,0 1,5 0,5 0,1
0,9 2,0 2,0 0,5 1,4 1,6 0,5 2,0 1,4 0,8
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,9 0,0 0,0 1,7 0,5 0,5 1,4 0,0 0,5 1,0
0,1 0,5 0,5 2,0 0,0 1,4 0,5 0,6 0,0 0,2
0,1 1,4 1,4 1,4 0,5 2,0 0,0 1,5 0,5 0,1
0,9 2,0 2,0 0,5 1,4 1,6 0,5 2,0 1,4 0,8
1,8 1,6 1,6 0,0 2,0 0,7 1,4 1,6 2,0 1,7
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,1 0,5 0,5 2,0 0,0 1,4 0,5 0,6 0,0 0,2
0,1 1,4 1,4 1,4 0,5 2,0 0,0 1,5 0,5 0,1
0,9 2,0 2,0 0,5 1,4 1,6 0,5 2,0 1,4 0,8
1,8 1,6 1,6 0,0 2,0 0,7 1,4 1,6 2,0 1,7
1,9 0,7 0,7 0,5 1,6 0,0 2,0 0,6 1,6 2,0
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,1 1,4 1,4 1,4 0,5 2,0 0,0 1,5 0,5 0,1
0,9 2,0 2,0 0,5 1,4 1,6 0,5 2,0 1,4 0,8
1,8 1,6 1,6 0,0 2,0 0,7 1,4 1,6 2,0 1,7
1,9 0,7 0,7 0,5 1,6 0,0 2,0 0,6 1,6 2,0
1,2 0,0 0,0 1,4 0,7 0,3 1,6 0,0 0,7 1,3
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,9 2,0 2,0 0,5 1,4 1,6 0,5 2,0 1,4 0,8
1,8 1,6 1,6 0,0 2,0 0,7 1,4 1,6 2,0 1,7
1,9 0,7 0,7 0,5 1,6 0,0 2,0 0,6 1,6 2,0
1,2 0,0 0,0 1,4 0,7 0,3 1,6 0,0 0,7 1,3
0,3 0,3 0,3 2,0 0,0 1,2 0,7 0,3 0,0 0,4
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,8 1,6 1,6 0,0 2,0 0,7 1,4 1,6 2,0 1,7
1,9 0,7 0,7 0,5 1,6 0,0 2,0 0,6 1,6 2,0
1,2 0,0 0,0 1,4 0,7 0,3 1,6 0,0 0,7 1,3
0,3 0,3 0,3 2,0 0,0 1,2 0,7 0,3 0,0 0,4
0,0 1,2 1,2 1,6 0,3 1,9 0,0 1,3 0,3 0,0
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,9 0,7 0,7 0,5 1,6 0,0 2,0 0,6 1,6 2,0
1,2 0,0 0,0 1,4 0,7 0,3 1,6 0,0 0,7 1,3
0,3 0,3 0,3 2,0 0,0 1,2 0,7 0,3 0,0 0,4
0,0 1,2 1,2 1,6 0,3 1,9 0,0 1,3 0,3 0,0
0,7 1,9 1,9 0,7 1,2 1,8 0,3 2,0 1,2 0,6
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,2 0,0 0,0 1,4 0,7 0,3 1,6 0,0 0,7 1,3
0,3 0,3 0,3 2,0 0,0 1,2 0,7 0,3 0,0 0,4
0,0 1,2 1,2 1,6 0,3 1,9 0,0 1,3 0,3 0,0
0,7 1,9 1,9 0,7 1,2 1,8 0,3 2,0 1,2 0,6
1,6 1,8 1,8 0,0 1,9 1,0 1,2 1,8 1,9 1,5
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,3 0,3 0,3 2,0 0,0 1,2 0,7 0,3 0,0 0,4
0,0 1,2 1,2 1,6 0,3 1,9 0,0 1,3 0,3 0,0
0,7 1,9 1,9 0,7 1,2 1,8 0,3 2,0 1,2 0,6
1,6 1,8 1,8 0,0 1,9 1,0 1,2 1,8 1,9 1,5
2,0 1,0 1,0 0,3 1,8 0,2 1,9 0,9 1,8 2,0
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 0,7 1,9 1,9 0,7 1,2 1,8 0,3 2,0 1,2 0,6
1,6 1,8 1,8 0,0 1,9 1,0 1,2 1,8 1,9 1,5
2,0 1,0 1,0 0,3 1,8 0,2 1,9 0,9 1,8 2,0
1,5 0,2 0,2 1,2 1,0 0,1 1,8 0,1 1,0 1,6
0,5 0,1 0,1 1,9 0,2 0,9 1,0 0,1 0,2 0,6
Вариант                    
Элементы множества X
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
Критерии 1,6 1,8 1,8 0,0 1,9 1,0 1,2 1,8 1,9 1,5
2,0 1,0 1,0 0,3 1,8 0,2 1,9 0,9 1,8 2,0
1,5 0,2 0,2 1,2 1,0 0,1 1,8 0,1 1,0 1,6
0,5 0,1 0,1 1,9 0,2 0,9 1,0 0,1 0,2 0,6
0,0 0,9 0,9 1,8 0,1 1,8 0,2 1,0 0,1 0,0

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-06-29; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.228.10.64 (0.01 с.)