Статистические гипотезы и критерии.

(из учебника Мат.стат.)

На разных этапах статистического исследования возникает необходимость в формулировании и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез). Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Выдвигается основная (нулевая) гипотеза и проверяется, не противоречит ли она имеющимся эмпирическим данным. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

В результате статистической проверки гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза; вероятность совершить такую ошибку обозначают и называют ее уровнем значимости. Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза, вероятность которой обозначают , а мощностью критерия является вероятность .

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющейся выборкой осуществляется с помощью того или иного статистического критерия и называется статистической проверкой гипотез. Под критической областью понимают совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Критическую область при заданном уровне значимости следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, которую представим на рис. 103.

Рис. 103

1. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. При заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что генеральные дисперсии рассматриваемых совокупностей равны между собой:

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину отношения большей исправленной дисперсии к меньшей

Величина имеет распределение Фишера-Снедекора, которое зависит только от чисел степеней свободы и .

Пример 181. Исследование длительности оборотных средств двух групп предприятий (по 13 предприятий в каждой) дало следующие результаты:

дня, дней, дня, дней.

Можно ли считать, что отклонения в длительности оборота оборотных средств групп предприятий одинаковы для уровня значимости 0,1?

Решение. В этой задаче надо проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе . Используем критерий Фишера-Снедекора со степенями свободы и вычислим наблюдаемое значение критерия (отношение большей дисперсии к меньшей)

 

По таблице приложения 6 по уровню значимости для двусторонней критической области и числам степеней свободы находим критическую точку

 

Так как , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу о равенстве отклонений в длительности оборота оборотных средств двух групп предприятий.

Пример 182. Школьникам давались обычные арифметические задачи, а потом одной случайно выбранной половине учащихся сообщалось, что они не выдержали испытания, а остальным - обратное. Затем у каждого из них спрашивали, сколько секунд ему потребуется для решения новой задачи. Экспериментатор, вычисляя разность между определенным временем решения задачи, которое называл школьник, и результатами ранее выполненного задания, получил следующие данные:

группа 1 (учащиеся, которым сообщалось о положительном результате)
группа 2 (учащиеся, которым сообщалось о неудаче)

Проверьте на уровне значимости 0,01 гипотезу о том, что дисперсия совокупности детских оценок, имеющих отношение к оценке их возможностей, не зависит от того, что сообщалось детям о плохих результатах испытаний или об удачном решении первой задачи.

Решение. Применим критерий Фишера-Снедекора для нулевой гипотезы и конкурирующей . Вычислим наблюдаемое значение критерия

Критическую точку находим в приложении для уровня значимости и числам степеней свободы и :

 

Получили, что и нулевая гипотеза на уровне значимости 0,01 отвергается.

2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральных средних рассматриваемых совокупностей с заданными или вычисляемыми дисперсиями. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

Пример 183. Производительность двух моторных заводов, выпускающих дизельные двигатели, характеризуется следующими данными:

1-й завод
2-й завод

Можно ли считать одинаковыми производительности дизельных двигателей на обоих заводах при уровне значимости ?

Решение. Найдем выборочные числовые характеристики данных независимых выборок:

Найдем наблюдаемое значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область - двусторонняя.

Найдем критическую точку:

по таблице функции Лапласа (прил. 2) находим .

Так как , то нулевая гипотеза об одинаковости производительности двух заводов отклоняется.

3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. По выборочной средней при заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза о равенстве генеральной средней гипотетическому значению . В качестве проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

которая распределена нормально.

Пример 184. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя . Проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе и уровне значимости 0,1.

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Найдем критическую точку двусторонней критической области:

и по таблице функции Лапласа находим .

Поскольку , то нулевая гипотеза принимается.

4. Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. При заданном уровне значимости проверяется нулевая гипотеза, состоящая в том, что неизвестная вероятность появления события равна гипотетической вероятности серии повторных независимых испытаний.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимаем случайную величину

Пример 185. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота 0,07. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

Учитывая, что критическая область двусторонняя, находим из равенства

 

По таблице функции Лапласа (прил. 2) находим .

Поскольку , то нет оснований отвергать гипотезу о незначительном отличии наблюдаемой относительной частоты от гипотетической вероятности.

Критерий Стьюдента

t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M{ Х} генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или ког­да требуется построить доверительный интервал для M{ Х}. Обнаруже­но, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распреде­лена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально:

где N- общее число наблюдений (объем выборки),

Х - среднее арифметическое случайной переменной Х;

S{Х), S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х.

На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределе­ния Ф(t) для различных степеней свободы f=N-1, по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S²{ Х }. При сравнитель­но небольших N кривая Ф(t) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф(Х). При N----- кривая Ф(t) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения t _кр = t_q,f для принятого уровня значимости q и имеющегося чис­ла степеней свободы f, задаются только положительные t_кр.

Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t < t_кр, то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С не проти­воречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q.

В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q. При этом остается возможность совер­шить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу с вероят­ностью q. -

Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания.

При t=t _кр разность [X - M{Х}] в (1.3) равна половине шири­ны доверительного интервала __ т.е.

Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью P=I-q находится математическое ожидание M{X}, определяется следующими выражениями:

Поскольку мате­матическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с ве­роятностью Р = I - q накрывает М {X}.

 

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий:

причем в числителе ставится большая из двух дисперсий. Расчетное F сравнивают с _____________, которое находятиз таблиц, для степеней свободы _____________________________________где N ₁ - число элементов выборки, по который вычислена _______.

N ₂ - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии ________.

Если F<F_кр, то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий _________________ при принятом уровне значимости q.

На рис. 1.3 показаны кривые распределения _____. Зачернена об­ласть критических значений F.

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить.точность приборов, инструментовили методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечи­вает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дис­персию.