Выбор меры центральной тенденции

Каждая мера центральной тенденции обладает характеристиками, кото­рые делают ее ценной в определенных условиях.

Для номинативных данных, разумеется, единственной подходящей мерой центральной тенденции является мода, или модальная категория - та града-ция номинативной переменной, которая встречается наиболее часто.

Для порядковых и метрических переменных, распределение которых уни­модальное и симметричное, мода, медиана и среднее совпадают. Чем больше отклонение от симметричности, тем больше расхождение между значениями этих мер центральной тенденции. По этому расхождению можно судить о том, насколько симметрично или асимметрично распределение.

Наиболее очевидной и часто используемой мерой центральной тенденции является среднее значение. Но его использование ограничивается тем, что на величину среднего влияет каждое отдельное значение. Если какое-нибудь зна­чение в группе увеличится на с, то среднее увеличится на с/N Таким образом, среднее значение весьма чувствительно к «выбросам» - экстремально малым или большим значениям переменной.

На величину моды и медианы величина каждого отдельного значения не влияет. Например, если в группе из 20 измерений цеременной наибольшее значение утроится по величине, то не изменится ни мода, ни медиана. Вели­чина среднего при этом заметно изменится. Иначе говоря, мода и медиана не чувствительны к «выбросам».

ПРИМЕР _____________________

Их средний доход 1000$ i месяц...

Если 9 человек имеют месячный доход от 5000 до 6000 рублей, со средним 5600 руб­лей, а доход десятого составляет 15000 руб­лей, то средний доход для этих 10 человек составит 6540 рублей. Эта цифра не позво­ляет судить о всей группе, и в качестве меры центральной тенденции следовало бы из­брать медиану или моду.

Меры центральной тенденции чаще всего используются для сравнения групп по уровню выраженности признака. Если исследователь при этом со­мневается, какую меру использовать, то можно дать простые советы.

Выборочные средние можно сравнивать, если выполняются следующие условия:

· группы достаточно большие, чтобы судить о форме распределения;

· распределения симметричны;

· отсутствуют «выбросы».

Если хотя бы одно из перечисленных условий не выполняется, то следует ограничиться модой и медианой. Альтернативой является «сквозное» ранжи­рование представителей сравниваемых групп и сравнение средних, вычис­ленных для рангов этих групп.

КВАНТИЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Помимо мер центральной тенденции в психологии широко используются меры положения, которые называются квантилями распределения. Кван­тиль — это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю совокупность упорядоченных измерений на две группы с известным соотно­шением их численности. С одним из квантилей мы уже знакомы — это меди­ана. Это значение признака, которое делит всю совокупность измерений на две группы с равной численностью. Кроме медианы часто используются процентили и квартили.

Процентили {Percentiles) — это 99 точек — значений признака (Р₁..., Р₉₉), которые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 частей, равных по численности. Определение конкретного значения про-центиля аналогично определению медианы. Например, при определении 10-го процентиля, Р₁₀, сначала все значения признака упорядочиваются по возрас­танию. Затем отсчитывается 10% испытуемых, имеющих наименьшую выра­женность признака. Р₁₀будет соответствовать тому значению признака, кото­рый отделяет эти 10% испытуемых от остальных 90%.

Квартили (Quartlles) — это 3 точки — значения признака (Р₂$, JPso» Лз)> ко­торые делят упорядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 рав­ные по численности части. Первый квартиль соответствует 25-му проценти­лю, второй — 50-му процентилю или медиане, третий квартиль соответствует 75-му процентилю.

Процентили и квартили используются для определения частоты встречае­мости тех или иных значений (или интервалов) измеренного признака или для выделения подгрупп и отдельных испытуемых, наиболее типичных или нетипичных для данного множества наблюдений.

МЕРЫ ИЗМЕНЧИВОСТИ

Меры центральной тенденции отражают уровень выраженности измерен­ного признака. Однако не менее важной характеристикой является выражен­ность индивидуальных различий испытуемых по измеренному признаку. Меры изменчивости {Dispersion) применяются в психологии для численного выраже­ния величины межиндивидуальной вариации признака.

Наиболее простой и очевидной мерой изменчивости является размах, ука­зывающий на диапазон изменчивости значений. Размах (Range) — это просто разность максимального и минимального значений:

R = x _max – x _min

Ясно, что это очень неустойчивая мера изменчивости, на которую влияют любые возможные «выбросы». Более устойчивыми являются разновидности размаха: размах от 10 до 90-го процентиля (Р₉₀ — Р₁₀) или междуквартильный размах (Р₇₅ - Р₂₅). Последние две меры изменчивости находят свое примене­ние для описания вариации в порядковых данных. А для метрических данных используется дисперсия — величина, название которой в науке является си­нонимом изменчивости.

Дисперсия (Variance) — мера изменчивости для метрических данных, про­порциональная сумме квадратов отклонений измеренных значений от их арифметического среднего:

Чем больше изменчивость в данных, тем больше отклонения значений от среднего, тем больше величина дисперсии. Величина дисперсии получается при усреднении всех квадратов отклонений:

Следует отличать теоретическую (генеральную) дисперсию — меру измен­чивости бесконечного числа измерений (в генеральной совокупности, попу­ляции в целом) и эмпирическую, или выборочную, дисперсию — для реально измеренного множества значений признака. Выборочное значение в стати­стике используется для оценки дисперсии в генеральной совокупности. Выше указана формула для генеральной (теоретической) дисперсии (D_x) которая, понятно, не вычисляется. Для вычислений используется формула выбороч­ной (эмпирической) дисперсии (D_x), отличающаяся знаменателем:

ПРИМЕР

Вычислим дисперсию признака Х для выборки N = 6

№	Xi	(xi - Mx)	(xi - Мх) ^2
		4-3
		2-3
		4-3
		1-3
		5-3
		2-3

18 0 12

М_х= 18/6 = 3; D_x= 12/(6-1) = 2,4

Стандартное отклонение (Std. deviation) (сигма, среднеквадратическое от­клонение) — положительное значение квадратного корня из дисперсии:

На практике чаще используется именно стандартное отклонение, а не дис­персия. Это связано с тем, что сигма выражает изменчивость в исходных еди­ницах измерения признака, а дисперсия — в квадратах исходных единиц.

Стандартизация или z-преобразование данных — это перевод измерений в стандартную Z-шкалу (Z-scores) со средним М_z = 0 и D_z (или _z) = 1. Сначала для переменной, измеренной на выборке, вычисляют среднее М_x стандарт­ное отклонение Затем все значения переменной х_i пересчитываются по формуле:

В результате преобразованные значения (z-значения) непосредственно выражаются в единицах стандартного отклонения от среднего. Если для од­ной выборки несколько признаков переведены в z-значения, появляется воз­можность сравнения уровня выраженности разных признаков у того или иного испытуемого. Для того чтобы избавиться от неизбежных отрицательных и дробных значений, можно перейти к любой другой известной шкале: IQ (сред­нее 100, сигма 15); Т-оценок (среднее 50, сигма 10); 10-балльной — стенов (среднее 5,5, сигма 2) и др. Перевод в новую шкалу осуществляется путем умножения каждого z-значения на заданную сигму и прибавления среднего: