Многомерное шкалирование (МШ).

Одним из количественных методов изучения психических явлений и процессов, адекватно отражающих их системный характер, признан метод МШ. С его помощью анализируются попарные различия D_ij между элементами i и j, в результате чего строится геометрический образ системы. Элементы системы изображаются точками моделирующего пространства, а связям между элементами соответствуют расстояния d_ij между i и j. Метод МШ разрабатывался в работах У.Торгерсона, Р.Шеппарда, К.Кумбса, Д.Краскала, Ф.Янга, В.Крылова и других.

Модели МШ можно расклассифицировать по двум основаниям.

По типу данных, полученных в эксперименте:

§ прямое субъективное шкалирование (задана одна матрица близостей Dij);

§ модель предпочтений (задана матрица близостей D_ij и матрица предпочтений);

§ модель индивидуального шкалирования (задано несколько матриц близостей).

По процедуре реализации метода:

§ метрическое шкалирование (расстояние в реконструируемом пространстве d_ij пропорционально различиям D_ij, полученным в эксперименте);

§ неметрическое шкалирование (данные D_ij монотонно связаны с расстояниями d_ij в пространстве Минковского).

Метод Шеппарда – Краскала позволяет вычислить показатель стресса, т.е. «невязку» между исходными и вычисленными различиями между объектами:

,

где d_ij – расстояние между объектами, вычисленными в процедуре МШ; D_ij – исходные различия;

§ шкалирование в псевдоевклидовом пространстве (не выполняется аксиома неравенства треугольника). В данном случае величина расстояния между объектами определяется по формуле

где принимает значение (1) для евклидового пространства и (–1) – для псевдоевклидового. Функция стресса для этих пространств вычисляется и выбирается наименьшая;

§ нечёткое шкалирование (данные описаны «нечёткими» психолингвистическими шкалами).

Совместное использование МШ и КА позволяет провести анализ данных, более адекватный, чем даёт применение каждого метода в отдельности. При больших выборках необходимо сначала провести КА, а затем, с помощью МШ реконструировать пространство всех классов и каждого класса в отдельности (при необходимости). На основании обобщённого опыта было обнаружено, что при КА маленькие классы адекватны данным, часто являясь осмысленными группами, а большие – нет. И, наоборот, при МШ небольшие изменения в данных могут стать причиной существенных изменений в локальном взаимном расположении точек. В то же время общее расположение точек внутри конфигурации является содержательным (см. работы Граева, Суппеса).

Стохастические модели.

Вероятностные модели.

Модели с латентными переменными.

Модели с латентными переменными являются важным классом вероятностных моделей. Они основаны на предположении о том, что наблюдаемые, объясняемые тестами переменные могут быть объяснены с помощью так называемых латентных более глубинных переменных, которые невозможно измерить непосредственно, однако можно оценить их значение косвенно. К методам латентных переменных относятся:

§ конфирматорный факторный анализ,

§ эксплораторный факторный анализ,

§ регрессионный анализ,

§ однофакторный анализ,

§ методы латентных структур.

Мак Дональд предложил обобщённую модель латентных структур.

Цель создания моделей с латентными переменными – объяснение наблюдаемых переменных и взаимосвязей между ними с помощью латентных переменных. При заданном значении наблюдаемых переменных требуется сконструировать множество латентных переменных и функцию, которая достаточно хорошо аппроксимировала бы наблюдаемые переменные, а в конечном счёте – плотность вероятности наблюдаемой переменной.

В факторном анализе основной акцент делается на моделировании значений наблюдаемых переменных, их корреляциях, ковариациях, а в методах латентно-структурного анализа – на моделировании распределения вероятности наблюдаемых переменных.

Модели факторного анализа (ФА).

Работа Пирсона (1901) – первая, которая была посвящена методу главных компонент. Большой вклад при разработке теста на интеллект внесли К.Спирмен (1926, 1946), Л.Тёрстон (1947, 1951), а при разработке теории личности – Р.Кеттел (1947, 1951) и Г.Ю.Айзенк.

Входные данные, обрабатываемые методом ФА, - это корреляционная или ковариационная матрицы. Основная цель – выявление интегральных латентных факторов по наблюдаемым переменным, что означает построение для данной корреляционной матрицы K соответствующей матрицы нагрузок A. Матрица А определяется численными методами, при этом количество факторов не должно превышать количество наблюдаемых переменных. То есть соотношение между n наблюдаемыми переменными должны объясняться возможно меньшим числом латентных факторов.

Первый принцип, лежащий в основе классической модели ФА, - постулат о линейной независимости между линейными характеристиками;

Второй – наблюдаемые переменные могут быть представлены как линейная комбинация некоторых латентных факторов. Ряд этих факторов является общим для нескольких переменных, другие – специфические, связанные, в основном, только с одной переменной.

В 60-е годы, в связи с быстрым развитием методов ФА, появилось огромное число различных методов. В дальнейшем проявляется тенденция к обобщениям: возникает нелинейный ФА, построение обобщающей модели с латентными переменными, возникновение и развитие конфирматорного ФА.

Обобщённая математическая модель ФА в матричном виде – это , где A – матрица нагрузок, K – корреляционная матрица, L – матрица ошибок, F – единичная матрица факторов.

Основные этапы ФА:

1. сбор эмпирических данных и подготовка корреляционной (ковариационной) матрицы;

2. выделение первоначальных (ортогональных) факторов;

3. вращение факторной структуры и содержательная интерпретация результатов ФА.

Второй этап – это прежде всего выбор метода ФА. Назовём наиболее используемые из них в психологии.

Метод главных компонент.

Его модель имеет вид

,

где V – матрица собственных векторов, C – диагональная матрица собственных значений. То есть, в данном методе поиск решения идёт в направлении вычисления собственных векторов (факторов), а собственные значения характеризуют дисперсию (разброс) по факторам.

Метод главных факторов.

Для определения числа факторов используются различные статистические критерии, при помощи которой проверяется гипотеза о незначительности матрицы корреляционных остатков.