Разность множеств. Дополнение к подмножеству. Дополнение к объединению и пересечению множеств (с доказательством).

Понятие множества является неопределяемым понятием. Его смысл разъясняется на примерах. Можно говорить о множестве жителей города Саратова, о множестве домов на конкретной улице, о множестве букв в слове «командир», о множестве натуральных чисел, меньших 20 и т. д.

Множества принято обозначать большими латинскими буквами, например, А, В, С, …, Х, Y, Z. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Их принято обозначать маленькими латинскими буквами: a, b, c, d. Если множество А состоит из элементов a, c, k, то записывают это так: А = { a, c, k }.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Ø.

Множество может быть задано перечислением всех его элементов или описанием характеристического свойства его элементов. Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. Например, запись А = { х | х – житель Саратова } означает, что множество А состоит из жителей Саратова.

Множества, состоящие из чисел, называют числовыми множествами.

N – множество натуральных чисел,

Z – множество целых чисел,

N о или Z о – множество целых неотрицательных чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных чисел.

Между двумя множествами существует пять видов отношений. Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что эти множества не пересекаются и записывают этот факт в виде А∩В =∅. Например, А = { a, c, k }, В = { d, e, m, n }, общих элементов у этих множеств нет, поэтому множества не пересекаются.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются и записывают А∩В≠∅. Например, множества А = { a, c, k } и В = { c, k, m, n } пересекаются, т. к. у них есть общие элементы c, k.

Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество является подмножеством любого множества. Само множество является подмножеством самого себя. (пишут В⊂ А)

Пустое множество и само множество называют несобственными подмножествами. Остальные подмножества множества А называются собственными. Для каждого множества, состоящего из n элементов можно образовать 2 n подмножеств. Если рассматривают лишь подмножества некоторого множества U, то U называют универсальным множеством.

Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то они называются равными.

5. Декартово произведение множеств, способы задания. Свойства декартова произведения (с доказательством). Число элементов декартова произведения конечных множеств. Понятие кортежа.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом А В = {(x;y) | x A, y B}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству А В, если
А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение А В={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b),(d, c), (d, d)}.

Количество пар в декартовом прoизведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(А В)=n(A) n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – А, …, n-ая – множеству А.

Пусть даны множества А ={2, 3}; А ={3, 4, 5}; A ={7, 8}. Декартово произведение А А А ={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.

6. Бинарные соответствия между элементами множеств, способы задания. Отображение, как частный случай соответствий. Виды отображений. Взаимнооднозначные отображения. Равномощные множества.

Бинарные отношения служат простым и удобным аппаратом для весьма широкого круга задач. Язык бинарных и n-арных отношений используется во многих прикладных (для математики) областях, например, таких как математическая лингвистика, математическая биология, математическая теория баз данных. Широкое использование языка бинарных отношений легко объясняется - геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов.

Введем необходимые определения.

Определение 1.1. Декартовым произведением множеств X и Y называется множество XxY всех упорядоченных пар (x, y) таких, что x X, yY.

Определение 1.2. Соответствием между множествами X и Y (или соответствием из X в Y) называется любое подмножество декартова произведения XxY. Если множества X и Y совпадают, то соответствие между множествами X и Y называют также бинарным отношением на множестве X.

Отображения делятся на два вида: отображения «в» и «на».

Пусть задано отображение B=f (A)

1. Отображение «в» – инъекция Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B, а каждому элементу множества B соответствует не более одного прообраза из A. При этом, мощность множества A меньше мощности множества B.

2. Отображение «на» – сюръекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B, а каждому элементу множества B соответствует хотя бы один прообраз из A. При этом, мощность множества A больше или равна мощности множества B.

Особое место занимают взаимнооднозначные отображения (соответствия).

Взаимнооднозначное отображение (соответствие) – биекция. Соответствие, при котором каждому элементу множества A соответствует единственный элемент множества B и каждому элементу множества B соответствует один прообраз из множества A. При этом мощность множества A равна мощности множества B.

Множества будут равномощными (равносильными, эквивалентными), если между ними можно установить (задать) взаимнооднозначное соответствие.

Для взаимнооднозначных отображений, обратное отображение также является взаимнооднозначным отображением.

Множества называются равномощными, эквивалентными, если между ними есть взаимно – однозначное или одно-однозначное соответствие, то есть такое попарное соответствие, когда каждому элементу одного множества сопоставляется один-единственный элемент другого множества и наоборот, при этом различным элементам одного множества сопоставляются различные элементы другого.