Множества и классы понятий, основные операции над нами. Круги эйлера.

Чтобы как-то описать, о чем все же идет речь, говорят, что множество – это совокупность некоторых объектов, которые называются элементами множества. Однако такое описание не мо- жет считаться определением, так как совокупность – это просто другое на- звание множества. Множество, которому не при- надлежит ни один элемент, называется пустым.
Универсальным нзывают все остальные множества и обозначают U.
Операции над множествами:
1) Множество A называется дополнением множества A, если A состоит из
элементов, которые не принадлежат A: A =△ {x: x ∈/ A}
2)Множество A ∪ B называется объединением множеств A и B, если оно состоит из элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству
B(операция«или»)
3)Множество A ∩ B называется пересечением множеств A и B, если оно состоит из элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству B
(операция «и»)
4) Множество A − B = A B =△ A ∩ B называется разностью множеств A и B, оно состоит из элементов, которые принадлежат множеству A, но не
принадлежат множеству B

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления

Прямое (декартово) произведение множеств. Комбинаторные структуры.

Прямое (декартово) произведение множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, первый компонент принадлежит А, а второй принадлежит В.

, соответственно

Понятие отношения. Обратное отношение. Графическое представление бинарных отношений.

Бинарным отношением из множества А в множество В называется всякое подмножество прямого произведения А на В; если А=В, то говорят о бинарном отношении на множестве А. Обозначение:

Множество точек плоскости, координаты которых (x, y), образуют упорядоченные пары некоторого бинарного отношения называется графиком данного бинарного отношения.

Бинарные отношения – это множества, их можно объединять, пересекать, дополнять и т. д.

Бинарное отношение указывает на наличие определенной связи между некоторыми парами объектов.

Отношением, обратным к отношению , называют подмножество прямого произведения , такое, что .

 

Отношение эквивалентности. Свойства отношений. Разбиение множеств на классы.

Отношение р на множестве М называется отношением эквивалентности, если обладает отношениями:

1.Рефлексивности

2. Симметричности

3.Транзитивности

Отношения могут обладать рядом свойств, которые определяются через условия, которым должны удовлетворять их элементы

Пусть р на множестве А, тогда р называется:

 

· рефлексивным, если

· симметричным, если

· транзитивным, если

 

Отношение порядка. Свойства отношений.

Отношением р на множестве М называется отношением строгого порядка:

1.Иррефлексивность

2.Асиметричность

3.Транзитивность

Отношения могут обладать рядом свойств, которые определяются через условия, которым должны удовлетворять их элементы

Пусть р на множестве А, тогда р называется:

1) иррефлексивным, если

2) транзитивным, если

3)ассимметричным, если

Отношением р на множестве М называется отношением нестрогого порядка:

1.Рефлексивность

2.Антисимметричность

3.Транзитивность

Пусть р на множестве А, тогда р называется:

1) рефлексивным, если

2)антисимметричным, если

3)транзитивным, если

Отображения и их основные свойства. Виды отображений.

Мн-во F(x) первых компонент мн-ва F (мн-во всех прообразов) называется областью определения отображения N.

Мн-во F(y) вторых компонент мн-ва F (мн-во всех образов) называется областью значений отображения N.

Виды:

1) F(x)=x – всюду определённое;

2) F(y)=y – называется отображением х на у.

3) Если каждый элемент х из мн-ва х имеет не более 1 образа в у, то отображение N называется функциональным (однозначным) отображением или функцией.

4) Отображение N в минус первой степени является обратным отображению N.

5) Отображение N называется взаимно однозначным, если N является всюду определённым функциональным отображением х на у, а N в минус первой степени – всюду определённым отображением у на х.