Вычитание множеств. Дополнение множества.

Определение разности множеств. Определение вычитания множеств. Определение дополнения множества В до множества А. Нахождение разности множеств на конкретных примерах в зависимости от способа задания множеств и отношения между множествами. Свойства вычитания множеств.

 

Декартово произведение множеств.

Кортеж. Понятие упорядоченной пары. Определение декартова произведения двух множеств и его обозначение. Способы задания декартова произведения двух множеств. Графическое изображение декартова произведения двух числовых множеств.

 

Отношения на множестве и их свойства.

Определение отношения, обозначение и изображение. Способы задания отношений. Свойства отношений: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Примеры и изображение на графах. Отношение эквивалентности и отношение порядка.

 

Понятие соответствия между двумя множествами.

Понятие соответствия. Способы задания соответствия. Соответствие, обратное данному. Понятие взаимно однозначного соответствия. Определение равномощных множеств. Счетные множества.

Понятие разбиения множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы).

Понятие классификации. Примеры классификаций. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на классы.

 

Особенности математических понятий.

Понятие о математическом объекте. Существенные и несущественные свойства объектов. Содержание понятия. Объем понятия. Взаимосвязь между объемом и содержанием понятия. Определение понятий. Явные и неявные определения. Определение понятия через род и видовое отличие.

 

Понятие высказывания.

Определение высказывания. Значения истинности высказывания. Элементарные и составные высказывания. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказываний. Таблицы истинности.

 

11. Понятие высказывательной формы (предиката).

Определение высказывательной формы (предиката). Область определения и множество истинности высказывательной формы (предиката). Виды высказывательных форм. Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказывавтельных форм.

 

Высказывания с кванторами.

Кванторы общности и существования. Высказывания с кванторами. Определение истинности высказывания с квантором общности и с квантором существования. Правила построения отрицания высказываний.

 

Структура теоремы. Виды теорем.

Определение теоремы. Логическая структура теоремы. Теоремы, обратная, противоположная и обратно противоположная данной. Закон контрапозиции, связывающий различные виды теорем.

 

Понятие отрезка натурального ряда и счета элементов конечного множества.

Функции натурального числа. А ксиоматическое определение натурального числа, теоретико-множественный смысл натурального числа. Свойства множества натуральных чисел. Процесс счета. Понятие отрезока натурального ряда. Понятие счета элементов множества.

 

Множество целых неотрицательных чисел.

Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше». Свойства множества целых неотрицательных чисел.

 

Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел.

Определение суммы. Определение сложения. Компоненты при сложении и их взаимосвязь. Теорема о существовании и единственности суммы. Случаи сложения с нулем.

 

Законы сложения натуральных чисел, их назначение.

Переместительный и сочетательный законы сложения и их следствия: прибавление числа к сумме, суммы к числу и суммы к сумме. Приемы устного сложения и их теоретическое обоснование.

 

Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел.

Теоретико-множественный смысл разности. Определение разности через сумму. Определение вычитания. Компоненты при вычитании и их взаимосвязь. Теорема о существовании и единственности разности. Случаи вычитания с 0.

Свойства вычитания.

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. Приемы устного вычитания и их теоретическое обоснование.

 

Теоретико-множественный смысл произведения целых неотрицательных чисел.

Определение произведения двух целых неотрицательных чисел. Определение произведения через декартово произведение множеств. Определение умножения. Компоненты при умножении и их взаимосвязь. Случаи умножения с 0 и 1. Существование и единственность произведения целых неотрицательных чисел.

 

Законы умножения, их назначение.

Переместительный и сочетательный законы умножения. Распределительный закон умножения. Умножение числа на произведение. Умножение суммы на число и числа на сумму. Приемы устного умножения и их теоретическое обоснование.

 

Теоретико-множественный смысл частного двух целых неотрицательных чисел.

Задачи, подводящие к определению частного. Определение частного целых неотрицательных чисел. Определение деления. Компоненты при делении и их взаимосвязь. Определение деления через умножение. Теорема о существовании и единственности частного. Случаи деления с нулем.

Свойства деления.

Деление суммы на число и числа на произведение. Приемы устного деления, их теоретическое обоснование.

 

Деление с остатком.

Определение деления с остатком. Теоретико-множественный смысл деления с остатком. Теорема о выполнимости деления с остатком. Алгоритм деления с остатком.

 

Особенности десятичной системы счисления.

Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Основные положения десятичной системы счисления: знаки (цифры), используемые для записи чисел; образование разрядных единиц и их название; образование классных единиц и их название; способы записи числа суммой разрядных слагаемых; правила чтения чисел. Сравнение чисел по их записи.

 

Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления.

Алгоритм сложения многозначных чисел. Теоретические факты, лежащие в основе алгоритма.

 

27. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления.

Алгоритм вычитания многозначных чисел. Теоретические факты, лежащие в основе алгоритма.

 

Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления.

Умножение многозначного числа на однозначное. Умножение на разрядное число. Умножение на двузначное и трехзначное число. Теоретические факты, лежащие в основе алгоритмов.

 

Алгоритм деления многозначных чисел в десятичной системе счисления.

Деление на однозначное число. Деление на разрядное число. Деление на двузначное и трехзначное число. Теоретические факты, лежащие в основе алгоритмов.

 

Отношение делимости и его свойства.

Определение отношения делимости. Понятие делителя и кратного чисел. Различие термина “делитель данного числа” от термина “делитель”. Множество делителей и множество кратных данного числа. Простые и составные числа. Свойства отношения делимости.

31. Теоремы о делимости.

Теоремы о делимости суммы, разности и произведения. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25 в десятичной системе счисления. Признаки делимости на составные числа.

 

Понятие дроби и положительного рационального числа.

Задача, подводящая к понятию дроби. Понятие дроби. Правильные и неправильные дроби. Определение равных дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к общему знаменателю. Понятие несократимой дроби. Определение положительного рационального числа.

 

Арифметические действия над положительными рациональными числами.

Определение суммы положительных рациональных чисел. Сложение положительных рациональных чисел. Законы сложения положительных рациональных чисел. Определение произведения положительных рациональных чисел. Законы умножения положительных рациональных чисел. Вычитание и деление как операции, обратные сложению и умножению. Правила вычитания и деления положительных рациональных чисел.

 

Числовые выражения.

Понятие числового выражения. Значение числового выражения. Примеры числовых выражений, не имеющих смысла. Чтение числовых выражений. Равные числовые выражения. Отношение равенства на множестве числовых выражений.

 

Выражения с переменной.

Понятие переменной и выражения с переменной. Виды выражения с переменной. Область определения выражения с переменной. Тождественно равные выражения. Тождество. Тождественные преобразования выражений.