Лемма. Прямая de, параллельная какой-нибудь стороне ac треугольника abc, отсекает от него треугольник dbe, подобный данному.

Доказательство занимает две страницы и проводится рассмотрением случаев, когда стороны AB и DB имеют общую меру и когда они не имеют общей меры. В последнем случае используются десятичные приближения и бесконечные десятичные дроби.

Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство занимает две страницы и содержит два случая: случай, когда имеется общая мера отрезков и общий случай (не для запоминания). В общем случае доказательство проводится от противного и не используются десятичные дроби.

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство пропорциональности сторон использует теорему об отношении площадей подобных треугольников, доказанную ранее. В свою очередь, доказательство этой теоремы использует еще одну теорему о площадях треугольников с одним равным углом. Десятичные дроби здесь спрятаны в выводе формулы площади квадрата. Конечно, такое доказательство не является полным, поскольку при изучении понятия площади многие свойства не доказываются. Например, существование площади или что формула площади треугольника не зависит от выбора основания.

Теорема (об отношении перпендикуляра к наклонной). Пусть из точки B, лежащей на стороне p острого угла A, опущен перпендикуляр BC на сторону qугла A. Тогда отношение перпендикуляра BC к наклонной BA не зависит от выбора точки B.

Доказательство основывается на свойствах площади и формуле площади треугольника.

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Затем определяется понятие отношения двух отрезков. Отношением АВ/CD двух отрезков AB и CD называется число, показы­вающее сколько раз отрезок CDи его части укладываются в отрезке АВ. Если отрезок CD принять за единичный, то отношение AB/CD будет равно длине отрезка AB. Говорят, что отрезки АВ,CD,... пропорциональны отрезкам A₁B₁, C₁D₁,..., если равны отношения AB/A₁B₁, CD/C₁D₁,....

После этого формулируется теорема о пропорциональных отрезках.

Теорема. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

Доказательство. Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и E, F. Докажем, что имеет место ра­венство

.

Заметим, что отношение AB/AE показывает сколько раз отрезок AE укладывается в отрезке АВ, а отношение АС/AF показывает сколько раз отрезок AFукладывается в отрезке АС. Теорема Фалеса позволяет устано­вить соответствие между процессами измерения отрезков АВ и АС. Дейс­твительно, прямые параллельные ВС переводят равные отрезки на прямой АВ в равные отрезки на прямой АС. Отрезок АЕ переходит в отрезок АF. Одна десятая часть отрезка АЕпереходит в одну десятую часть отрезка AF и т.д. Поэтому, если отрезок АЕ укладывается в отрезке АВ k раз, то отрезок AF будет укладываться в отрезке АСтакже k раз.

Таким образом, здесь не используются ни бесконечные десятичные дроби, ни свойства и формулы площади плоских фигур.

Понятие площади плоской фигуры и ее измерение. Теорема о площади прямоугольника (с доказательством). Использование понятий равновеликости и равносоставленности при вычислении площадей некоторых плоских фигур. Измерение площади фигуры с помощью палетки.

Площадь прямоугольника можно найти следующим образом:

S = ab,

Где a и b – стороны прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого стороны равны, а, значит, площадь квадрата со стороной a равна a², то есть

S = a²,

где а – его сторона.

Площадь квадрата можно также вычислить по формуле

S = d²/2,

где d – диагональ квадрата.

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть вычисляется по формуле

S = ah,

где а – его сторона, h – высота, проведённая к этой стороне.

Площадь параллелограмма можно вычислить и по формуле

S = ab sin α,

где а и b – стороны, α – угол параллелограмма.

Ромб – «частный случай» параллелограмма, значит, его площадь можно находить так же, как и площадь параллелограмма. Кроме того, имеются и другие формулы площади ромба:

S = a² sin α,

где а – сторона ромба, α – угол ромба;

S = 1/2 d₁ d₂,

где d₁и d₂ – диагонали ромба.

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведённую к этой стороне, то есть её можно найти по формуле

S = 1/2 ah.

Есть и другие формулы для нахождения площади треугольника:

S = 1/2 ab sin γ,

где а и b – стороны, γ – угол между этими сторонами.

При необходимости для нахождения площади треугольника можно использовать формулу Герона,древнегреческого учёного, который жил в Александрии в I веке нашей эры:

,

где а, b, с – стороны треугольника, p – его полупериметр p = (а + b + с)/2.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S = (а + b) / 2 · h,

где а и b – основания трапеции, h – высота.

Данные формулы позволяют нам решать многие геометрические задачи, рассмотрим некоторые из них.

28. Смысл натурального числа и действий над натуральными числами, полученных в результате измерения величин (на примере длин отрезков).

Выясняя смысл натурального числа как меры величины, все рассуждения будем вести на примере одной величины - длины отрезка.

Уточним сначала понятие «отрезок состоит из отрезков».

Определение. Считают, что отрезок x состоит из отрезков x₁, x₂, …, x_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.

Пусть задан отрезок х, его длину обозначим Х. выберем из множества отрезков некоторый отрезок е, назовем его единичным отрезком, а длину обозначим буквой Е.

Определение: Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. При выбранной единице длины Е это число единственное.

В связи с таким подходом к натуральному числу отметим два замечания:

– при переходе к другой единице длины численное значение длины заданного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

– если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у - из b отрезков, тогда а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.

Практическая часть

Задача 1

Дано множество числовых выражений A={72-5; 19+8; 48:6; 37·2}, на котором задано отношение R: «значение выражения x не больше значения выражения y». Постройте граф отношения R, укажите свойства отношения R.

Решение

Для того, чтобы построить граф, нужно заметить, что если (x,y) принадлежит «R», то вершины x и y на графе для отношения «R» соединяет соответствующая дуга; если же (x,y) не принадлежит «R», то на графе не будет соединяющей эти вершины дуги.

 

Задача 2

Используя соответствующие определения, покажите, что:

Сумма (лат. summa – итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

– а + b = b + а

2+4=4+2=6

 

Разность чисел а и b есть число, которое, будучи прибавлено к b, дает в сумме а. В высшем анализе разностью функции f(x) называют выражение f(x + h) – f(x), в котором букве х можно придавать различные значения, a h сохраняет одно и то же значение.

В нашем случае: 5+2 = 7.

 

Задача 3

Используя соответствующие определения, покажите, что

Умножение прямо пропорционально делению, поэтому в нашем случае:

 

Задача 4

Решите задачу: «Зал и коридор имеют одинаковую длину. Площадь зала равна 300м², а площадь коридора -120м². Чему равна ширина коридора, если ширина зала равна 10м, а зал и коридор имеют форму прямоугольника».

Решение

S₁ – площадь зала = 300 кв.м.

1)300: 10= 30 м длина зала

S₂ – площадь коридора=120 кв. м.

2) 120:30= 4 м ширина коридора

Ответ: 4 метра

 

Задача 5

Вычислить: а) 253т 92кг: 23 – 9т 345кг; б) 4мин 7с · 15 +1мин 15с · 8.

Решение

а) 253т 92кг: 23 – 9т 345кг

б) 4мин 7с · 15 +1мин 15с · 8