Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения (с доказательством).

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Если a = n(A), b = n(B) иA B = , то суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении множеств А и В, т.е. a + b= n(A) + n(B) = n(A B).

Докажем сначала, что если a и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда N на множество Х таких чисел, что а + 1 х a + b. Действительно, если поставить в соответствие числу с N число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка N на множество Х. Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N и Х = {4,5,6,7,8} может быть установлено так: числу с сопоставим х = с + 3, т.е. числу 1 – число 3 + 1 = 4, числу 2 = число 3 + 2 = 5 и т.д.

Пусть a = n(A), b = n(B). Тогда существует взаимно однозначные отображения А на N и В на N . Но, согласно доказанному выше, отрезок N можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 х a + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно А на N и В на Х, получаем взаимно однозначное отображение множества A B на отрезок N . Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве A B. Значит, в множестве A B имеется a + b элементов, что и требовалось доказать.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

Используя определение суммы целых неотрицательных чисел, покажем, что 2 + 4 = 6.

Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 4 элемента, такие, что n(A) = 2, n(B) = 4, A B= . Например, А = {a, b}, B = {k, l, m, h}. Найдем объединение множеств А и В: А В = {a, b, k, l, m, h}. Полученное множество содержит 6 элементов, т.е. n(А В)=6. Согласно определению сложения, 2 + 4 = 6.

Выясним теоретико-множественный смысл равенства а + 0 = а. Если a=n(A), 0= n(), то а + 0 = n(A)+ n()=n(A )=n(A)= а.

Сложение обладает коммутативностью и ассоциативностью (переместительный и сочетательный законы).

Покажем коммутативность. Для любых множеств А и В выполняется равенство А В = В А. Т.к. a = n(A), b = n(B) и A B = , то а + b = n(A) + n(B) = n(А В) = n(В А) = n(B) + n(A) = a + b.

Аналогично можно показать ассоциативность сложения, которая вытекает из равенства (A B) C = A (B C).

Действительно, a=n(A), b = n(B),c = n(C) и A B= , B C = , A C = , то (a + b) + c = n((A B) C) = n(A (B C)) = a + (b + c).

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В – грибов Даши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Пусть n(A)=5, n(B)=3, A B= . А={a, s, d, f, g}, B={z, x, c}.Тогда А В= {a, s, d, f, g, z, x, c}, и n(А В)=8. Согласно определению суммы в теоретико-множественном подходе, 5 + 3 = 8. Значит, девочки нашли 8 грибов.

Дадим теоретико-множественное истолкование суммы нескольких слагаемых, и, используя полученный вывод, найдем сумму 3 + 4 + 2 + 9.

Пусть сумма двух слагаемых определена и определена сумма k слагаемых. Тогда сумма, состоящая из k+1 слагаемого, т.е. равна .

Значит, чтобы найти сумму 3 + 4 + 2 + 9, согласно этому определению, надо выполнить следующие преобразования: 3 + 4 + 2 + 9 = (3 + 4 + 2) + 9 = ((3 + 4) + 2) + 9 = (7 +2) + 9 = 9 +9 = 18.

Найдем значение выражения и объясните, какие законы сложения были при этом использованы: (16 + 9) + 21 + 14.

Решение. Используем ассоциативность, что позволяет нам опустить скобки: 16 + 9 + 21 + 14. Используя коммутативность, получим 16 + 14 + 9 + + 21. Используя снова ассоциативность, расставим скобки в нужном нам месте: (16 + 14) + (9 +21). Вычислим значения в скобках: 30 + 30. В итоге получим 60. Значит значение выражения (16 + 9) + 21 + 14 равно 60.

Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Условие существование разности, ее единственность на множестве целых неотрицательных чисел. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (с доказательством).

 

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, чтоn(A)=a, n(B)=b, B A, т.е. а - b = n(AB). Это обуславливается тем, что А=В (АВ), т.е. n(A)=n(B) + n(AB).

Докажем это. Так как по условию В – собственное подмножество множества А, то их можно представить так, как на рис. 3.

Вычитание натуральных (целых неотрицательных) чисел определяется как операция, обратная сложению: а – b = с () b + c = a.

Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пресекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множествеА можно найти по формуле n(A)=n(B) + n(AB), откуда по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем n(AB) = а – b.

Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А =А, АА= , то а – 0 = а и а – а = 0.

Разность а – b целых неотрицательных чисел существует тогда и только тогда, когда .

Действие, при помощи которого находят разность а – b, называется вычитанием, число а – уменьшаемым, b – вычитаемым.

Используя определения, покажем, что 8 – 5 = 3. Пусть даны два множества такие, что n(A) = 8, n(B) = 5. И пусть множество Вявляется подмножеством множества А. Например, А = {a, s, d, f, g, h, j, k}, B = {a, s, d, f, g}.

Найдем дополнение множества В до множества А: АВ = {h, j, k}. Получаем, что n(AB) = 3.

Следовательно, 8 – 5 = 3.

Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания, и решите ее: «У школы росло 7 деревьев, из них 3 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное возле школы кружком (рис. 4). Среди них есть 3 березы – на рисунке выделим их штриховкой. Тогда остальные деревья – не заштрихованные кружки – и есть липы. Т. е. их столько, сколько будет из 7 вычесть 3, т. е.4.

В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев, множество В – берез, которое является подмножеством А, и множество С лип – оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении.

По условию n(A) = 7, n(B) = 3 и B А. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {a, b, c}. Найдем дополнение множества А до В: AB = {d, e, f, g} и n(AB) = 4.

Значит, n(C) = n(AB) = n(A)- n(B) = 7 – 3 = 4.

Следовательно, у школы росло 4 липы.

Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций различные правила.

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при а с имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при b c имеем, что (a+b)-c=a+(b-c); при a c и b c можно использовать любую из данных формул.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и A B= , С А (рис.5).

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

Правая часть равенства имеет вид:

.

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно(a + b) – c = (a– c) + b,при условии, что а>c.

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид: . Левая часть равенства имеет вид: .

Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b, при условии, что а>c.

Правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть из числа а разность b – c, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c и С В, В А (рис.6). Тогда а – (b – c) есть число элементов множества А(ВС), а число(a + c) – b есть число элементов множества . На рисунке 5 множество А(ВС)изображено штриховкой. Легко убедиться в том, что множество изобразится точно такой же областью.

Значит, А(ВС) = .

Следовательно, n(А(ВС)) = n() и а – (b – c) = (a + c) – b.

Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а – b) – c = a – (b + c).Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 – (5 + 6); б) (12 + 6) – 2?

Решение. а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 – (5 + 6) = (15 – 5) – 6 = 10 – 6 = 4.

Или 15 – (5 + 6) = (15 – 6) – 5 = 9 – 4 = 4.

Или 15 – (5 + 6) = 15 – 11= 4.

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) – 2 = (12 – 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Или (12 + 6) – 2 = 12 + (6 – 2) = 12 + 4 = 16.

Или (12 + 6) – 2 = 18 – 2 = 16.

Данные правила позволяют упростить вычисления и широко используются в начальном курсе математики.