Неравенства с одной переменной. Теоремы о равносильности неравенств (с доказательством).

Пусть а и b - два числовых выражения. Соединим их знаком ">" (или <). Получим предложение a > b (или a < b), которое называют числовым неравенством.

Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13 - 7. Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13 - 7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.

Знаки неравенства (<, >) появились в начале XVII столетия, ввел их английский математик Гариот. И хотя знаки >, < появились не так давно, сами понятия неравенства возникли в глубокой древности.

Неравенства, которые записываются с помощью знаков > и <, называются строгими неравенствами, а неравенства, в записи которых участвуют знаки и, - нестрогими.

Нестрогое неравенство эквивалентно строгому неравенству того же знака и равенству.

Различают два вида неравенств: арифметические (или числовые), в записи которых участвуют только числа, и неарифметические, в записи которых наряду с числами участвуют функции одной или нескольких переменных.

Например, числовыми неравенствами будут2 > 1, 7.

Неарифметическими неравенствами, например, будут неравенства а < 1, х2 + у2 R2

Функции, входящие в неравенства, могут принимать различные числовые значения в зависимости от различных значений своих аргументов. При одних значениях аргументов неравенство может обратиться в верное числовое неравенство, при других - нет.

Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые.

1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.

2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.

3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.

Предложения 2х + 7 > 10 - х, x2 + 7х < 2, (х + 2)(2х - 3) > 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(x) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(x) > g(х) или f(x) < g(х) называетсянеравенством с одной переменной. Множество X называется областью определения.

Значение переменной х из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решением. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2х + 7 > 10 - х, хR является число х = 5, так как 2•5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множество его решений - это промежуток (1,?), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2х + 7 > 10 - х => Зх > 3 => х > 1.

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2х + 7 > 10 и 2х > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (?,?).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогичны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 1. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f (х) > g(х) и f (х) + h(х) > g(х) + h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f (х) > g(х) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f (х) + d > g(х) + d, равносильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества Xвыражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и f (х) • h(x) > g(х) • h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то получим неравенство

f (х) • d > g(х) • d, равносильное данному.

Теорема 3. Пусть неравенство f (х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества Xвыражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства

f (х) > g(х) и g(х) и f (х) • h(x) < g(х) • h(х) равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f (х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f (х) •d < g(х) •d, равносильное данному. Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х R, и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности неравенства равносильны, если они не имеют решений.

Теорема 1.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 4.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 5.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Графическое решение неравенств.

Для графического решения неравенства f(x) > g(x) нужно построить графики функций y = f(x) и y = g(x) и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции y = f(x) расположен выше графика функции y = g(x).

Система и совокупность неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств.

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство f(x; у) > g(x; у). Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (x; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Принципы построения позиционных систем. Перевод чисел из системы счисления с одним основанием в систему счисления с другим основанием.

Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.

Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.

Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.