Эмпирическая функция распределения

 

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: ─ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньше х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х<х равна . Если х изменяется, то, вообще говоря, изменится и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Определение. Эмпирическая функция распределения (функция распределения выборки) – функция F^*(x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события X<x.

,

где ─ число вариант, меньших х; n – объем выборки.

Например, для того чтобы найти F^*(x₂), надо число вариант, меньших x₂, разделить на объем выборки:

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события X<x, а эмпирическая функция F^*(x) определяет относительную частоту этого же события.

Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X<x, то есть F^*(x), стремится по вероятности к вероятности этого события, то есть к значению F(x). Другими словами, при больших значениях n числа F^*(x) и F(x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что F^*(x) обладает всеми свойствами F(x).

Из определения функции F^*(x) вытекают следующие ее свойства:

1) Значения эмпирической функции принадлежит отрезку [0; 1];

2) F^*(x) – неубывающая функция;

3) Если x₁ ─ наименьшая варианта, то F^*(x) = 0 при х < х₁;

если х_k ─ наибольшая варианта, то F^*(x) = 1 при х > x_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты
Частоты

Решение. Найдем объем выборки (сумма всех частот n_i):

n = n₁ + n₁ + n₁ = 12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая варианта равна 2 (x₁ = 2), следовательно, F^*(x) = 0 при х ≤ 2 (по свойству 3 функции F^*(x));

значения, меньшие 6 (х<6), а именно x₁ = 2, наблюдались n₁ = 12 раз, следовательно, при 2<x≤6;

значения х<10, а именно x₁ = 2, x₁ = 2 наблюдались n₁ + n₂ = 12 + 18 = 30 раз, следовательно при 6<х≤10.

Так как х =10 – наибольшая варианта, то F^*(x) = 1 при х>10 (по свойству 4 функции F^*(x)).

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Ниже приведен график полученной эмпирической функции.

На графике на соответствующих осях откладывают значения функции F^*(x) и интервалы вариант

 

 

Рис. 5. График эмпирической функции.

Полигон и гистограмма

 

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, w₁), (x₂, w₂), …, (x_k, w_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат w_i. Точки (x_i, w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

x	1,5	3,5	5,5	7,5
w	0,1	0,2	0,4	0,3

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.

Частичный интервал, длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10		0,8
10 – 15		1,2
15 – 20		3,2
20 – 25		7,2
25 – 30		4,8
30 – 35		2,0
34 – 40		0,8

Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

Примеры.

1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

n = 3 + 10 + 7 = 20.

.

Получаем

	0,15	0,50	0,35

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :

Частичный интервал, длиною h = 3	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5
5 – 8		3,3
8 – 11		8,3
11 – 14

Построим гистограмму частот.

 

 

 

Рис. 10. Гистограмма частот.

 

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.

.

Теперь найдем относительные частоты :

Получим:

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,16
11 – 14	0,12	0,04

Плотности частот нужно вычислить. При этом h = 3.

Построим гистограмму относительных частот.

Рис.11. Гистограмма относительных частот.

 

Точечные оценки

 

Определение. Статистической оценкой Q^* неизвестного параметра Q теоретического распределения называют функцию f(x₁, x₂, …, x_n) от наблюдаемых случайных значений x₁, x₂, …, x_n.

Определение. Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Q^* = f(x₁, x₂, …, x_n), где x₁, x₂, …, x_n ─ результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).

Определение. Несмещенной называют точечную оценку Q^*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Q при любом объеме выборки, то есть M(Q^*) = Q. Смещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, x₂, …, x_n признака выборки объема n различны, то

Если же все значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

,

где – объем выборки.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (неизвестного математического ожидания).

Замечание. Если первоначальные варианты ─ большие числа, то для упрощения решения целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же

число С, то есть перейти к условным вариантам u_i = x_i – c. Тогда

.

Выборочная дисперсия.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Эту величину вводят для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения .

Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

Эта оценка является смещенной, так как ,

где D_Г – генеральная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения значения признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Теорема. Выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат выборочной средней.

Для вычисления выборочной дисперсии эта формула наиболее удобна.

Замечание. Если перейти к условным вариантам u_i = x_i – c, то дисперсия при этом не изменится. Тогда .

 

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений

над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n:

Значения признака	xi	x1	x2	…	xk
Частоты	ni	n1	n2	…	nk

При этом n₁ + n₂ + … + n_k = n. Требуется по данным выборки найти неизвестную генеральную дисперсию D_Г. Если в качестве оценки D_Г принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение D_Г. Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой D_Г, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь n/(n–1). Сделав это, мы получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.

Более удобна форма:

.

В условных вариантах она имеет вид:

,

причем если u_i = x_i – c, то ; если , то .

Задача 1.

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 60

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя: ,

где ─ варианта выборки, ─ частота варианты ; объем выборки.

.

Ответ: .

Задача 2.