Решение типовых задач по математической статистике

 

Задача 1. Из крупного стада коров произведена случайная выборка, получено 20 вариант удоя коров за 300 дней лактации (в ц): 35,9; 35,3; 42,7; 45,2; 25,9; 35,5; 33,4; 27,0; 35,9; 38,8; 33,7; 38,6; 40,9; 35,5; 44,1; 37,4; 34,2; 30,8; 38,4; 31,3.

Требуется получить вариационный ряд и построить гистограмму относительных частот; найти основные выборочные характеристики: , s², s, V, s_x; с надежностью 95% указать доверительный интервал для оценки генеральной средней x_Г.

Решение. Запишем исходные данные в виде вариационного ряда, то есть располагая их в порядке возрастания: 25,9; 27,0; 30,8; 31,3; 33,4; 33,7: 34,2; 35,3; 35,3; 35,5; 35,9; 35,9; 37,4; 38,4; 38,6; 38,8; 40,9; 42,7; 44,1; 46,2.

Максимальное значение признака составляет 46,2 ц, а минимальное – 25,9 ц. Разница между ними составляет 20,3 ц. Этот интервал надо разбить на определенное количество классов. При малом объеме выборки (20–40 вариант) намечают 5–6 классов. Возьмем длину интервала ∆x=5. Получаем пять интервалов: первый 25 – 30, второй 30 – 35, третий 35 – 40, четвертый 40 – 45, пятый 45 – 50. С помощью ранжированного ряда определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадет два значения, поэтому n₁= 2. Во второй интервал попадают пять значений, поэтому n₂= 5. Аналогично n₃= 9, n₄=3, n₅= 1.

Теперь найдем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

w₁=n₁/n=2/20=0,1; w₂=n₂/n=5/20=0,25; w₃=n₃/n=9/20=0,45;

w₄=n₄/n=3/20=0,15; w₅=n₅/n=1/20=0,05.

Для проверки вычисляем сумму относительных частот:

w₁+ w₂+ w₃+ w₄+ w₅=0,1+0,25+0,45+0,15+0,05=1.

Тот факт, что в сумме получена единица, подтверждает правильность вычислений.

Вычислим плотности w_i/∆x относительных частот вариант. Получаем

w₁/∆x₁=0,1/5=0,02; w₂/∆x₂=0,25/5=0,05; w₃/∆x₃=0,45/5=0,09;

w₄/∆x₄=0,15/5=0,03; w₅/∆x₅=0,05/5=0,01.

Полученные результаты сведем в таблицу.

Интервал значений	25–30	30–35	35–40	40–45	45–50
Частоты вариант
Относительные частоты	0,10	0,25	0,45	0,15	0,05
Плотность относительных частот	0,02	0,05	0,09	0,03	0,01

Строим гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются интервалы, а высотами соответствующие значения плотностей относительных частот.

Основные выборочные характеристики вычисляются по формулам: – выборочная средняя; – «исправленная» дисперсия; – среднее квадратическое отклонение; – ошибка средней; – коэффициент вариации.

Расчеты удобно проводить с помощью таблицы

№	Результат обследования xi	xi–	(xi– )^2
	35,9	–0,1	0,01
	35,3	–0,7	0,49
	42,7	6,7	44,89
	45,2	9,2	84,64
	25,9	–10,1	102,01
	35,3	–0,7	0,49
	33,4	–2,6	6,76
	27,0	–9,0	81,00
	35,9	–0,1	0,01
	38,8	2,8	7,84
	33,7	–2,3	5,29
	38,6	2,6	6,76
	40,9	4,9	24,01
	35,5	–0,5	0,25
	44,1	8,1	65,61
	37,4	1,4	1,86
	34,2	–1,8	3,24
	30,8	–5,2	27,04
	38,4	2,4	5,76
	31,3	–4,7	22,09
Σ	720,3		490,05

 

Подставляя полученные значения в формулы, получаем

= 720,3/20 = 36,015;

= 490,05/19 = 25,79;

= 5,08;

= 5,08/4,47 = 1,34;

= 5,08/36∙100% = 14%.

Доверительный интервал для оценки генеральной средней имеет вид:

.

Вычисляем теперь радиус доверительного интервала:

t_γ ∙s_x = 2,10ּ1,34 = 2,8,

где значение = 2,10 находим по таблице приложения 3.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что во всем стаде средний удой за 300 дней заключен в пределах от = 36 – 2,8 = =33,2 ц (гарантированный минимум) до = 36 + 2,08 = 38,8 ц (возможный максимум).

Задача 2. Для определения средней урожайности сахарной свеклы в колхозе на площади 1000 га была определена ее урожайность на 100 га. Результаты выборочного обследования представлены следующим распределением:

Урожайность, ц/га	23–25	25–27	27–29	29–31	31–33	33–35	35–37
Площадь, га

Найти величину, которую следует принять за среднюю урожайность на всем массиве; величину, которую следует принять за среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве; доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем массиве.

Решение. В качестве приближенного значения средней урожайности на всем массиве принимаем среднюю арифметическую данного распределения, то есть выборочную среднюю. За значение признака нужно принять середины интервалов. Получим:

(24∙3+2∙10+28∙6+30 ∙16+3 ∙15+34∙30+36∙ 20)/100 = 3200/100 = 32.

Для оценки дисперсии генеральной совокупности применяем формулу

=1/99ּ(3∙(24–32)²+10∙(26–32)²+6∙(28–32)²+

+16∙(30–32)²+15∙(32–32)²+30∙(34–32)²+20∙(36–32)²)= =1/99ּ(192+360+96+64+0+120+320)=1/99ּ1152=11,64.

Отсюда можно найти среднее квадратическое отклонение урожайности на всем массиве = = 3,4.

Найдем среднее квадратическое отклонение выборочной средней по формуле

= 3,4/ = 0,34 ц.

Итак, оценка средней урожайности сахарной свеклы на всем массиве равна 32 ц со средней квадратической ошибкой 0,34 ц. Оценка среднего квадратического отклонения урожайности на всем массиве равна 3,4 ц.

Для вычисления доверительного интервала воспользуемся равенством

P() = γ,

согласно которому можно утверждать, что с надежностью γ доверительный интервал покрывает неизвестное математическое ожидание, точность оценки .

Так как n = 100 > 30, то значениеt_γ найдем из условия γ=2Ф(t_γ)=0,95. По таблице приложения 2 находим значение Ф(t_γ)=0,475 и t_γ=1,96.

= 1,96ּ3,4/ = 0,67.

Концы доверительного интервала:

= 32 – 0,67 = 31,33 и = 32 + 0,67 = 32,67.

Таким образом, с вероятностью 0,95 средняя урожайность сахарной свеклы на всем массиве заключена в границах от 31,33 ц до 32,67 ц.

 

Элементы теории корреляции

 

Определение. Зависимость двухслучайных величин называют корреляционной, если изменение одной случайной величины приводит к

изменению среднего значения другой случайной величины.

Основные задачи теории корреляции:

1. определить есть ли связь между случайными величинами, если есть, то найти уравнение зависимости (уравнение регрессии);

2. определить силу (тесноту) связи между случайными величинами.

Для определения самого факта связи между случайными величинами и тесноты связи служит коэффициент корреляции. Уравнение регрессии позволяет предсказать, какие изменения в среднем будет претерпевать признак при изменении другого признака.

Если уравнения регрессии являются линейными, то есть графиками будут прямые линии, то корреляционная зависимость называется линейной.

Выборочный коэффициент корреляции находится по формуле:

.

Свойства выборочного коэффициента корреляции:

1. Значения коэффициента корреляции изменяются на отрезке [–1;1]:

.

2. Чем модуль больше и ближе к 1, тем теснее связь между изучаемыми признаками.

3. Если , то между признаками функциональная связь.

4. Если , то между изучаемыми признаками нет линейной корреляционной зависимости.

5. Если , то между признаками прямая (положительная) связь, если , то между признаками обратная (отрицательная) связь.

Выборочное уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

,

где , – выборочные средние, за приближенные значения σ_y и σ_x принимают соответственно s_x и s_y:

, .

Выборочное уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:

,

Пример. Были произведены измерения общей длины ствола в см (X) и длины его части без ветвей (Y) 10 молодых сосен. Результаты этого измерения представлены в таблице:

X
Y

Вычислить выборочный коэффициент корреляции и найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

Решение. Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

Для вычисления величин, входящих в формулу, составим вспомогательную таблицу (приведена на следующей странице), в которой результаты измерений записаны столбцами. Внизу каждого из столбцов вычислены суммы для нахождения средних и . Далее расположены столбцы, в которых вычисляются разности x_i– и yi– , их квадраты и произведения. Значения этих столбцов суммируются (последняя строка), чтобы получились величины, необходимые для подстановки в формулу. Отметим, что суммы в столбцах, в которых вычислены разности x_i– и

y_i– будут всегда равны нулю.

Находим средние и (смотри данные в таблице, 1–2 столбцы):

= 700/10 = 70, = 230/10 = 23.

Выполнив все вычисления в таблице (3 – 7 столбцы), получаем:

Σ(x_i– )(y_i– ) =1520,

Σ(x_i– )² = 8250,

Σ(y_i– )² = 298.

Подставляя эти значения в соответствующую формулу, вычислим коэффициент корреляции:

 

 

xi	yi	xi–	(xi– )^2	yi–	(yi– )^2	(xi– )(yi– )
		–45 –35 –25 –15 –5		–9 –5 –4 –3

 

Таким образом, у выбранных сосен имеет место очень сильная корреляция между общей длиной ствола и длиной его части без ветвей.

Найдем теперь выборочное уравнение прямой регрессии Y на X.

,

где , .

Тогда σ_y/σ_x=

Подставляя в выборочное уравнение прямой регрессии Y на X: =70, =23, r_B=0,97, σ_y/σ_x=0,19, получим y–23=0,97∙0,19∙(x–70) или y–23=0,18x–12,6.

Окончательно, y=0,18x + 10,4 – искомое уравнение прямой регрессии Y на X.