Простейший поток и его свойства

Рассмотрим потоки требований (событий), обладающие не­которыми простыми свойствами.

• Стационарный поток. Поток событий считается стацио­нарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной т (рис. 10.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси 0/ расположен этот участок. На рис. 10.1 последователь­ность точек ty, ti,..., t_n на числовой оси соответствует момен­там появления событий. Примером может служить поток от­казов в определенный ограниченный период эксплуатации технических средств СУ или поток вызовов на автоматиче-

.

 

 

 

 

 

 

ближайшего по времени будущего события, не зависит от того, появлялись ли ранее другие события.

Простейший поток является частным случаем нестацио-. нарного пуассоновского потока.

'Простейший поток в практике эксплуатации

1редположение о том, что входящий поток требований явля-тся простейшим, значительно облегчает математические вы-адки. В то же время на основании накопленного практиче-кого опыта можно заключить, что реальный поток требований не отвечает основным предпосылкам простейшего потока.

Например, предположение, что поток телефонных вызо­вов на станцию считается простейшим, может быть нарушено в течение одних суток. Так, поток вызовов меняется в течение суток: днем количество звонков в единицу времени больше, а ночью — меньше. Если в данные сутки от некоторого ми­нистерства поступит срочное распоряжение подчиненным организациям, то этот единственный звонок может вызвать большую серию телефонных звонков, являющуюся последей­ствием, зависящим от ранее поступившего звонка [21].

Не совсем строго выполняется требование ординарности. Следовательно, может показаться, что выводы, полученные на основании предположения о простейшем потоке, должны значительно отличаться от практических результатов. Однако глубокое исследование практических результатов, проведен­ное А. Я. Хинчиным, показало, что в действительности дело обстоит как раз наоборот: опытные данные согласуются с вы­водами построенной теории, как правило, лучше, чем это можно было бы ожидать по принципиальным соображениям [107]. Этим объясняется то, что простейший поток среди по­токов играет особую роль.

При суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Только при этом должно соблюдаться условие, чтобы складываемые потоки на суммарный поток оказывали приблизительно равноценное влияние. На практике оказывает­ся достаточным сложить 4—5 потоков, чтобы получить поток, ^с которым можно оперировать как с простейшим потоком.

Если имеется сложная система, состоящая из большого числа элементов, каждый из которых может отказать с малой-вероятностью за единицу времени независимо от состояния других элементов, то число элементов сложной системы, от­казавших за промежуток времени (0, /), представляет собой случайный процесс, который во многих случаях хорошо опи­сывается стационарным пуассоновским процессом.

Возможно, что в систему обслуживания будет поступать нестационарный, неординарный поток с последействием. В этом случае систему обслуживания целесообразно рассчиты­вать при входящем простейшем* потоке с интенсивностью (плотностью потока), соответствующей максимально воз­можной плотности реального потока. Если систему массового обслуживания рассчитать таким образом, то она будет эффек­тивно справляться с обслуживанием реального потока.

Эффективность системы при обслуживании реального по-токф отличающегося от стационарного пуассоновского потока, будет выше расчетной эффективности для принятого про­стейшего потока.

Если не следовать изложенным советам, то окажется, что подавляющее большинство задач теории массового обслужи­вания становится очень сложным в том случае, когда поток от­личается от стационарного пуассоновского потока. Несмотря на эти трудности, многие ученые вынуждены заниматься и не-пуассоновскими потоками, идти на усложнение математиче­ского аппарата, когда это диктуется практикой.

Остановимся на практическом примере расчета параметра простейшего потока требований.

Пример 10.2

В цехе имеется склад инструментов. В случайные моменты времени рабочие приходят за инструментом. Наша задача за­ключается в том, чтобы определить параметр потока рабочих, следующих на склад, и характер потока. Для решения этой за­дачи будем фиксировать количество рабочих, приходящих за каждые 15 мин. Таких наблюдений организуем 100. Результаты запишем в таблицу (см. табл. 10.1, гр. 1, 2).

Решение

1. Определим среднее число обращений на склад за 15 мин-и за 1 мин.: