Уточнение числовых характеристик закона распределения исходных параметров модели

Точность соответствия ковариационной матрицы истинным стохастическим связям будет зависеть от точности определе­ния математического ожидания и дисперсии случайных ве­личин, составляющих многомерное нормальное распределе­ние. Исследования признаков, изучаемых при анализе производственно-хозяйственной деятельности предприятий, показали, что распределения бывают вытянутыми в ту или иную сторону или с утяжеленными хвостами.

Тьюки показал, что по мере удаления истинного распре­деления от нормального выборочное среднее значение быст­ро теряет свои свойства наилучшей оценки центра нормаль­ного распределения. Тьюки задался Целью найти другие оценки центра распределения, которые были бы, если и не­сколько хуже выборочного среднего значения, но более ус­тойчивыми к отклонениям от нормального распределения. Если рассматривается одномерный случай, то нормальная выборка считается засоренной нормальными выбросами с тем же средним, но с значительно большей дисперсией (табл. 4.1).

Таблица 4.1 Сравнение устойчивости оценок центра распределения

 

 

Оценка		Доля засоренности распределения
	0,001	0,005	0,01	0,05	0,2	0,5
X т	1,0 1,0	1,011 1,051 1,103 1,554 4,07 1,010 1,037 1,065 1,258 2,05	20,10 5,93

 

торый рассматривает, случай, когда засоряющее распределе­ние не обязательно симметрично относительно оцениваемого параметра, как у Тьюки.

В 'заключение интересно будет привести результаты рас­четов, проведенных Б. П. Титаренко, из которых видно, что при засоренности распределения более 0,001 оценка Хубера т дает более устойчивые результаты [102].

Отметим, что оценка Хубера близка к оценке Тьюки. Из­ложенный подход дает возможность строить более адекватные модели метода главных компонент и регрессии на главных компонентах.

Если анализ методом главных компонент используется для выработки управляющих решений или корректирующих воздействий на управляемый процесс, то значение устойчи­вых оценок несомненно возрастает.

Динамическая модель

В п. 4.1 было показано, что использование робастных (устой­чивых) оценок признаков может существенно повлиять на точность обработки исходных данных в методе главных ком­понент. На конечном этапе — интерпретации полученных ре­зультатов — появляются новые трудности. Они заключаются в том, что при изучении влияния некоторых признаков в те­чение ряда лет в некоторые годы они могут оказаться суще­ственными, а в другие годы — несущественными. Остановим­ся на этом вопросе.

Интерпретацию полученных результатов компонентного анализа в области проведенного конкретного исследования специалисты обычно проводят совместно с математиками. В зависимости от требований и условий задачи все коэффици­енты веса каждой главной компоненты делятся на группы. Первая группа — подмножество W\ — включает «малые» ко­эффициенты веса. В данное подмножество обычно включают коэффициенты веса в пределах от нуля до 0,10+0,15, назначая некоторый граничный (критический) весовой коэффициент а_кр. Считаем, что данное подмножество включает и нулевой коэффициент веса. Второе подмножество Ж> содержит все коэффициенты веса, превосходящие a_KV.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.3 Редуцированная матрица парных коэффициентов корреляции

 

ь		.2	•з				7 *
	0,249 0,037	0,129	0,149	0,121	0,158	-0,013	0,096	-0,249	0,070 а	-0,028	0,199
	0,181	0,019	0,054	0,181	-0,093	0,086	0,032	0,166	-0,045	-0,116	-0,141
		0,227	0,188	0,048	0,098	0,044	0,111	-0,205	0,152	0,059	0,227
			0,568	0,568	0,323	0,561	0,430	-0,059	.0,264	-0,053'	0,232
				0,568	0,042	0,399	0,373	-0,053	0,206	• 0,020	0,131
					0,387	0,113	0,081	-0,361	-0,079	0,387	-0,128
						0,561	0,462	0,069-	0,123	0,106	0,104
							0,462	0,034	0,347	0,167	0,277
								0,381	-0,354	-0,399	-0,381
									0,425	0,338	0,425
						,				0,394	0,394
											0,425

 

 

 

так и отрицательные собственные значения. Отрицательные собственные значения не имеют смысла в факторном анализе. Сумма положительных собственных значений превосходит сумму общностей. Процесс извлечения факторов рекоменду­ется прекращать в момент, когда сумма собственных значе­ний становится равной сумме общностей.

Сумма общностей, как известно, представляет собой след редуцированной матрицы. Эта величина может быть опреде­лена одновременно с редуцированием матрицы. Следователь­но, данная легко получаемая величина может стать критерием, определяющим окончание процедуры извлечения главных факторов в алгоритме решения задачи на ЭВМ.

Таким образом, мы с разных сторон рассмотрели широкие возможности приложения метода главных компонент. Внача­ле показали, что данный метод имеет и нестатистический ас­пект, а в заключение отметили, что многие процедуры метода главных компонент иногда могут быть использованы в фак­торном анализе, т. е. еще в одном из способов снижения раз­мерности многомерной статистической информации.

Ф

ЧАСТЬ

*