Оценка эффективности на основе игровых критериев

Основные понятия теории игр

На практике* часто появляется необходимость согласования действий ряда объединений и министерств в тех случаях, ко­гда их интересы не совпадают. В таких ситуациях может по­мочь теория игр. Она позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов.

Теория игр все шире проникает в практику экономиче­ских решений и исследований. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плано­вых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении догово­ров с иностранными государствами на любом иерархическом уровне. Так можно определить научно обоснованный уровень сезонного снижения розничных цен, оптимальный уровень товарных запасов.

При исследовании работы транспорта можно решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий город­ского транспорта. Можно решить задачу планирования поряд­ка организации эксплуатации месторождений полезных иско­паемых в стране. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики, занимающийся изучением конфликтных ситуаций. Это зна­чит, чтб при помощи данного раздела математики можно вы­работать оптимальные правила поведения для каждой сторо­ны, участвующей в разрешении конфликтной ситуации.

В экономике, например, оказался недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экс­тремумов функций. Появилась необходимость изучения оп­тимальных минимаксных и максиминных решений. Значит,

теорию игр можно рассматривать как новый раздел теории оптимизации, позволяющий решать новые задачи при при­нятии решений.

Игра — упрощенная формализованная модель реальной конфликтной ситуации. Математически формализация озна­чает, что разработаны определенные правила действия сторон в процессе игры:

• варианты действия сторон;

• исход игры при данном варианте действия;

• объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.

В главе 6 мы отмечали, что одну (играющую) сторону при исследовании операций может представлять коллектив, пре­следующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обста­новке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр не рассматриваются, хотя не вся­кий выигрыш можно оценить количественно.

Игрок — одна из сторон в игровой ситуации.

Стратегия игрока — правило действия игрока в каждой из возможных ситуаций игры. Существуют игровые системы управления, если процесс управления в них рассматривается как игра.

Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) — матрица, включающая все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть и грок А имеет т стратегий А,-, а игрок В — п стратегий Bj (і = l,m;j= 1, п). Игра может быть на­звана игрой т х п. Представим ее матрицу эффективности, сопроводив необходимыми обозначениями:

 

 

 

Ai/	Bi	В2		Вп	щ
А\ А2 А/п	«11 «12... «1л «21 «22 «2л	<*1 а2 ат
«ml ^апй ■ ■ ■ ^атп
Р/	Pi Р2 ••• Рл

В данной матрице элементы я,у — значения выигрышей. Элемент ви может означать и математическое ожидание вы­игрыша (среднее значение), если выигрыш является случай­ной величиной.

В теории игр не существует установившейся классифика­ции видов игр. Однако некоторые виды можно выделить.

Если в игре участвуют-две стороны, то ее называют игрой двух игроков. Если число сторон более двух, то ее относят к игре п игроков. Наибольший интерес вызывают игры двух игроков. Они и математически наиболее глубоко проработаны, и в практических приложениях имеют наиболее обширную биб­лиографию.

В зависимости от количества стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. В конечной игре каждый из игроков имеет конечное число возможных стратегий. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное число возможных стра­тегии, то игра является бесконечной.

В зависимости от взаимоотношения сторон игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные. Если игроки не имеют права вступать в соглашение, образовывать коалицию, то такая игра относится к бескоалиционной; если же игроки могут вступать в соглашение, создавать коалицию — к коалиционной. Кооперативная игра — это игра, в которой за­ранее определены коалиции.

Существует классификация по характеру выигрышей. Это игры с нулевой суммой и игры с ненулевой суммой. Игра с ну­левой суммой предусматривает, что «сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю». Игры двух игроков с нулевой суммой относят к классу антагонистических игр. Ес­тественно, выигрыш одного игрока всегда равен проигрышу другого. Примерами игры с нулевой суммой служат многие экономические задачи. В них общий капитал всех игроков пе­рераспределяется между игроками, но не меняется.

В качестве примеров игр с ненулевой суммой можно при­вести большое количество экономических задач. Так, в ре­зультате торговых взаимоотношений стран, участвующих в игре, все участники могут оказаться в выигрыше. Игра, в ко­торой надо вносить взнос за право участия в ней, является иг­рой с ненулевой суммой.

В зависимости от вида функции выигрышей игры подраз­деляются на матричные, биматричные, непрерывные, выпук­лые, сепарабельные и т. д. Поясним некоторые из них.

Матричная игра — конечная игра двух игроков с нулевой суммой. В общем случае ее платежная матрица является пря­моугольной. Номер строки матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой первым игроком А. Номер столбца матрицы соответствует номеру стратегии, применяемой вто­рым игроком В. Выигрыш первого игрока является элемен­том матрицы. Выигрыш второго игрока равен проигрышу первого игрока. Известно, что матричные игры имеют реше­ния. Они могут быть решены методами линейного програм­мирования. Для этого их надо переформулировать в терминах линейного программирования.

Биматричная игра — конечная игра двух игроков с нену­левой суммой. Выигрыши каждого игрока задаются своей матрицей, в которой строка соответствует стратегии первого игрока, а столбец — стратегии второго игрока. Однако эле­мент первой матрицы показывает выигрыш первого игрока. Для биматричных игр, так же как и для матричных, имеется обоснованная теория оптимального поведения игроков.

Если функция выигрышей каждого игрока в зависимости от стратегий является непрерывной, то игра считается непре­рывной. Если функция выигрышей выпуклая, то и игра явля­ется выпуклой.

Если функция выигрышей может быть разделена на сумму произведений функций от одного аргумента, то игра относит­ся к сепарабельной.

В зависимости от количества ходов игры можно разделить на одношаговые и многошаговые. Одношаговые игры заканчи­ваются после одного хода каждого игрока. Так, в матричной игре после одного хода каждого из игроков происходит рас­пределение выигрышей. Многошаговые игры бывают позици­онными, стохастическими, дифференциальными и др.

При классификации по информированности сторон раз­личают игры с полной информацией и игры с неполной ин­формацией. Если каждый игрок на каждом ходе игры знает ^все ранее примененные другими игроками на предыдущих хо-Дах стратегии, то игра классифицируется как игра с полной ин­формацией.

 

 

 

 

Стратегия является оптимальной, если ее применение обеспечит игроку наибольший гарантированный выигрыщ при любых возможных стратегиях другого игрока. '

Напримере 8.3 показано, что бывают ситуации, когда игрок А может получить выигрыш, превосходящий максиминный.

Известно, что если игра многократно повторяется в сход­ных условиях, то в результате можно добиться гарантирован­ного среднего выигрыша," превосходящего для игрока А мак-симинную стратегию.

Смешанные стратегии

Если в матричной игре отсутствует седловая точка в чистых стратегиях, то находят верхнюю и нижнюю чистые цены иг­ры. Они показывают, что игрок Л не получит выигрыша, пре­восходящего верхнюю цену игры, и игроку А гарантирован выигрыш, не меньший нижней цены игры. В примере 8.3 по своей оптимальной стратегии А\, отличной от максиминной, игрок А получил выигрыш, равный верхней цене игры. Это была плата за информированность о стратегии В. Это край­ний случай.

Улучшится ли результат игрока А, если информация о дей­ствиях противной стороны будет отсутствовать, но игрок бу­дет многократно применять чистые стратегии случайным об­разом, с определенной вероятностью?

В такой ситуации, оказывается, можно получать выигры­ши, в среднем ббльшие нижней цены игры, но меньшие верх­ней цены игры.

Смешанная стратегия игрока — это полный набор вероят­ностей применения его чистых стратегий. Значит, смешанная стратегия является случайной смесью чистых стратегий с оп­ределенными вероятностями.

Подведем итоги сказанного и перечислим условия приме­нения смешанных стратегий:

1) игра без седловой точки;

2) игроки используют случайную смесь нескольких чистых стратегий;

3) игра многократно повторяется в сходных условиях;

4) ни один из игроков не информирован о данном выборе стратегии другим игроком;

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 8.2 Расчет функции потерь ЦВ\, А)

 

 

 

 

Стратегия	Процент снижения цены	Новая цена, руб.	Реализация	Себестоимость 1000 пальто, руб.	Потери, руб.
шт.	руб.
Ах			300 67 500	150 000	82 500
А2		200 1	700 140 000	150 000	10 000
Лз			800 140 000	150 000	10 000
АА			900 135 000	150 000	15 000

каких данных о том, какой будет зима, хотя мы знаем, что зима может характеризоваться двумя возможными состояниями — В\ или Bj. Эта стратегическая игра обозначается (В, A, L).

В данной игре можно отметить, что стратегии A\W А^ до-минируются стратегией А_ъ (71,25 < 75 < 105; 10 < 15 < 82,5). Выбросим эти две стратегии из рассмотрения и получим но­вую функцию потерь (табл. 8.4).

3. Проведем статистический эксперимент и преобразуем стратегическую игру (Д A, L) в статистическую игру (В, D, К). Статистическая игра имеет характерную особенность, заклю­чающуюся в возможности получения информации на основе некоторого статистического эксперимента. Эксперимент про­водится для оценки вероятностей стратегий природы. Этим вопросом необходимо заняться в решаемой задаче. Нам надо выяснить, какой будет эластичность спроса от цены в случае мягкой (В₂) или суровой (В\) зимы.

Таблица 8.3

 

 

 

	Функция потерь L(B, A)
Стратегия	Процент снижения цены	Потери, тыс. руб.
при мягкой зиме (i?2)	при суровой зиме (5[)
Л\		105,00. 82,5
А2		90,00 10,0
*3		71,25 10,0
А,		75,00 15,0

 

 

 

 

і K(B„D) дыс.руб.	dt	d2	d3	d,
Ф	і і і	і і і	і і і	і і і і і і	----------------------- ►

0 70 74 78 82 86 90 94 100 к(в₂,о;,тыс.руб. Рис. 8.2. Оптимальная стратегия торговой фирмы

Это позволяет перейти от задачи, решаемой в условиях пол­ной неопределенности, к задаче, решаемой в условиях риска. Предположим, что перед проектной организацией постав­лена задача выбора оптимального плана капитальных вложе­ний для строительства электротехнического комплекса. Вы­бор может быть проведен из трех возможных вариантов:

• строить в пригороде Санкт-Петербурга;

• строить на Европейском Севере страны;

• строить в Сибири.

Первый вариант характеризуется очень хорошими клима­тическими условиями, близостью заводов-поставщиков, сле­довательно, малой зависимостью от состояния транспорта и погоды, но большой удаленностью от основных потребителей продукции.

Второй вариант- характерен хорошей привязкой к разветв­ленной транспортной сети (правда, в этом он уступает пер­вому варианту), зависимостью производства от состояния транспортных путей и от климатических условий, удаленно­стью от основных потребителей (приблизительно такой же, как и в первом варианте).

Наконец, при третьем варианте влияние климатических условий и состояние транспорта на производство существен­но. Однако поставка продукции основным потребителям не связана с дальними перевозками.

Экономический эффект каждого из вариантов капиталь­ных вложений можно определить, если учитывать годовую прибыль, затраты на строительство и эксплуатацию. Резуль­таты экономических расчетов по условным данным представ­лены в следующей матрице (табл. 8.7).

 

Однако проектирующая организация может получить дос­товерные данные за длительный период о состоянии погоды и загрузке транспорта. Значит, на основе статистических данных можно получить распределение вероятностей состояний В.

2. Определим апостериорное распределение состояния погоды и_# условий работы транспорта. Так как методы обра­ботки многолетних статистических данных не входят в задачу данной книги, предположим, что в результате этой обработки мы получим следующее апостериорное распределение:

р(В_х) = 0,13; р(В₂) = 0,32;

/>(і?з) = 0,і8; /> (Д₄) = 0,37.

Теперь можно решить задачу принятия решений в усло­виях риска. Стратегическая игра {А, В, Ф) преобразуется в ста­тистическую игру. Необходимо, найти математические ожи­дания (млн руб.): Ф(В, А_{) = 55 • 0,13 + 50 • 0,32 + 45 • 0,18 + 40 • 0,37 = 46,05; Ф(В, А₂) = 60 • 0,13 + 30 • 0,32 + 35 • 0,18 + 25 ■ 0,37 = 32,95; Ф(В, А₃) = 75 • 0,13 + 75 • 0,32 + 45 ■ 0,18 + 35 • 0,37 = 54,8. Рассчитанные математические ожидания максимизирует оптимальная байесовская стратегия оперирующей стороны. На ее основе получаем, что наиболее выгодным вариантом будет строительство комплекса в Сибири, где

max Ф(В, Aj) - Ф(В, Л₃) = 54,8 млн руб.

А/Є А

Как й любой математический аппарат, теория игр имеет свои ограничения. Например, в играх с природой игрок «при­рода» сознательно не противодействует и относится к нам безразлично. О его поведении можно судить только на основе многолетних статистических данных, если предполагать, что в дальнейшем существенных отклонений от тенденции его поведения в прошлом не будет. Решения следует принимать в расчете на наихудшие условия. Однако заранее известно, что реальный процесс даст более высокие результаты показа­теля эффективности или эффекта.

Для любой задачи линейного программирования сущест­вует эквивалентная задача теории игр.

Некоторые экономические задачи большой размерности, которые нельзя решить существующими методами линейного программирования, были решены с заданной точностью ме­тодами теории игр.

14-1447