Понятие системы случайных величин

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых конечный результат зависит от многих случайных ве­личин. Так, выполнение финансового плана предприятиями за­висит от производительности труда, регулярности поступления материалов, уровня квалификации работников, руководства на предприятиях, состояния оборудования, рационализаторской и изобретательской работы и других признаков. Следовательно, интересуясь конечным результатом выполнения финансового плана или степенью взаимосвязи признаков, мы сталкиваемся с системой признаков. Если учесть, что на проявление каждого признака влияет большое число случайных факторов, то мож­но считать, что признаки носят случайный характер. Если это подтверждается практикой, то можно заключить, что необхо­димо исследовать систему случайных признаков (величин).

Свойства системы нескольких случайных величин не представляют собой сумму свойств отдельных величин. Они в значительной степени зависят от взаимных связей случай­ных величин. О системе п случайных величин удобнее гово­рить как о точке в пространстве п измерений или как о слу­чайном и-мерном векторе. Системы случайных величин полностью характеризуются многомерными законами рас­пределения. Их часто характеризуют при помощи числовых характеристик этих законов. Наиболее широкое распростра­нение при изучении реальных случайных процессов получило многомерное нормальное распределение. Из центральной пре­дельной теоремы следует, что предельным распределением од-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при рассмотрении двумерного нормаль­ного распределения мы легко убеждаемся в том, что коэффи­циенты корреляции и дисперсии случайных величин являются основными числовыми характеристиками наряду с математи­ческими ожиданиями. Если конечное число случайных вели­чин превосходит п = 2, то роль выражения (1.16) выполняет ковариационная или корреляционная матрица более высоко­го порядка. Элементы этой матрицы получаются на практике из экспериментальных или статистических данных и являют­ся статистическими величинами, требующими своей оценки.

Рассмотрим критерии значимости выборочного коэффи­циента корреляции.

 

 

 

 

і

Глава 2 МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ

Метод главных компонент в ряду других методов многомерного статистического анализа

Длительное время метод главных компонент (компонентный анализ) рассматривался многими авторами [42], [59], [106] как одна из разновидностей методов факторного анализа. При этом под факторным анализом понимался способ при­ведения множества непосредственно наблюдаемых призна­ков к меньшему числу неявных, но объективно существую­щих факторов. В настоящее время метод главных компонент часто отделяют от факторного анализа. Впервые он был пред­ложен в 1901 г. К. Пирсоном, затем развит, доработан, описан и обоснован в работах Г. Хотеллинга, Г. Хармана, С. Рао, П. Андруковича, С. А. Айвазяна, В. С. Мхитаряна [5], [7], [59], [83], [106].

В России метод главных компонент стал распространяться с появлением ЭВМ вследствие удобства математических про­цедур и наличия стандартных программ, которые оказалось возможным применить для организации математического обеспечения алгоритма расчета.

Метод главных компонент обладает определенными пре­имуществами перед другими методами факторного анализа. Он не требует, например, никаких гипотез о переменных, яв­ляется линейным и аддитивным.

Несмотря на то, что при методе главных компонент для точного воспроизведения коэффициентов корреляции между переменными надо найти все п компонент, большая доля из­менчивости признаков (дисперсии) объясняется небольшим числом (т) компонент. Кроме того, при методе главных ком­понент можно по признакам описать компоненты, а по ком­понентам — признаки. В книге Д. Лоули и А. Максвелла [59] сказано, что факторный анализ изучает ковариации, а метод главных компонент — дисперсии. Однако С. Рао показал, что метод главных компонент одинаково хорошо приближает дисперсии и ковариации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tm