Основные свойства потоков вызовов

Случайные потоки вызовов классифицируются в зависимости от наличия или отсутствия следующих трех свойств:

- стационарности;

- последействия;

- ординарности.

Стационарность означает однородность процесса поступления вызовов, т.е. вероятность поступления некоторого числа вызовов за какой - то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его расположения на оси времени.

Стационарный поток характеризуется функциями – вероятность того, что за промежуток времени , поступит точно вызовов. Реально поступивший на АТС поток вызовов имеет явно выраженный не стационарный характер, интенсивность потока вызовов существенно зависит от времени суток, дня недели и даже времени года. Однако внутри суток всегда можно выделить одночасовые промежутки времени, в течении которых поступающий поток вызовов близок к стационарному.

Ординарность - невозможность группового поступления вызовов, т.е. вероятность поступления двух или более вызовов за любой промежуток времени ,есь величина бесконечно малая: , при

Последействие – зависимость вероятностных характеристик потока вызовов от предыдущих событий. То есть, вероятность поступления вызовов в промежутке зависит от числа, времени поступления и длительности обслуживания вызовов до момента времени .

Поток вызовов, поступающий от достаточно большой группы источников близок по своим свойствам поток беспоследействия (если не учитывать повторные вызовы).

Поток от малой группы источников наоборот обладает заметным последействием. Так при емкости группы источников вероятность поступления вызовов существенно зависит от числа свободных источников и будет заметно больше, если , чем при . Число свободных источников в свою очередь зависит от предыдущих событий, что и определяет последствие потока.

С ростом емкости группы источников вызовов, постепенно уменьшается доля занятых источников по отношению к общему их числу соответственно и ослабевает последействие потока, и при его уже можно не учитывать.

Последействие может быть:

1) ограниченное - когда промежутки между вызовами , ,… ,образуют последовательность взаимно независимых случайных величин;

2) простое – означает, что вероятность поступления вызовов за бесконечно малый промежуток времени определяется состоянием коммутационной системы в момент времени t.

 

Основные характеристики потоков вызовов

Ведущая функция потока -математическое ожидание числа вызовов в промежутке . Данная функция: неотрицательная, неубывающая, в практических задачах ТТ непрерывна, принимает только конечные значения.

Средняя интенсивность потока вызова в промежутке - есть математическое ожидание числа вызовов в этом промежутке в единицу времени т.е.

 

. (2.1)

 

Мгновенная интенсивность определяется выражением:

. (2.2)

 

Для стационарного потока, ведущая функция за промежуток времени равна интенсивности потока т.е.:

 

. (2.3)

 

Следовательно, интенсивность стационарного потока есть математическое ожидание числа вызовов, поступающих единицу времени. Чаще всего за единицу времени выбирается средняя длительность одного занятия.

Параметр потока - в момент времени t,есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке времени к величине этого промежутка если :

(2.4)

 

Для ординарных потоков существует равенство:

Для стационарных потоков параметр потока не зависит от времени: , таким образом, для случайного потока, обладающего свойствами стационарности и ординарности можно записать:

. (2.5)

Простейший поток вызовов

Случайный поток вызовов, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствием последействия называется простейшим. Простейший поток полностью определяется функцией и подчиняется законам Пуассона:

(2.6)

 

Пуассоном на основании формулы (2.6) составлены таблицы, которые позволяют определить вероятность поступления не менее k -вызовов за время :

 

(2.7)

 

Из формул (2.6) и (2.7) видно, что при у.е.в.(условная единица времени) вероятности и зависят только от и . С возрастанием закон Пуассона стремиться к нормальному закону распределения непрерывной случайной величины (при совпадают с нормальным законом распределения случайной величины). На рисунке 2.2 показаны изменения зависимости от значения и

Рисунок 2.2 – Зависимость от значения и .

 

 

Из рисунков видно, что максимум достигается:

1. При целом в двух точках и ;

2. При дробном в одной точке когда

 

Свойства простейшего потока

1.При объединении «n» независимых простейших потоков с параметрами образуется общий простейший поток с параметром:

Вероятность поступления точно вызовов за время определяется формулой Пуассона, а параметр потока формулой (2.8).

2.Сумма вероятностей всех возможных значений числа поступающих вызовов за промежуток времени равна единице:

 

 

3.Математическое ожидание и дисперсия числа вызовов за промежуток времени совпадают и равны:

(2.10)

 

Таким образом, для простейшего потока

Примитивный поток вызовов

Случайный ординарный поток вызовов параметр, которого - прямо пропорционален числу свободных источников нагрузки в данный момент времени называется примитивным:

 

, (2.11)

 

где – общее число источников вызовов;

– число занятых источников;

- параметр источника в свободном состоянии.

Примитивный поток, часто называют Пуассоновским потоком 2-го рода (простейший – Пуассоновским пот оком 1-го рода), или Энгсетовским.

Примитивный поток является более общим понятием по сравнению с простейшим потоком и переходит в простейший при .

Математической моделью примитивного потока вызовов является распределение Бернулли - вероятность поступления вызовов за время t от источников:

 

, (2.12)

где -интенсивность нагрузки от одного источника:

 

. (2.13)

Время обслуживания

Время обслуживания поступившего вызова может быть фиксированным или случайным. Фиксированное время задается последовательностью величин h_k, характеризующих длительность обслуживания k -ого вызова или k -ой группы вызовов. Время обслуживания будет постоянным, если h_k равно какой-то величине h.

Случайная длительность обслуживания вызова задается функцией распределения соответствующей случайной величины. Самым простым и наиболее распространенным является распределительный закон:

 

, (2.14)

 

где h- математическое ожидание времени обслуживания.

Выбор показательного закона распределения объясняется тем, что он обладает свойствами полного отсутствия последействия.

С целью упрощения математических выражений часто за единицу измерения длительности обслуживания принимается математическое ожидание длительности обслуживания, т.е. h=1 у.е.в.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

2.1. Какой поток называется детерминированным?

2.2.Чем может быть определен (задан) детерминированный поток вызовов?

2.3.Чем может быть определен (задан) случайный поток вызовов?

2.4.Что означает понятие «стационарность потока»?

2.5.Дайте определение понятия «ординарность потока».

2.6. Что означает понятие «поток с последействием»?

2.7. Что определяет интенсивность потока вызовов?

2.8.Что определяет параметр потока вызовов?

2.9.Дайте определение простейшего потока вызовов.

2.10.Какой поток вызовов называется примитивным?

2.11.Какой поток вызовов называется простейшим?

2.12.Что позволяет определить формула ?

2.13.Что позволяет определить формула первого распределения Эрланга?

2.14.Что позволяет определить первая формула Эрланга?