Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики

В этом параграфе мы рассмотрим, некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом мы продемонстрируем основные методические приемы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания. Мы не будем гнаться за количеством образцов СМО, для которых будут выведены конечные выражения характеристик; данная книга — не справочник по теории массового обслуживания (такую роль гораздо лучше выполняют специальные руководства). Наша цель — познакомить читателя с некоторыми «маленькими хитростями», облегчающими путь сквозь теорию массового обслуживания, которая в ряде имеющихся (даже претендующих на популярность) книг может показаться бессвязным набором примеров.

Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, в данном параграфе мы будем считать простейшими (не оговаривая это каждый раз специально). В их числе будет и так называемый «поток обслуживании». Под ним разумеется поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение (во многих руководствах вместо этого говорят: «время обслуживания — показательное», мы и сами в дальнейшем будем пользоваться таким термином).

 

¹) В популярной книжке [18] дан несколько иной, по сравнению с вышеизложенным, вывод формулы Литтла. Вообще, знакомство с этой книжкой («Беседа вторая») полезно для первоначального ознакомления с теорией массового обслуживания.

В данном параграфе показательное распределение времени обслуживания будет само собой разуметься, как всегда для «простейшей» системы.

Характеристики эффективности рассматриваемых СМО мы будем вводить по ходу изложения.

1. п -канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания;

эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлантом. Задача ставится так: имеется п каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания t _об). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

А — абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q — относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Р _отк — вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

k — среднее число занятых каналов.

Решение. Состояния системы S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S₀ — в СМО нет ни одной заявки,

S₁ — в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),

S_k — в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

S_n — в СМО находится п заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели в размножения (рис. 20.1). Разметим этот граф — проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S ₀ в S₁ систему переводит поток заявок с интенсивностью λ (как только приходит заявка, система перескакивает из S₀ в S₁). Тот же поток заявок переводит

 

 

систему из любого левого состояния в соседнее правое (см. верхние стрелки на рис. 20.1).

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии S ₁ (работает один канал). Он производит μ обслуживании в единицу времени. Проставляем у стрелки S ₁ → S ₀ интенсивность μ. Теперь представим себе, что система находится в состоянии S₂ (работают два канала). Чтобы ей перейти в S₁, нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна 2μ; проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживании, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность 3μ, k каналами — kμ. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 20.1.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (19.7), (19.8) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (19.8) получим:

 

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при р₀ в выражениях для p₁

 

 

Заметим, что в формулы (20.1), (20.2) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а только в виде отношения λ/μ. Обозначим

 

λ/μ = ρ (20.3)

 

и будем называть величину р «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл—среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (20.1), (20.2) в виде:

 

(20.4)

(20.5)

 

Формулы (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга — в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой теории (сегодня их больше, чем грибов в лесу) не носит никаких специальных имен.

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем Р _отк. — вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все п каналов были заняты, значит,

 

Р_отк = р_n = . (20.6)

 

Отсюда находим относительную пропускную способность — вероятность того, что заявка будет обслужена:

 

Q = 1 – P_отк. = 1 - (20.7)

 

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ, на Q:

 

A = λQ = λ . (20.8)

 

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0, 1,..., п и вероятностями этих значений р₀ р₁,..., р_n:

 

k = 0 · р₀ + 1 · p₁ + 2 · р₂ +... + п · р_n.

 

Подставляя сюда выражения (20.5) для р _k, (k = 0, 1,..., п) и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для k. Но мы выведем ее гораздо проще (вот она, одна из «маленьких хитростей»!) В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это — не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый i.шал в единицу времени обслуживает в среднем |л заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно

 

k = A/μ, (20.9)

или, учитывая (20.8),

k = (20.10)

Рекомендуем читателю самостоятельно решить пример. Имеется станция связи с тремя каналами (n = 3), интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки в минуту); среднее время обслуживания одной заявки t _об = 2 (мин.), все потоки событий (как и во всем этом параграфе) — простейшие. Найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО: А, Q, P _отк, k. На всякий случай сообщаем ответы: p ₀ = 1/13, p ₁ = 3/13, p ₂ = 9/26, р₃ = 9/26 ≈ 0,346,

А ≈ 0,981, Q ≈ 0,654, P _отк ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Из ответов видно, между прочим, что наша СМО в значительной мере перегружена: из трех каналов занято в среднем около двух, а из поступающих заявок около 35% остаются не обслуженными. Предлагаем читателю, если он любопытен и неленив, выяснить: сколько потребуется каналов для того, чтобы удовлетворить не менее 80% поступающих заявок? И какая доля каналов при этом будет простаивать?

Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит — увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее эффективное экономически. Мы такой задачи решать не будем, предоставляя все тому же «неленивому и любопытному читателю» придумать пример и решить. Вообще, придумывание задач больше развивает, чем решение уже поставленных кем-то.

2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживании имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки t _об. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

L _сист. — среднее число заявок в системе,

W _сист.— среднее время пребывания заявки в системе,

L _оч — среднее число заявок в очереди,

W _оч — среднее время пребывания заявки в очереди,

P _зан — вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности:

в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А = λ, по той же причине Q = 1.

 

Рис. 20.2.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S ₀ — канал свободен,

S ₁ — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S ₂ — канал занят, одна заявка стоит в очереди,

S _k — канал занят, k — 1 заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состоянии имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это — схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево — поток обслуживании с интенсивностью μ.

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t → ∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если ρ строго меньше единицы (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t → ∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при ρ = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле — не так. При ρ = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот — регулярен, и время обслуживания — тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживании стать хотя бы чуточку случайными — и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» — абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность — воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для р₀:

 

p ₀ = [1 + λ/μ + (λ/μ)² +... + (λ/μ)^k +.. ]^-1 =

= (1 + р + р² +... + р^k +….)^-1. (20.11)

 

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ρ < 1 ряд сходится — это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний р₀, p₁,..., p_k,... существуют только при р<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

 

1 + ρ + ρ² +... + ρ^k +... = ,

откуда

 

p ₀ = 1 - ρ. (20.12)

 

Вероятности р₁, р₂,..., р_k,... найдутся по формулам:

 

p₁ = ρ p₀, p₂ = ρ² p₀,…,p_k = ρ p₀,...,

 

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

 

p₁ = ρ (1 - ρ), p₂ = ρ² (1 - ρ),..., p_k = ρ ^k (1 - ρ),...(20.13)

 

Как видно, вероятности p₀, p₁,..., p_k,... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р₀ — вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО L _сист.. Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z — число заявок в системе — имеет возможные значения 0, 1, 2,.... k,... с вероятностями p₀, р₁, р₂,..., p_k,... Ее математическое ожидание равно

 

L _сист = 0 · p₀ + 1 · p ₁ + 2 · p ₂ +…+ k · p _k +…= (20.14)

 

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для p_k (20.13):

 

L _сист. =

Теперь вынесем за знак суммы ρ (1-ρ):

L _сист. = ρ (1-ρ)

 

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: k ρ ^{k -1} есть не что иное, как производная по ρ от выражения ρ ^k; значит,

 

L _сист. = ρ (1-ρ)

 

Меняя местами операции дифференцирования п суммирования, получим:

 

L _сист. = ρ (1-ρ) (20.15)

 

 

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ρ и знаменателем ρ; эта сумма

равна , а ее производная .Подставляя это выражение в (20.15), получим:

 

L _сист = . (20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

 

W _сист = (20.17)

 

Найдем среднее число заявок в очереди L _оч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди L _оч равно среднему числу заявок в системе L _сист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Р _зан). Очевидно, Р _зан равно единице минус вероятность р₀ того, что канал свободен:

 

Р _зан = 1 - р ₀ = ρ. (20.18)

 

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

 

L_об = ρ, (20.19)

отсюда

L _оч = L _сист – ρ =

и окончательно

 

L_оч = (20.20)

 

По формуле Литтла (19.13) найдем среднее время пребывания заявки в очереди:

 

(20.21)

 

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование) состава длится случайное (показательное) время со средним значением t_об =• 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее, число составов l _сист, связанных со станцией, среднее время W _сист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число L _оч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время W _оч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях L _внеш и среднее время этого ожидания W _внеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: L _сист. = 2 (состава), W _сист. = 1 (час), L _оч = 4/3 (состава), W _оч = 2/3 (часа), L _внеш = 16/27 (состава), W _внеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а: Ш ≈ 14,2 а.

3. re-канальная СМО с неограниченной очередью. Совершенно аналогично задаче 2, но чуточку более сложно, решается задача об n -канальной СМО с неограниченной очередью. Нумерация состояний — опять по числу заявок, находящихся в системе:

S₀ — в СМО заявок нет (все каналы свободны),

S₁ — занят один канал, остальные свободны,

S₂ — занято два канала, остальные свободны,

S_k — занято k каналов, остальные свободны,

S_n — заняты все п каналов (очереди нет),

S_n+1 — заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

S_n+r — заняты вес п каналов, r заявок стоит в очереди,

Граф состояний показан на рис. 20.3. Предлагаем читателю самому обдумать и обосновать значения интенсивностей, проставленных у стрелок. Граф рис. 20.3

Sn+1^.

Sn+1

Sn

Sk

S1

S0

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

 

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

pиc. 20.3.

есть схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Сообщим без доказательства естественное условие существования финальных вероятностей: ρ/ n <1. Если ρ/ n ≥ 1, очередь растет до бесконечности.

Предположим, что условие ρ/ n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для р₀ будет стоять ряд членов, содержащих факториалы, плюс сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ρ/ n. Суммируя ее, найдем

 

(20.22)

 

Теперь найдем характеристики эффективности СМО. Из них легче всего находится среднее число занятых каналов k == λ/μ, = ρ (это вообще справедливо для любой СМО с неограниченной очередью). Найдем среднее число заявок в системе L _сист и среднее число заявок в очереди L _оч. Из них легче вычислить второе, по формуле

L _оч =

выполняя соответствующие преобразования по образцу задачи 2

(с дифференцированием ряда), получим:

 

L _оч = (20.23)

 

Прибавляя к нему среднее число заявок под обслуживанием (оно же — среднее число занятых каналов) k = ρ, получим:

 

L_сист = L_оч + ρ. (20.24)

 

Деля выражения для L _оч и L _сист на λ, по формуле Литтла получим средние времена пребывания заявки в очереди и в системе:

 

(20.25)

 

А теперь решим любопытный пример. Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет собой двухканальную СМО с неограниченной очередью, устанавливающейся сразу к двум окошкам (если одно окошко освобождается, ближайший в очереди пассажир его занимает). Касса продает билеты в два пункта: А и В. Интенсивность потока заявок (пассажиров, желающих купить билет) для обоих пунктов А и В одинакова: λ_А = λ_В = 0,45 (пассажира в минуту), а в сумме они образуют общий поток заявок с интенсивностью λ_А + λ_В = 0,9. Кассир тратит на обслуживание пассажира в среднем две минуты. Опыт показывает, что у кассы скапливаются очереди, пассажиры жалуются на медленность обслуживания, Поступило рационализаторское предложение: вместо одной кассы, продающей билеты и в А и в В, создать две специализированные кассы (по одному окошку в каждой), продающие билеты одна — только в пункт А, другая — только в пункт В. Разумность этого предложения вызывает споры — кое-кто утверждает, что очереди останутся прежними. Требуется проверить полезность предложения расчетом. Так как мы умеем считать характеристики только для простейших СМО, допустим, что все потоки событий — простейшие (на качественной стороне выводов это не скажется).

Ну, что же, возьмемся за дело. Рассмотрим два варианта организации продажи билетов — существующий и предлагаемый.

Вариант I (существующий). На двухканальную СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,9; интенсивность потока обслуживании μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l,8. Так как ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р₀ ≈ 0,0525. Среднее, число заявок в очереди находим по формуле (20.23): L_оч ≈ 7,68; среднее время, проводимое заявкой в очереди (по первой из формул (20.25)), равно W _оч ≈ 8,54 (мин.).

Вариант II (предлагаемый). Надо рассмотреть две одноканальные СМО (два специализированных окошка); на каждую поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,45; μ. по-прежнему равно 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L _оч = 8,1.

Вот тебе и раз! Длина очереди, оказывается, не только не уменьшилась, а увеличилась! Может быть, уменьшилось среднее время ожидания в очереди? Посмотрим. Деля L _оч на λ = 0,45, получим W _оч≈ 18 (минут).

Вот так рационализация! Вместо того чтобы уменьшиться, и средняя длина очереди, и среднее время ожидания в ней увеличились!

Давайте попробуем догадаться, почему так произошло? Пораскинув мозгами, приходим к выводу: произошло это потому, что в первом варианте (двухканальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров: если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, он может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт В, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет: незанятый кассир просто сидит, сложа руки...

— Ну, ладно,— готов согласиться читатель,— увеличение можно объяснить, но почему оно такое существенное? Нет ли тут ошибки в расчете?

И на этот вопрос мы ответим. Ошибки нет. Дело в том, что в нашем примере обе СМО работают на пределе своих возможностей; стоит немного увеличить время обслуживания (т. е. уменьшить μ), как они уже перестанут справляться с потоком пассажиров, и очередь начнет неограниченно возрастать. А «лишние простои» кассира в каком-то смысле равносильны уменьшению его производительности μ.

Таким образом, кажущийся сначала парадоксальным (или даже просто неверным) результат вычислений оказывается на поверку правильным и объяснимым.

Такого рода парадоксальными выводами, причина которых отнюдь не очевидна, богата теория массового обслуживания. Автору самому неоднократно приходилось «удивляться» результатам расчетов, которые потом оказывались правильными.

Размышляя над последней задачей, читатель может поставить вопрос так: ведь если касса продает билеты только в один пункт, то, естественно, время обслуживания должно уменьшиться, ну, не вдвое, а хоть сколько-нибудь, а мы считали, что оно по-прежнему в среднем равно 2 (мин.). Предлагаем такому придирчивому читателю ответить на вопрос: а насколько надо его уменьшить, чтобы «рационализаторское предложение» стало выгодным? Снова мы встречаемся хотя и с элементарной, но все же задачей оптимизации. С помощью ориентировочных расчетов даже на самых простых, марковских моделях удается прояснить качественную сторону явления — как выгодно поступать, а как — невыгодно. В следующем параграфе мы познакомимся с некоторыми элементарными немарковскими моделями, которые еще расширят наши возможности.

После того, как читатель ознакомился с приемами вычисления финальных вероятностей состояний и характеристик эффективности для простейших СМО (овладел схемой гибели и размножения и формулой Литтла), ему можно предложить для самостоятельного рассмотрения еще две простейшие СМО.

4. Одноканальная СМО с ограниченной очередью. Задача отличается от задачи 2 только тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка приходит в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО не обслуженной (получает отказ).

Надо найти финальные вероятности состояний (кстати, они в этой задаче существуют при любом ρ — ведь число состояний конечно), вероятность отказа Р _отк, абсолютную пропускную способность А, вероятность того, что канал занят Р _зан, среднюю длину очереди L _оч, среднее число заявок в СМО L _сист, среднее время ожидания в очереди W _оч, среднее время пребывания заявки в СМО W _сист. При вычислении характеристик очереди можно пользоваться тем же приемом, какой мы применяли в задаче 2, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию, а конечную.

5. Замкнутая СМО с одним каналом и m источниками заявок. Для конкретности поставим задачу в следующей форме: один рабочий обслуживает т станков, каждый из которых время от времени требует наладки (исправления). Интенсивность потока требований каждого работающего станка равна λ. Если станок вышел из строя в момент, когда рабочий свободен, он сразу же поступает на обслуживание. Если он вышел из строя в момент, когда рабочий занят, он становится в очередь и ждет, пока рабочий освободится. Среднее время наладки станка t _об = 1/μ. Интенсивность потока заявок, поступающих к рабочему, зависит от того, сколько станков работает. Если работает k станков, она равна k λ. Найти финальные вероятности состояний, среднее число работающих станков и вероятность того, что рабочий будет занят.

Заметим, что и в этой СМО финальные вероятности

будут существовать при любых значениях λ и μ = 1/ t _об, так как число состояний системы конечно.