Схема гибели и размножения. Формула Литтла

1.Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения

 

Рис.19.1

решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S ₁, S ₂ ,…,S _n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний — правым и левым, а крайние состояния (S ₀, S _n) — только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности — в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событии, переводящие систему по стрелкам графа,— простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс — простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоянии), существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, в число состояний конечно). Для первого состояния S ₀ имеем:

 

(19.1)

Для второго состояния S₁:

В силу (19.1) последнее равенство приводится к виду

далее, совершенно аналогично

и вообще

где k принимает все значения от 0 до п. Итак, финальные вероятности p₀, p₁,..., р_n удовлетворяют уравнениям

 

(19.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

 

p ₀ + p ₁ + p ₂ +…+ p _n =1. (19.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (19.2)выразим p ₁ через р ₀:

 

p ₁ = p _0. (19.4)

Из второго, с учетом (19.4), получим:

 

(19.5)

• из третьего, с учетом (19.5),

 

(19.6)

и вообще, для любого k (от 1 до n):

 

(19.7)

Обратим внимание на формулу (19.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S _k), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S_k).

Таким образом, все вероятности состояний р ₀, p ₁ ,..., р _n выражены через одну из них (р ₀). Подставим эти выражения в нормировочное условие (19.3). Получим, вынося за скобку р ₀:

 

отсюда получим выражение для р ₀:

 

(19.8)

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р ₀ (см. формулы (19.4) — (19.7)). Заметим, что коэффициенты при р ₀ в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (19.8). Значит, вычисляя р ₀, мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

2. Формула Литтла. Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок L _сист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе W _сист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность λ.

Обозначим: X(t} — число заявок, прибывших в СМО до момента t. Y (t) — число заявок покинувших СМО

 

до момента t. И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X (t)) и уходов заявок (Y(t)). Вид функций X(t) и Y(t) показан на рис. 19.2; обе линии — ступенчатые, верхняя — X(t), нижняя— Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z (t) = X(t) — Y(t) есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и Y(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чертежа) и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

 

L _сист. = . (19.9) о

 

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис. 19.2. Разглядим хорошенько этот рисунок. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t₁, t₂,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

 

(19.10)

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую часть (.19.10) на длину интервала Т. Получим, с учетом (19.9),

L _сист. = . (19.11)

Разделим и умножим правую часть (19.11) на интенсивность X:

 

L _сист. = .

Но величина Тλ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время Т. Если мы разделим сумму всех времен t_i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе W _сист. Итак,

 

L _сист. = λ W _сист.,

Откуда

 

W _сист. = . (19.12)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди W _оч и среднее число заявок в очереди L _оч:

 

W _оч = . (19.13)

 

Для вывода достаточно вместо нижней линии на рис. 19.2 взять функцию U(t) — количество заявок, ушедших до момента t не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находится в ней нулевое время).

Формулы Литтла (19.12) и (19.13) играют большую роль в теории массового обслуживания. К сожалению, в большинстве существующих руководств эти формулы (доказанные в общем виде сравнительно недавно) не приводятся¹).