Игровые методы обоснования решений

Предмет и задачи теории игр

В предыдущих трех главах мы рассматривали вопросы, связанные с математическим моделированием (а иногда и оптимизацией решений), в случаях, когда условия операции содержат неопределенность, но относительно «доброкачественную», стохастическую, которая в принципе может быть учтена, если знать законы распределения (на худой конец — числовые характеристики) фигурирующих в задаче случайных факторов.

Такая неопределенность—еще «полбеды». В этой главе мы рассмотрим (по необходимости бегло) гораздо худший вид неопределенности (в § 5 мы назвали ее «дурной»), когда некоторые параметры, от которых зависит успех операции, неизвестны, и нет никаких данных, позволяющих судить о том, какие их значения более, а какие — менее вероятны. Неопределенными (в «дурном» смысле) могут быть как внешние, «объективные» условия операции, как и «субъективные» — сознательные действия противников, соперников или других лиц. Как известно, «чужая душа — потемки», и предсказывать, как себя поведут эти лица, еще труднее, чем предсказывать в области случайных явлений.

Разумеется, когда речь идет о неопределенной (в «дурном» смысле) ситуации, выводы, вытекающие из научного исследования, не могут быть ни точными, ни однозначными. Но и в этом случае количественный анализ может принести пользу при выборе решения.

Такого рода задачами занимается специальный раздел математики, носящий причудливое название «теория игр и статистических решений». В некоторых (редких) случаях разработанные в нем методы дают возможность фактически найти оптимальное решение. Гораздо чаще эти методы позволяют попросту глубже разобраться в ситуации, оценить каждое решение с различных (иногда противоречивых) точек зрения, взвесить его преимущества и недостатки и, в конце концов, принять решение, если не единственно правильное, то, по крайней мере, до конца продуманное. Нельзя забывать, что при выборе решения в условиях неопределенности неизбежен некоторый произвол и элемент риска. Недостаток информации — всегда беда, а не преимущество (хотя именно при отсутствии информации исследователь может щегольнуть наиболее тонкими математическими методами). Тем не менее, в сложной ситуации, плохо обозримой в целом, когда, как говорится, «рябит в глазах» от подробностей, всегда полезно представить варианты в такой форме, чтобы сделать произвол выбора менее грубым, а риск — по возможности минимальным. Нередко задача ставится так: какой ценой можно заплатить за недостающую информацию, чтобы за ее счет повысить эффективность операции? Заметим, что иногда для выбора решения и не требуется точной информации об условиях, а достаточно только указать «район», в котором они находятся (метод «районирования» И. Я. Динера, см. [23]).

В данной главе излагаются некоторые минимальные сведения из теории игр и статистических решений. Для более подробного ознакомления с нею можно рекомендовать работы [24—281].

Наиболее простыми из ситуаций, содержащих «дурную» неопределенность, являются так называемые конфликтные ситуации. Так называются ситуации, в которых сталкиваются интересы двух (или более) сторон, преследующих разные (иногда противоположные) цели, причем выигрыш каждой стороны зависит от того, как себя поведут другие.

Примеры конфликтных ситуаций многообразны. К ним, безусловно, принадлежит любая ситуация, складывающаяся в ходе боевых действий, ряд ситуаций в области экономики (особенно в условиях капиталистической конкуренции). Столкновение противоречащих друг другу интересов наблюдается также в судопроизводстве, в спорте, видовой борьбе. В какой-то мере противоречивыми являются также взаимоотношения различных ступеней иерархии в сложных системах. В некотором смысле «конфликтной* можно считать и ситуацию с несколькими критериями: каждый из них предъявляет к управлению свои требования и, как правило, эти требования противоречивы.

Теория игр представляет собой математическую теорию конфликтных ситуаций. Ее цель — выработка рекомендаций по разумному поведению участников конфликта.

Каждая непосредственно взятая из практики конфликтная ситуация очень сложна, и ее анализ затруднен наличием привходящих, несущественных факторов. Чтобы сделать возможным математический анализ конфликта, строится его математическая модель, Такую модель называют игрой.

От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила указывают «права и обязанности» участников, а также исход игры — выигрыш или проигрыш каждого участника в зависимости от сложившейся обстановки. Человечество издавна пользуется такими формализованными моделями конфликтов — «играми» в буквальном смысле слова (шашки, шахматы, карточные игры и т. п.). Отсюда и название «теории игр», и ее терминология: конфликтующие стороны условно называются «игроками», одно осуществление игры — «партией», исход игры — «выигрышем» или «проигрышем». Мы будем считать, что выигрыши (проигрыши) участников имеют количественное выражение (если это не так, то всегда можно им его приписать, например, в шахматах считать «выигрыш» за единицу, «проигрыш» — за минус единицу, «ничью» — за нуль).

В игре могут сталкиваться интересы двух или более участников; в первом случае игра называется «парной», во втором — «множественной». Участники множественной игры могут образовывать коалиции (постоянные или временные). Одна из задач теории игр — выявление разумных коалиций во множественной игре и правил обмена информацией между участниками. Множественная игра с двумя постоянными коалициями, естественно, обращается в парную.

Развитие игры во времени можно представлять как ряд последовательных «ходов» участников. Ходом называется выбор игроком одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы бывают личные и случайные. При личном ходе игрок сознательно выбирает и осуществляет тот или другой вариант действий (пример — любой ход в шахматах). При случайном ходе выбор осуществляется не волей игрока, а каким-то механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, вынимание карты из колоды и т. п.). Некоторые игры (так называемые «чисто азартные») состоят только из случайных ходов — ими теория игр не занимается. Ее цель — оптимизация поведения игрока в игре, где (может быть, наряду со случайными) есть личные ходы. Такие игры называются стратегическими.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Обычно, участвуя в игре, игрок не следует каким-либо жестким, «железным» правилам: выбор (решение) принимается им в ходе игры, когда он непосредственно наблюдает ситуацию. Однако теоретически дело не изменится, если предположить, что все эти решения приняты игроком заранее («если сложится такая-то ситуация, я поступлю так-то»). Это будет значить, что игрок выбрал определенную стратегию. Теперь он может и не участвовать в игре лично, а передать список правил незаинтересованному лицу (судье). Стратегия также может быть задана машине-автомату в виде программы (именно так играют в шахматы ЭВМ).

В зависимости от числа стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные». Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется в распоряжении только конечное число стратегий (в противном случае игра называется бесконечной). Бывают игры (например, шахматы), где в принципе число стратегий конечно, но так велико, что полный их перебор практически невозможен.

Оптимальной стратегией игрока называется такая, которая обеспечивает ему наилучшее положение в данной игре, т. е. максимальный выигрыш. Если игра повторяется неоднократно и содержит, кроме личных, еще и случайные ходы, оптимальная стратегия обеспечивает максимальный средний выигрыш.

Задача теории игр — выявление оптимальных стратегий игроков. Основное предположение, исходя из которого находятся оптимальные стратегии, состоит в том, что противник (в общем случае — противники) по меньшей мере так же разумен, как и сам игрок, и делает все для того, чтобы добиться своей цели. Расчет на разумного противника — лишь одна из возможных позиций в конфликте, но в теории игр именно она кладется в основу.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма выигрышей всех игроков равна нулю (т. е. каждый игрок выигрывает только за счет других). Самый простой случай — парная игра с нулевой суммой — называется антагонистической (или и г-рой со строгим соперничеством). Теория антагонистических игр — наиболее развитый раздел теории игр, с четкими рекомендациями. Ниже мы познакомимся с некоторыми ее понятиями и приемами.

Теория игр, как и всякая математическая модель, имеет свои ограничения. Одним из них является предположение о полной («идеальной») разумности противника (противников). В реальном конфликте зачастую оптимальная стратегия состоит в том, чтобы угадать, в чем противник «глуп», и воспользоваться этой глупостью в свою пользу. Схемы теории игр не включают элементов риска, неизбежно сопровождающего разумные решения в реальных конфликтах. В теории игр выявляется наиболее осторожное, «перестраховочное» поведение участников конфликта. Сознавая эти ограничения и поэтому, не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все, же разумно использовать аппарат теории игр как «совещательный» при выборе решения (подобно тому, как молодой, энергичный полководец может прислушаться к мнению умудренного опытом, осторожного старца).