Нестационарный пуассоновский поток.

Это ординарный поток без последействия, для которого в любой момент времени существует конечный параметр потока λ(t). Пусть P_i(t₀,τ) – вероятность поступления i -требований за интервал [ t₀,t₀+τ ], которая определяется формулой:

, где .

Этот параметр имеет смысл среднего числа требований на промежутке [t₀,t₀+τ]. Средняя интенсивность определяется как: .

Выбором закона изменения λ(t) можно описать реальные потоки заявок на АТС (например, отразить наличие ЧНН).

Стационарный поток без последействия.

Это неординарный (групповой) пуассоновский поток. События – моменты вызовов, представляют собой простейший пуассоновский поток с параметром λ. В каждый момент времени t_i с вероятностью p_l поступает группа из l (l = 1,2,… r) одинаковых заявок. Величина l – характеристика неординарности. Обозначим параметр a_l = λp_l. Вероятность поступления k требований в промежутке времени длиной t:

.

Суммирование в этой формуле производится по всем j, удовлетворяющим соотношению: .

Это означает, что любой неординарный пуассоновский поток можно представить как k независимых неординарных пуассоновских потоков с постоянной характеристикой неординарности l и соответствующими параметром a_l и интенсивностью la_l. Параметр неординарного потока определяется как: ,

а интенсивность такого потока: .

В качестве одного из примеров применения неординарного потока можно привести пуассоновский поток с неординарными заявками, т.е. использующим для своего обслуживания l серверов. В сотовой системе связи в том случае, когда происходит звонок с мобильного телефона на телефоны не расположенные в зоне обслуживания одной базовой станции или на телефоны городской сети, требование обслуживается одним сервером – голосовым каналом, а при осуществлении звонка на мобильный телефон, обслуживаемый одной и той же базовой станцией требуется сразу два сервера – голосовых канала. Следовательно, поток вызовов от мобильных телефонов может рассматриваться как неординарный с характеристикой неординарности равной двум.

Примитивный поток.

Это ординарный поток, параметр которого прямо пропорциона­лен числу свободных источников N_i =(N-i). Здесь N – общее число источников требований, i - число обслуживаемых в данный момент источников. Для примитивного потока параметр потока определяется как λ_i=αN_i=α(N-i) с некоторым коэффициентом α. Среднее значе­ние параметра примитивного потока: , где f_­i - вероятность того, что об­служивается i источников. Средняя интенсивность потока заявок от одного источника: .

 

Поток с повторными вызовами.

Он состоит из потока первичных запросов – пуассоновский поток и повторных запросов. Параметр общего потока равен сумме параметров первичных и повторных заявок и может быть описан как примитивный с параметром:

Здесь обозначено: i - число обслуживаемых источников, j - число источников, повторяющих запрос, α – интенсивность первичного источника, β – интенсивность источника повторного запроса. Если α ≈ ß, то потоки неразличимы. Во многих городских АТС ß >> α и можно произвести сепарацию потоков заявок по среднему времени обслуживания.

Поток с ограниченным последействием.

Это ординарный поток, промежутки между требованиями в котором, образуют последовательность взаимно-независимых случайных величин: .

Эта последовательность задается семейством функций распределения для τ_k.

Стационарный поток с запаздыванием – поток Пальма задают условной вероятностью φ₀(t) отсутствия требований в промежутке длиной t, если в начале этого промежутка было требование.

,

где λ – интенсивность потока Пальма, которая равна обратной величине к среднему промежутку времени между требованиями. При экспоненциальной функции вероятности отсутствия требований: получаем простейший поток.

Поток Эрланга

Частный случай и получается “просеиванием” потока Пальма. Если отбрасывать каждую вторую заявку – то получается поток Эрланга второго порядка, если каждую третью – третьего порядка и т.д.

Простейший пуассоновский поток можно рассматривать как поток Эрланга первого порядка. Обозначим p_n(t) плотность вероятности промежутка между заявками. Можно получить что: .

Закон распределения для потока Эрланга n-го порядка:

,

.

Нормируем масштаб времени так, чтобы параметр потока не зависел от n.

Τ_н (n)=τ(n)/n; интенсивность Λ_n

Нормированный поток Эрланга n – го порядка:

Обобщенный поток Эрланга n –го порядка.

Если τ(n) есть сумма случайных величин, каждая из которых распределена по показательному закону с параметром λ_i

,

,

, .

Поток освобождения серверов

 

Пусть x_k –длительность обслуживания k –ой заявки. При детерминированном характере обслуживания задается набор этих значений. При x = x_k время обслуживания постоянно и поток освобождения совпадает по характеристикам с потоком заявок. При случайном характере обслуживания задают вероятность того, что обслуживание займет время меньшее, чем x: .

Рис. 2, на котором показаны результаты экспериментального измерения времени занятия абонентской линии на АТС подтверждает практическую приемлемость такой аппроксимации.

Рис. 2. Гистограммы измерений длительности занятий при x = 60,3 с, s = 84,4 и разговоров при x = 81,2 с, s = 90,1

Если освободившийся сервер сразу же занимается новым обслуживанием, то отношение , где V – общее число серверов, а – среднее время обслуживания. Вероятность того, что за промежуток времени t произойдет i освобождений, будет равна:

.

В более общем случае, когда занято k серверов, вероятность освобождения i серверов за время t при показательном законе распределения времени обслуживания получим

.

Вероятность того, что не освободится ни один сервер: .

Параметр потока освобождений при занятии k серверов можно найти как предел

.

Поток освобождений ординарный и его параметр пропорционален числу занятых серверов. Коэффициент пропорциональности – величина обратная среднему времени обслуживания.

 

СРС 2 по дисциплине “Теория распределение информации»