Статистические распределения в молекулярной физике

 

Цель работы: Ознакомление с основными статистическими закономерностями идеальных газов.

Приборы и принадлежности: персональный компьютер, программа LabStat.exe

Материал для изучения: основные понятия теории вероятности (вероятность, плотность вероятности, нормировка вероятности, биноминальное распределение, распределение Гаусса), распределение Максвелла.

 

1. Теоретическое введение. Основные определения

В молекулярной физике изучается поведение систем, состоящих из большого числа частиц. Обычно в 1см³ твердого тела содержится 10²² -10²³ атомов. Уравнения классической механики не могут быть использованы для описания таких систем, т.к. это требует решения системы дифференциальных уравнений , количество уравнений при этом совпадает с числом частиц в системе. Очевидно, что такая система уравнений не может быть решена для реальных систем, поэтому чаще всего для описания используется вероятностный подход, изучаемый статистической физикой.

Вероятность

В соответствии вероятностным подходом некоторые физические величины, характеризующие конкретные частицы (такие как координаты, импульс, энергию), имеют случайные значения. Такие величины в теории вероятностей называют случайными.

Случайная величина – величина, значение которой нельзя предсказать заранее.

Для описания случайных величин вводится понятие вероятности, которое мы обсудим на примере молекулы, находящейся в объеме V (рис.1). Пусть частица случайным образом блуждает в объеме V, и выйти за пределы этой области не может. Предположим, что мы проводим N _ex экспериментов, результатом, которых является проверка наличия одной частицы в объеме V ₁. Если из всех N _ex экспериментов N ₁, соответствует такому событию, тогда по определению вероятностью называется величина P (V ₁):

(1)

Если случайная величина может принимать дискретный набор значений, то ее характеризуют набором вероятностей всех возможных событий , называемым распределением вероятностей.

Обсудим одно из важнейших свойств распределения вероятностей, на примере блуждающей частицы в объеме V. Если в пределах объема V выделить несколько непересекающихся элементов объема V_i, тогда можно ввести вероятности попадания в каждый из них P_i по аналогии с (1)

(1a)

Если , тогда очевидно, что , а для вероятностей выполняется условие нормировки:

(2)

Характер распределения вероятностей обычно зависит от свойств самой системы. Эту связь можно продемонстрировать на примере блуждания частицы в объеме V, разделенном на элементы объема V_i. Если предположить, что все возможные расположения частиц в системе являются равноправными, то вероятности p_i должны быть пропорциональны соответствующему объему , где A – константа, определяемая из условия нормировки (2):

,

Из этого следует, что вероятность

. (3)

Во многих случаях приходится работать со случайными величинами, которые могут принимать непрерывные значения (например, координаты частиц). В этом случае распределение вероятностей записывается с помощью функции называемой плотностью вероятности f (x), которая устанавливает связь между вероятностью и интервалом изменения случайной величины. Вероятность такого события, что случайная величина x лежит в пределах (x ₀, x ₀+ dx) определяется формулой:

(4)

Вероятность того, что случайная величина x лежит в пределах от x ₁ до x ₂ определяется интегралом:

, (5)

Условие нормировки (2) для случая непрерывного изменения случайной величины x переписывается в виде

, (6)

где интегрирование ведется по всей области определения случайной величины .

 

Независимые события

Определим вероятность события, когда в одном из измерений частица попадает в объем , а при другом измерении частица попадает в другой объем . Вероятность такого события определяется теоремой об умножении вероятностей:

(7)

В случае непрерывных случайных величин x и y плотность вероятности определяется произведением функций плотности вероятности для каждой из случайных величин ():

(8)

 

Биноминальное распределение

Рассмотрим систему объемом V, в которой находится N частиц. Определим вероятность события, в соответствии с которым ровно m частиц попадают в объем V ₁.

Вероятность того, что m частиц попали в объем V ₁, в соответствии с (3) и (7):

(9)

 

При этом остальные частиц должны попасть в объем . Вероятность этого события:

(10)

Следует учесть, что все частицы в системе одинаковы и обладают идентичными свойствами (неразличимы). Это означает, что m частиц могут быть выбраны из полного числа N произвольным образом. Количество способов выбрать m частиц из полного набора N задается формулой:

(11)

Таким образом, пользуясь теоремой об умножении вероятностей (7) и соотношениями (9-11) получим выражение для вероятности :

(12)

Выражение (12) называется биноминальным распределением. С помощью бинома Ньютона для распределения (12) может быть легко проверено выполнение условия нормировки (2)

(13)

где использовано определение .