Упражнение 1 Определение вероятности равновероятных событий

Для проведения эксперимента выбираем кнопку «Упражнение 1». Программа моделирует 1000 бросков кубика и в диалоговом окне выводит количество событий связанных с выпадением различных граней кубика 1 – 6 (рис. 5). Результаты записываются в таблицу №1.

Таблица 1 Определение вероятности выпадения граней кубика

Номер грани
Количество событий
Вероятность, отн.ед.

 

Результаты представить в виде гистограммы. Требуется убедиться в том, что вероятности выпадения граней кубика одинаковы и примерно составляют 1/6. Провести проверку условия нормировки вероятностей.

Рисунок 5 Окно выполнения упражнения 1

Рисунок 6 Окно выполнения упражнения 2

Упражнение 2 Блуждание частиц в замкнутом объеме

Для проведения численного эксперимента выбираем в программе LabStat.exe кнопку «Упражнение 2». С помощью программы производится моделирование случайного блуждания 1000 частиц в объеме из 10000 ячеек. Программа производит 10000 итераций (случайных перемещений частиц внутри системы) и выводит на экран количество частиц попавших в каждый из элементов объема, состоящих из V₁ = 400, V₂ = 1600 и V₃ =8900 (V₃ = V - V₁ - V₂) ячеек. Необходимо произвести 100000 перемещений, при этом через каждые 10000 итераций определяем распределение числа частиц в системе и заносим в таблицу.

Таблица 2 Вероятность попадания частицы в элемент объема

№	N 1	N 2	N 3
1.
…
10.

После выполнения расчетов заносим сведения в таблицу и определяем вероятность p_i попадания в объем V_i. Для этого необходимо рассчитать среднее значение вероятности , среднеквадратичное отклонение . В графе поместить результат в виде

,

где - коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности a=0,95 и n =10.

Проверьте выполнимость условия нормировки для величин в пределах погрешностей. Определенные «экспериментальными методами» значения вероятностей , нужно сопоставить с вероятностями определенными с помощью соотношений объемов .

 

Упражнение 3

В данном упражнении проводится моделирование процесса блуждания частиц в пространстве скоростей, которое принципиально ничем не отличается от блуждания в пространстве координат.

1. Для моделирования нажмите кнопку «Упражнение 3» в программе LabStat.exe. Для осуществления расчетов распределения Максвелла (или их повтора) необходимо нажать кнопку «Пересчитать». Установить температуру, для которой осуществляется моделирование, можно нажав кнопку «Температура». Результаты расчетов выводятся в диалоговом окне, представленном на рис.7. В левой части окна представлено количество частиц имеющих различные значения проекции скорости v_x. В правой части указаны количества частиц, имеющих различные значения модуля скорости v.

Расчеты с помощью программы LabStat.exe необходимо провести для одной или нескольких температур, указанных преподавателем. Для каждой из температур необходимо провести не менее 3-х попыток перерасчета. Результаты перерасчета необходимо занести в табл. 3 и 4.

Таблица 3 Результаты моделирования распределения по проекции скорости

№	vx, отн.ед.	Ni	<Ni>		, отн.ед.
1	2	3
	[-10, -9)						90,25
	[-9, -8)						72,25
…
	[8, 9]						72,25

 

 

Таблица 4 Результаты моделирования распределения по модулю скорости.

№	v, отн.ед.	Ni	<Ni>		, отн.ед.	, отн.ед.
1	2	3
	[0, 1]						0,25
	[1, 2]						2,25
…
	[19, 20]						380,25

 

Рисунок 7 Окно выполнения упражнения 3

 

2. С помощью результатов, полученных при обработке расчетных данных (табл.3 и 4), необходимо построить гистограммы распределения вероятностей в зависимости от значения проекции скорости v_x и модуля скорости v для рассмотренных температур.

3. С помощью результатов, полученных при обработке расчетных данных (табл.3 и 4), необходимо построить графики зависимостей от и от . Линейность этих зависимостей позволяет подтвердить справедливость распределения Максвелла для рассмотренной системы. Сравните между собой коэффициенты наклона для этих двух линейных зависимостей.

4. Если расчеты проводились для нескольких температур, то необходимо сделать выводы относительно изменения распределений в зависимости от температуры и убедиться в линейности поведения дисперсии от температуры.

4. Контрольные вопросы

1. Дайте определение понятий: вероятность, распределение вероятности и плотность вероятности? В чем состоит условие нормировки?

2. Получите на примере физической системы биноминальное распределение. Вычислите среднее значение и среднеквадратичное отклонение для биноминального распределения.

3. Докажите, что средняя кинетическая энергия молекул идеального газа не зависит от массы молекул.

4. Получите на примере физической системы распределение Максвелла по проекциям и модулю скорости. Вычислите среднее квадратичное значение модуля скорости.

5. Что характеризуют среднеквадратичное значение скорости и наиболее вероятная скорость движения частиц идеального газа?

 

Погрешности результатов измерений физических величин

1. Основные определения.

Прямыми измерениями называют такие измерения, при которых с помощью эталонного прибора измеряют непосредственно исследуемую величину X (например, прямым измерением является измерение длины при помощи линейки).

Косвенными измерениями называют такие измерения, при которых искомое значение величины находится на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми прямыми измерениями (например, косвенным измерением является измерение плотности тела по результатам прямых измерений его массы и объема).

Абсолютная погрешность DX измерения – это разность между измеренным (X_изм) и истинным значением (X_ист) измеряемой величины:

(1)

Относительная погрешность измерения d равна отношению абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины:

(2)

Истинное значение измеряемой величины X_ист экспериментатору не известно. Наиболее близко к истинному значению лежит среднее значение измеряемой величины, определяемой по формуле

, (3)

где X_i – значение измеряемой величины в i -ом измерении, n – число измерений. Оценку абсолютной погрешности i -го измерения можно найти по формуле

(4)

Систематическая погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при измерениях. Она может быть вызвана неточностью метода измерения, погрешностями приборов и другими причинами.

Случайная погрешность измерения – это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом (даже при повторных прямых измерениях).