Тема 1. Предмет логики и её значение

Тема 1. Предмет логики и её значение

 

 

1.1. Фундаментальные логические понятия: отношение логического следования, истина, правильность.

Слово «Логика» в русском языке, как и в других, многозначно. Оно происходит от греческого logoV. В древнегреческо-русском словаре список его возможных переводов занимает полторы страницы энциклопедического формата, среди них: речь, слово, предложение, суждение, понятие, закон, правило, сущность, мысль и многое другое. Отсюда и многозначность производного «логика». Люди, никогда не изучавшие логики, считают, что они в состоянии выносить оценки «логично», «нелогично». Под логикой может подразумеваться связность рассуждения (не вижу логики!), какая-либо закономерность (такова логика футбола: не забиваешь ты - забьют тебе), обоснованность рассуждений и поступков (какая логика заставляет его делать это?) и многое другое. Вместе с тем есть очень древняя наука, которая именно так и называется. Её содержание, хотя и испытывало модификации на протяжении тысячелетий своего существования, остаётся тем не менее достаточно четко ограниченным. Приведенные выше словоупотребления не изучаются логикой непосредственно (изучивший логику не станет специалистом по логике футбола, логике предвыборных кампаний etc., не сможет легко разбираться в основаниях и причинах всего, что угодно), тем не менее нельзя сказать, что все эти выражения не имеют никакого отношения к логике. Только не надо думать, что все это непосредственно изучается наукой по имени «логика», и что изучивший её овладеет универсальной отмычкой для решения любых проблем.

Тема 2. Логика высказываний

 

 

2.1. Высказывание, суждение, предложение.

Предложение - языковое средство выражения высказывания. Одно и то же высказывание может быть выражено разными предложениями. Например, предложение русского языка «знание - сила» выражает то же самое высказывание, что и английское предложение «Knowledge is power» или латинское «Scientia potentia est».

Суждение - психический акт признания или непризнания истинности высказывания (его утверждения или отбрасывания). Заметим, что в традиционной логике термин «суждение», как правило, использовался и в том смысле, который ныне выражается термином «высказывание». При этом многие авторы вынуждены были оговаривать различие между суждением в логическом смысле и суждением в психологическом смысле, и это различение не всегда выдерживалось достаточно последовательно.

Высказывание - это смысл предложения, который может быть оценен как истинный или ложный.

Результаты наших разъяснений можно проиллюстрировать следующей диаграммой (рис.2.1. и 2.2): языковые единицы могут указывать либо на субъективную сферу (мы выражаем наши мысли, при этом утверждая либо отвергая их), либо на объективное содержание наших мыслей. Рис.2.2 представляет конкретизацию диаграммы на рис.2.1 на случай высказываний.

 

язык объективная предложение высказывание

сфера

субъектив- суждение

ная сфера

 

 

Рис.2.1. Рис.2.2.

 

Высказывание выражается не всяким предложением, но только повествовательным. Только такие предложения несут сообщения, которые могут быть оценены как истинные либо ложные. Не выражают высказываний восклицательные, вопросительные предложения. Кроме того, высказываний не содержат так называемые перформативы. Это широкий класс предложений, которые представляют собой действие. К ним относятся обещания, приказы, объявления (наподобие «Объявляю вас мужем и женой» или «Объявляю вам войну») и т.п.

Высказывание имеет структуру, но некоторые типы рассуждений можно описать, не принимая её во внимание. Нас будет интересовать лишь одно свойство высказывания - его истинность или ложность. Общим именем для истины и лжи является термин «истинностное значение». Если ни одна часть высказывания не является высказыванием, то оно называется простым. Простое высказывание называют также атомарным (от греч. atomoV - неделимый), тем самым подчеркивая, что внутренняя структура высказывания не принимается во внимание. Эти атомарные высказывания можно соединять друг с другом разными способами с помощью различных логических связок (их могут называть также логическими союзами, операторами, функциями). Различные связки задают разные виды сложных высказываний.

Рассмотри основные логические связки.

1. Конъюнкция - логическое «и» - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно каждое из составляющих его простых. С помощью этой связки образуются конъюнктивные, или соединительные высказывания. В русском языке конъюнкция обычно выражается союзами «и», «а», «но», «не только..., но и...» «несмотря на то что» и др. Примеры: клевета и оскорбление - преступления против личности; подсудимый приговорен к лишению свободы и конфискации имущества.

Для определения логических связок используют так называемые таблицы истинности, или истинностные таблицы. Таблица истинности состоит из трех столбцов: двух входных и одного выходного (или результирующего). Во входных столбцах перебираются все возможные комбинации истинностных значений простых высказываний. Здесь и далее простые высказывания будем обозначать буквами латинского алфавита p, q, r и т.д., возможно с индексами. В выходном столбце указывается истинностное значение сложного высказывания, полученного в результате применения соответствующей связки к исходным простым высказываниям. Так, в приводимой ниже таблице для конъюнкции выходной столбец для p&q (читается «р и q») содержит значение «и» (Истина) в первой строке, где оба простых высказывания тоже имеют значение «и». Во всех остальных строках выходного столбца содержится значение «л» (Ложь)

 

p	q	p&q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

 

Заметим, что знак & не является просто заменителем союза русского языка «и». Во-первых, эта логическая связь может выражаться и другими средствами языка. Во-вторых, не всегда союз «и» естественного языка выражает конъюнктивную связь. Например, в предложении «Бологое находится между Петербургом и Москвой» союз «и» не выражает конъюнкции.

2. Дизъюнкция слабая (нестрогая, неисключающая) - логическое «и/или» – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его простых. С помощью этой связки образуются дизъюнктивные, или разделительные высказывания. В русском языке дизъюнкция обычно выражается союзом «или». Пример: чтобы подготовиться к семинару, надо прочитать конспект или учебник.

 

p	q	pÚq
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

 

Слабая дизъюнкция будет ложной лишь в том случае, если все входящие в неё простые высказывания являются ложными. Так, высказывание «кенгуру обитают в России или в Бразилии» будет ложным, но «кенгуру обитают в России или в Австралии» - истинным

3. Дизъюнкция сильная (строгая, исключающая) - логическое «исключающее или» - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ровно одно из входящих в него простых высказываний. В русском языке обычно выражается союзом «либо..., либо...». Пример: со щитом либо на щите.

 

p	q	р q
и	и	л
и	л	и
л	и	и
л	л	л

 

Строгая дизъюнкция отличается от слабой тем, что она будет ложной, когда оба входящие в неё простые высказывания истинны. Так, если в приведенном выше примере простые высказывания «для того чтобы подготовиться к семинару, надо прочитать учебник» и «для того чтобы подготовиться к семинару, надо прочитать конспект» соединить строгой дизъюнкцией, то мы получим сложное высказывание, которое имеет истинностное значение «Ложь»; если же мы соединим их слабой дизъюнкцией, то получим истинное сложное высказывание.

Заметим, что все описанные до сих пор связки имеют свойство коммутативности: соединяемые ими высказывания можно менять местами, не вызывая изменения истинностного значения соответствующего сложного высказывания. p&q имеет такое же значение, как q&p, pÚq – такое же, как qÚp. Следующая связка не имеет такого свойства.

4. Импликация - логическое «если..., то...». С помощью этой связки получают импликативные, или условные высказывания. В отличие от введенных выше, это некоммутативная связка, поэтому каждой её части присвоено свое название. В выражении «если p, то q» высказывание, обозначаемое «p», называется антецедентом (основанием), а высказывание, обозначаемое «q», называется консеквентом (следствием). Импликацией называется такое сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент истинен, а консеквент ложен.

 

p	q	p É q
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

 

5. Обратная импликация (иногда её называют «репликация») – «p, если q» или «только если p, то q». Это сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент ложен, а консеквент истинен.

 

p	q	p Ì q
и	и	и
и	л	и
л	и	л
л	л	и

 

6. Эквиваленция – союз «если и только если …, то…» - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения составляющих его простых высказываний совпадают. Эта связка, выраженная словами «тогда и только тогда, когда», использовалась во всех только что приведенных определениях.

 

 

p	q	p«q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

 

Вообще говоря, всего с помощью механического комбинирования можно задать 16 таких связок, но одни из них будут не особенно полезными (когда выходной столбец содержит только значения «и» или только значения «л» либо когда выходной столбец совпадает с одним из входных), а другие - легко сводимыми к тем связкам, которые только что нами определены. Кроме того, именно эти связки наиболее употребимы в практических рассуждениях.

Все перечисленные выше связки являются бинарными, то есть они применяются к двум высказываниям. Есть также одна унарная связка - упомянутая выше сводимость связок друг к другу невозможна без неё.

7. Отрицание.

 

p	Øр
и	л
л	и

 

Полученные с помощью таких связок сложные суждения можно снова соединять связками и получать более сложные высказывания без каких-либо ограничений, например: «Если кто-либо препятствует деятельности религиозных организаций или совершению религиозных обрядов, то он наказывается штрафом, либо исправительными работами, либо арестом» (ст.148 УК). Формальная запись этого высказывания:

(p₁Úp₂) É (q₁ q₂ q₃)

 

2.2. Язык логики высказываний.

Теперь можно построить язык логики высказываний. Формализованный язык имеет два компонента: синтаксис и семантику.

Синтаксис исследует связи между знаками некоторого языка, правила их комбинирования.

Семантика исследует отношения между знаками и тем, что ими обозначается. Проще говоря, семантика - это описание смысла используемых в языке знаков. Приведя выше табличные определения логических союзов, мы сделали не что иное, как описали семантику языка логики высказываний.

Для задания синтаксиса требуется, во-первых, задать алфавит языка, т.е. список базисных (или примитивных) символов и, во-вторых, правила их комбинирования, которые позволяют отличать правильно построенные выражения от бессмысленных. Последнее представляет собой определение правильно построенного высказывания (ППВ).

I. Алфавит:

- p,q,r...,p₁,q₁,r₁... - символы для обозначения высказываний (пропозициональные переменные);

- И, Л - пропозициональные константы, или собственные имена истины и лжи;

- &, Ú,, É, Ì, «, Ø - символы логических операций (логические константы);

-),(- скобки (вспомогательные знаки).

 

II. Определение ППВ:

1. Пропозициональная переменная (атом) и пропозициональная константа есть ППВ.

2. Если А - ППВ, то Ø А - тоже ППВ.

3. Если А и В - ППВ, то А&В, АÚВ, АÉВ, АÌВ А«В, А В – тоже правильно построенные высказывания.

4. Других ППВ, кроме перечисленных в пунктах 1 - 3, в языке нет.

 

Несложно убедиться в том, что, в соответствии с приведенными пунктами, правильно построенными высказываниями будут следующие: q, Øq, p&Øq, r É (p&Øq), (rÉp) & Øq.

В качестве примера неправильно построенных высказываний можно привести такие: pØ, &q, pØ&q, p(rÚq)

 

С помощью таблиц истинности можно анализировать сколь угодно сложные высказывания. Например:

(p Ú Ø(r &q)) É r).

Поскольку в данном высказывании содержится три переменных: p, q, и r, его истинностная таблица должна содержать три входных столбца и восемь строк – ровно столько, сколько существует переборов истинностных значений для трех высказываний. Прежде чем получить выходной столбец требуется построить промежуточные столбцы. В данном примере это столбцы с четвертого по шестой.

 

 

p	q	r	r &q	Ø(r &q)	p Ú Ø(r &q)	(p Ú Ø(r &q)) É r]
и	и	и	и	л	и	и
и	и	л	л	и	и	л
и	л	и	л	и	и	и
и	л	л	л	и	и	л
л	и	и	и	л	л	и
л	и	л	л	и	и	л
л	л	и	л	и	и	и
л	л	л	л	и	и	л

 

 

2.3. Классификация формул логики высказываний, процедура разрешения.

Все высказывания, которые можно образовать из простых с помощью логических связок, можно поделить на три класса:

- общезначимые (другие названия: тождественно-истинные, всегда-истинные, тавтологии) - имеют значение «и» независимо от значений входящих в неё переменных. Например, Ø(р&Øр);

- нейтральные (промежуточные, выполнимые) - при одних наборах значений переменных они истинны, а при других – ложны;

- тождественно-ложные - ложны при любых значениях входящих в них переменных. Например, р&Øр

Безусловно, наибольший интерес представляют собой общезначимые формулы, ибо они представляют собой законы логики. Тогда рассуждение можно было бы представить формулой; общезначимость формулы будет означать правильность рассуждения. Поэтому важное значение в логике имеет т.н. процедура разрешения, то есть способ установления, к какому из трех указанных видов относится данное высказывание. В логике высказываний имеется простая процедура разрешения, которая состоит в построении таблицы истинности для данного высказывания. Если выходной столбец во всех строках содержит значения «Истина», то соответствующее данной таблице высказывание является общезначимым; если во всех строках выходного столбца содержится значение «Ложь», соответствующее высказывание является тождественно-ложным. Наконец, если в одних строках выходного столбца содержится значение «Истина», а в других «Ложь», то высказывание является нейтральным.

Например, попытаемся определить, каким является следующее высказывание: ((p É q) É р) É р.

Его истинностная таблица такова:

 

p	q	p É q	(p É q) É р	((p É q) É р) É р
и	и	и	и	и
и	л	л	и	и
л	и	и	л	и
л	л	и	л	и

 

В выходном столбце содержатся только значения «Истина», следовательно, это высказывание является общезначимым (заметим, что это высказывание называется «закон Пирса»). Поскольку для любого правильно построенного высказывания мы можем построить истинностную таблицу, то в лице последней мы имеем эффективную разрешающую процедуру.

 

2.4. Отношение равносильности.

Два сложных высказывания равносильны, если их истинностные значения совпадают, каковы бы ни были значения входящих в них простых высказываний. Равносильность двух высказываний легко установить по таблице истинности, а именно: два сложных высказывания равносильны, если их выходные столбцы совпадают. Например, равносильны сложные высказывания pÉq и ØpÚq.

 

р	q	pÉq	Øp	ØpÚq
и	и	и	л	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	и	и

 

Тот факт, что эти высказывания равносильны, записывается так:

p É q Û Øp Ú q.

Знание основных равносильностей имеет важное значение, ибо с помощью равносильности можно осуществлять переход от одного слодного высказывания к другому, т.е. осуществлять правильное рассуждение. Отношение равносильности - более сильное, чем отношение следования, поэтому оно разрешает меньше правильных рассуждений, чем последнее.

 

Некоторые фундаментальные равносильности:

 

1. Законы идемпотентности (сокращения):

1.1. p&p Û p.

1.2. pÚp Û p.

2. Законы коммутативности:

2.1. p&q Û q&p.

2.2. pÚq Û qÚp.

3. Законы асциативности:

3.1. (pÚq) Ú r Û p Ú (qÚr).

3.2. (p&q) & r Û p & (q&r).

Предлагается самостоятельно установить, справедливы ли законы идемпотентности, коммутативности и ассоциативности для остальных связок.

Равносильности, выражающие взаимодействие логических связок и пропозициональных констант:

4.1. p & И Û р.

4.2. р & Л Û Л.

5.1. р Ú И Û И.

5.2. р Ú Л Û р.

6.1. И É p Û р.

6.2. Л É p Û И.

6.3. p É И Û И.

6.4. р É Л Û Øр.

Предлагается самостоятельно установить, чему равносильны соединения пропозициональных констант и пропозициональных переменных с помощью остальных связок.

Законы дистрибутивности:

7.1. p & (qÚr) Û (p&q) Ú (p&r).

7.2. p Ú (q&r) Û (pÚq) & (pÚr).

Законы поглощения:

8.1. р & (рÚq) Û p.

8.2. p Ú (p&q) Û p.

Равносильности, позволяющие выражать связки друг через друга:

9. p Ú q Û Øp É q.

10. pÉq Û ØpÚq.

11. p É q Û Ø(p & Øq).

Эти равносильности позволяют более отчетливо понять свойства и взаимозависимость различных связок. Так, согласно этим равносильностям, мысль, выражаемую высказыванием «кто с мечом к нам придет, тот от меча и погибнет», можно выразить в форме импликации: «если кто-то придет к нам с мечом, то он погибнет от меча»; в форме дизъюнкции: «не приходи к нам с мечом или погибнешь от меча»; и в форме конъюнкции: «неверно, что кто-либо придёт к нам с мечом и при этом не погибнет от меча».

12. p«q Û (pÉq) & (qÉp)

Действительно, эквиваленция, выражаемая союзом «если и только если», утверждает одновременное выполнение импликации (если) и репликации (только если).

13. p q Û (pÚq) & (ØpÚØq)

Законы Де Моргана:

14.1. Ø(p&q) Û ØpÚØq

14.2. Ø(pÚq) Û Øp&Øq

На первый взгляд может показаться, что Ø(p&q) должно быть равносильно Øp&Øq. Однако по таблице истинности для обоих высказываний не сложно убедиться, что это не так. Действительно, например, отрицая, что данное число делится на 3 и оно делится на 5, мы не утверждаем тем самым, что это число не делится ни на 3, ни на 5, но только, что данное число не делится на 3 или оно не делится на 5. Аналогично по таблице истинности не сложно убедиться, что отрицание дизъюнкции не равносильно дизъюнкции отрицаний: Ø(pÚq) не равносильно ØpÚØq. Например, высказывание «ни сна, ни отдыха измученной душе» выражает конъюнкцию двух отрицаний: неверно, что измученная душа спит, и неверно, что измученная душа отдыхает. Это равносильно отрицанию того, что измученная душа имеет хотя бы одно из двух указанных свойств

Закон контрапозиции:

15. p É q Û Øq É Øp. Например, высказывание «если число делится на 9, то оно делится на 3» равносильно высказыванию «если число не делится на 3, то оно не делится на 9».

Согласно контрапозиции высказывание «кто не с нами, тот против нас» равносильно более миролюбивому утверждению «кто не против нас, тот с нами».

2.5. Понятие нормальной формы.

Знание законов равносильности позволяет решать обширный класс задач. Здесь рассмотрим лишь одно применение – в качестве разрешающей процедуры. Заменяя одно сложное высказывание другим или заменяя часть высказывания другим высказыванием, равносильным этой части, мы будем получать высказывание, равносильное исходному. Эти действия называются равносильными преобразованиями. Пользуясь ими, всякое высказывание можно привести к нормальной форме.

Пусть a - простое высказывание либо его отрицание.

Элементарной дизъюнкцией называется высказывание вида

a₁ Ú a₂ Ú … Ú a_n.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) – это конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Элементарной конъюнкцией называется высказывание вида

a₁ & a₂ & … & a_n.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – это дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Элементарная дизъюнкция является истинной, если она содержит высказывание и его отрицание. Поэтому высказывание является общезначимым, если его конъюнктивная нормальная форма содержит только истинные элементарные дизъюнкции.

Элементарная конъюнкция является ложной, если она содержит высказывание и его отрицание. Поэтому высказывание является противоречивым, если его дизъюнктивная нормальная форма содержит только ложные элементарные конъюнкции.

 

До сих пор мы, по сути, исследовали только язык логики высказываний. Для того чтобы получить логическую теорию, на основе этого языка требуется построить исчисление. Последнее представляет собой способ получения всех законов логики с помощью формальных преобразований. Существуют два основных способа построения исчислений: аксиоматический (исчисления Гильбертовского типа) и натуральный (исчисления Генценовского типа).

 

2.6. Отношение логического следования.

Общее определение отношения логического следования было дано в теме 1. Теперь мы можем уточнить его для языка логики высказываний.

Простейший способ установления того, является ли данное высказывание следствием некоторых других дают истинностные таблицы. Если некоторое высказывание истинно во всех тех столбцах, в которых истинны все посылки, то оно является логическим следствием этих посылок. Если же хотя бы в одном случае, когда все посылки истинны, данное высказывание является ложным, это высказывание не является их логическим следствием. Те случаи, когда хотя бы одна из посылок является ложной, не учитываются.

Покажем, что импликация является логическим следствием из эквиваленции. Для этого вспомним, как выглядят их истинностные таблицы:

 

А	В	А «В	А É В
и	и	и	и
и	л	л	и
л	и	л	л
л	л	и	и

 

Эквиваленция является истинной в двух случаях – тех, которые соответствуют 1-й и 4-й строкам. Что в этих случаях происходит с импликацией? Нетрудно заметить, что она тоже истинна. Таким образом всегда, когда истинна эквиваленция двух высказываний, их импликация тоже истинна. Это значит, что А É В логически следует из А «В. Поэтому мы вправе записать: А «В ú= А É В

Покажем также, что из отрицания конъюнкции не следует строгая дизъюнкция.

 

А	В	А & В	Ø(A & B)	А «В
и	и	и	л	л
и	л	л	и	и
л	и	л	и	и
л	л	л	и	л

 

Отрицание конъюнкции истинно в трёх случаях, соответствующих 2-й, 3-й и 4-й строкам. Строгая же дизъюнкция также истинна во 2-й и 3-й строках, однако ложна в 4-й строке. Поэтому истинность антиконъюнкции двух высказываний не всегда гарантирует истинность строгой дизъюнкции тех же высказываний. Следовательно, А «В не является логическим следствием из Ø(A & B).

Как правило, рассуждение содержит более чем одну посылку. Как проверить, следует ли в подобных случаях заключение из посылок? Покажем это на примере следующего рассуждения.

Если в документе отсутствуют подпись и печать, то он не является действительным. В этом документе есть подпись, но нет печати. Следовательно, он действителен.

Обозначим через р высказывание «в документе есть подпись», q – «в документе есть печать», r – документ действителен. Тогда имеем следующую схему рассуждения:

 

(Øp & Øq) É Ør

p & Øq.

r

Построим таблицу истинности для посылок и заключения:

 

p	q	r	Øp	Øq	Ør	Øp & Øq	(Øp & Øq) É Ør	p & Øq
и	и	и	л	л	л	л	и	л
и	и	л	л	л	и	л	и	л
и	л	и	л	и	л	л	и	и
и	л	л	л	и	и	л	и	и
л	и	и	и	л	л	л	и	л
л	и	л	и	л	и	л	и	л
л	л	и	и	и	л	и	л	л
л	л	л	и	и	и	и	и	л

 

Обе посылки могут быть одновременно истинными в двух случаях, соответствующих 3-й и 4-й строкам. Что касается заключения r, то в 3-й строке оно истинно, но в 4-й ложно. Поэтому заключение r не является логическим следствием из посылок (Øp & Øq) É Ør и p & Øq. Это означает, что в рассматриваемом примере нельзя вывести заключение о действительности документа. В формальной записи:

{(Øp & Øq) É Ør, p & Øq } ú¹ r

 

2.6. Умозаключения логики высказываний.

Умозаключение – элементарный шаг рассуждения. Существуют разные виды умозаключений, которые изучаются различными разделами логики. Здесь мы рассмотрим умозаключения, которые можно исследовать в рамках языка логики высказываний. Исторически начало формализации этого типа рассуждений положил Хрисипп. Конечно, он не пользовался современной символикой. Ему повезло меньше, чем Аристотелю. Школа стоиков, к которой он принадлежал, впоследствии сосредоточилась на этических проблемах. Труды Хрисиппа не сохранились, и долгое время логика стоиков находилась в тени логики Аристотеля; интерес к Хрисиппу пробудился в ХХ в., когда логика высказываний стала интенсивно развивающейся областью науки.

 

Силлогимы Хрисиппа:

 

А. Условные силлогизмы. Название объясняется тем, что одна из посылок является условным (импликативным) высказыванием

 

1) Modus ponens (утверждающий модус)

правильный: неправильный:

 

А É В А É В

А В.

В А

 

Или в строчной записи: {А É В, А} ú= В; {А É В, В} ú¹ А

Удостоверимся, что слева действительно приводится правильная схема умозаключения, в то время как справа – неправильная. Для этого требуется построить истинностную таблицу

 

А	В	А É В	(А É В) & A	(А É В) & B
и	и	и	и	и
и	л	л	л	л
л	и	и	л	и
л	л	и	л	л

 

Схема умозаключения является правильной, если высказывание, являющееся заключением, логически следует из конъюнкции посылок. Поэтому, чтобы удостовериться в справедливости первой схемы, обратим внимание на 4-й столбец, который содержит значения конъюнкции посылок А É В и А, и 2-й столбец, содержащий значения заключения В. Конъюнкция посылок будет истинной только в 1-й строке, поэтому достаточно проверить значение В только в этой строке. Мы видим, что там оно имеет значение «и». Таким образом, истинность посылок А É В и А всегда гарантирует истинность заключения В.

Что касается второй схемы, то здесь мы должны обратить внимание на 5-й столбец, содержащий конъюнкцию посылок А É В и В, и 1-й столбец, содержащий заключение А. Конъюнкция посылок является истинной в 1-й и 3-й строках. Что касается предполагаемого заключения, то в первой строке оно действительно имеет значение «и», однако в 3-й строке её значением является «л». Стало быть, не всегда, когда посылки А É В и В являются истинными, заключение А тоже будет истинным. Поэтому оно не является логическим следствием этих двух высказываний, и соответствующая схема умозаключения не может быть принята в качестве приемлемой.

 

2) Modus tollens (отрицающий модус)

правильный: неправильный:

 

А É В А É В

ØВ ØА.

ØА ØВ

 

Умозаключение, как мы помним, является правильным, если оно удовлетворяет отношению логического следования. В том, что приведенные нами схемы рассуждений действительно являются правильными либо неправильными, несложно убедиться по таблицам истинности. Предлагается сделать это самостоятельно.

Корректность рассуждений по схемам условных силлогизмов можно подытожить двумя парами правил - парой разрешающих и парой запрещающих.

Разрешающие. а) Из утверждения антецедента (основания) можно выводить утверждение консеквента (следствия); б) из отрицания консеквента можно выводить отрицание антецедента.

Запрещающие. а) Из отрицания антецедента (основания) нельзя выводить отрицание консеквента (следствия); б) из утверждения консеквента нельзя выводить утверждение антецедента.

 

Рассмотренные модусы условного силлогизма квалифицируют как модусы условно-категорического силлогизма, поскольку одна посылка представляет собой условное высказывание, а вторая – простое (в традиционной терминологии, сложившейся к концу XVIII в., оно именовалось категорическим). Существует также чисто условный силлогизм (который, строго говоря, не является Хрисипповым), в котором обе посылки являются условными высказываниями. Его схема такова:

 

А É В

В É С

А É С

 

В. Дизъюнктивные (разделительные) силлогизмы. Они получили такое название, потому что одна из посылок является дизъюнктивным (разделительным) высказыванием.

1) Modus tollendo ponens (отрицающе-утверждающий модус).

 

А или В

ØА.

В

 

2) Modus ponendo tollens (утверждающе-отрицающий модус).

 

А или В

А.

ØВ

 

Заметим, что первый модус верен для любого вида дизъюнкции, но второй - только для строгой. Предлагается удостовериться в том, что это действительно так, самостоятельно. Для этого надо, пользуясь табличным методом, проверить, является ли заключение логическим следствием из посылок сначала для случая, когда в первой посылке «или» понимается как слабая дизъюнкция, затем – для случая строгой дизъюнкции.

 

С. Конъюнктивный (соединительный) силлогизм (обычно он не упоминается в учебниках последних столетий, но поскольку мы говорим о Хрисиппе, приведёмм все хрисипповские силлогизмы)

 

Ø (А & B)

A.

ØB

 

Например: Страсть и разумность не совместимы. Зевс страстен. Следовательно, Зевс не разумен.

 

 

Все S есть P.

Частноутвердительные. Их формула:

Некоторые S есть P.

Общеотрицательные. Формула:

Ни один S не есть P.

Частноотрицательные. Формула:

Некоторые S не есть P.

В объединенной классификации исчезают единичные высказывания, они становятся частным случаем общих высказываний.

За каждым из этих видов суждений закреплена в качестве условного обозначения своя буква латинского алфавита – А (общеутвердительное), Е (общеотрицательное), I (частноутвердительное), O (частноотрицательное). Эти буквы выбраны не случайно, они соответствуют гласным буквам в латинских словах А ff I rmo (утверждать) и n E g O (отрицать). Первая гласная каждого из слов обозначает соответствующее общее высаказывание, а вторая - частное.

Каждый вид высказывания можно изобразить своей объемной диаграммой (или диаграммой Эйлера, или кругами Эйлера), что сделано на рис. 3.1. Дело в том, что категорическое высказывание можно интерпретировать не только как утверждение о присущности свойства предмету, но и как утверждение об отношении между объемами терминов субъекта и предиката. Например, «все металлы электропроводны» = «все металлы имеют свойство электропроводности» = «объем термина “металл” включается в объем термина “электропроводные”».

 

 

общеутвердительное

 

 

 

общеотрицательное

 

частноутвердительное

 

 

частноотрицательное

 

 

Рис. 3.1

 

Впрочем, следует отметить, что интерпретируя высказывания как отношения между терминами, мы получим иную теорию, нежели традиционная субъектно-предикатная. Во-первых, исчезнет необходимость разделения терминов на субъект и предикат, которое было обусловлено во-первых, влиянием грамматического анализа (где им соответствуют подлежащее и сказуемое); во-вторых, особенностями метафизики Аристотеля, где выделялась первичная сущность, или носитель свойств (в логике ей соответствовал субъект), и вторичная сущн