Тема 4. Аристотелевский силлогизм

(простой категорический силлогизм)

 

 

Аристотелевский (он же простой категорический) силлогизм есть такое умозаключение, где заключение структуры S - P выводится из посылок, фиксирующих, что каждый из терминов S и P по отдельности в одной из посылок связан с некоторым третьим термином М. В основе силлогизма лежит так называемая аксиома силлогизма: что утверждается (отрицается) обо всём объёме термина, то утверждается (отрицается) о любой части его объема.

Пример:

Наркотики есть опасные для жизни вещества.

ЛСД - наркотик.

ЛСД - опасное для жизни вещество.

 

Каждый из терминов заключения («ЛСД» и «опасное для жизни вещество») по отдельности связан с термином «наркотик» в одной из посылок. Поэтому в заключении эти термины связываются напрямую. Аксиома силлогизма выражается в том, что свойство «быть опасным для жизни веществом» утверждается о термине «наркотик», следовательно, это свойство должно утверждаться о любой части объёма термина «наркотик», в частности, об «ЛСД».

 

4.1. Структура и правила силлогизма.

Элементы, образующие аристотелевский силлогизм, имеют следующие названия:

Средний термин – термин, который содержится в обеих посылках и отсутствует в заключении (в приведенном примере это термин «наркотик»).

Больший термин – термин, который в заключении занимает место предиката («опасное для жизни вещество»).

Меньший термин – термин, который в заключении занимает место субъекта («ЛСД»).

Больший и меньший термины называют крайними терминами. Нетрудно заметить, что крайними являются термины, которые содержатся в заключении.

Большая посылка – посылка, которая содержит больший термин (в нашем примере это «Наркотики есть опасные для жизни вещества»).

Меньшая посылка – посылка, которая содержит меньший термин («ЛСД – наркотик»).

 

Тем не менее не всегда наличие среднего термина у двух истинных высказываний достаточно для того, чтобы вывести из них заключение, которое будет истинным высказыванием. Например, в двух высказываниях

 

Все черви едят капусту

и

Дж.Буш ест капусту

 

имеется средний термин «те, кто ест капусту», однако на этом основании нельзя, соединив крайние термины, вывести заключение «Дж.Буш – червь». Это говорит о том, что должны соблюдаться определенные правила силлогизма. Последние разбиваются на две группы: правила терминов и правила посылок.

Правила терминов:

1. В силлогизме может быть три и только три термина. Нарушение этого правила ведёт к ошибке, называемой «учетверение терминов».

2. Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок. Действительно, если распределенность термина означает, что тот взят в полном объеме, то нарушение этого правила будет говорить о том, что в каждой из посылок речь идёт лишь о некоторой части среднего термина. При этом нет никаких гарантий, что это не совершенно разные части, и, стало быть, средний термин не связывает крайних.

3. Термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении (или, эквивалентно, термин распределен в заключении лишь при условии, что он распределен в посылке). Нарушение этого правила приводит к т.н. незаконному процессу термина.

Правила посылок:

1. Из двух отрицательных посылок заключения не следует.

2. Если одна из посылок отрицательное высказывание, то заключение - тоже отрицательное высказывание.

3. Из двух частных посылок заключения не следует.

4. Если одна из посылок - частное высказывание, то и заключение - частное высказывание.

 

4.2. Фигуры и модусы аристотелевского силлогизма.

Этих правил достаточно для того, чтобы выделить все правильные формы силлогизма. Однако на практике удобно пользоваться особенностями т.н. фигур и модусов силлогизма.

Фигурой называется разновидность силлогизма, определяемая положением среднего термина. Средний термин может располагаться следующими способами:

1) субъект в большей посылке и предикат в меньшей посылке,

2) предикат в обеих посылках,

3) субъект в обеих посылках,

4) предикат в большей посылке и субъект в меньшей посылке.

Таким образом, всего имеется 4 фигуры:

 

M - P P - M M - P P - M

S - MS - MM - PM - S

S - P S - P S - P S - P

 

I II III IV

 

Каждая из них характеризуется своими специальными правилами.

Правила первой фигуры:

1) большая посылка должна быть общим высказыванием; 2) меньшая посылка должна быть утвердительным высказыванием.

Правила II фигуры:

1) большая посылка должна быть общим высказыванием; 2) одна из посылок должна быть отрицательным высказыванием.

Правила III фигуры:

1) меньшая посылка должна быть утвердительным высказыванием; 2) заключение должно быть частным высказыванием.

Правила IV фигуры

1) если большая посылка - утвердительная, то меньшая должна быть общей; 2) если одна из посылок отрицательная, то большая должна быть общей.

Если принять во внимание не только положение среднего термина, но также количество и качество посылок и заключения, то мы будем иметь дело с разновидностями силлогизма, именуемыми модусами. Всего можно накомбинировать 4×4×4×4 = 256 модусов (4 способа выбора большей посылки, 4 способа выбора меньшей, 4 способа выбора заключения, 4 фигуры). Но только 24 из них удовлетворяют названным нами правилам (будь то общим правилам или/и правилам фигур). Из этих 24 основными являются 19, а ещё 5 - ослабленными (т.е. такими, которые отличаются от одного из основных тем, что в них общее заключение заменено частным - согласно логическому квадрату, такая замена сохраняет истину). Если каждому модусу поставить в соответствие трехбуквенную комбинацию, в которой первая буква соответствует большей посылке, вторая – меньшей, а третья – заключению, то мы будем иметь следующие правильные модусы:

I фигура: AAA, EAE, AII, EIO

II фигура: EAE, AEE, EIO, AOO

III фигура: AAI, AII, IAI, EAO, OAO, EIO

IV фигура: AAI, AEE, IAI, EAO, EIO

 

В конце XII – начале XIII в. потребности заучивания, а может быть, и не только они, вызвали к жизни мнемонические стишки, упрощающие запоминание этих модусов:

 

I	II	III	IV
BARBARA	CESARE	DARAPTI	BRAMANTIP
CELARENT	CAMESTRES	DATISI	CAMENES
DARII	FESTINO	DISAMIS	DIMARIS
FERIO	BAROCO	FELAPTON	FESAPO
		BOCARDO	FRESISON
		FERISON
BARBARI	CESARO
CELARONT	CAMEOSTRO		CAMENO

 

В последних двух строках содержатся ослабленные модусы. С их учётом получается, что по каждой фигуре может быть построено шесть правильных модусов.

 

Особенности фигур:

1 фигура наиболее распространена в практических рассуждениях. Это единственная фигура, позволяющая получать в заключении все виды категорических высказываний (A, E, I, O). Поэтому ещё Аристотель называл её “совершенной”. Все модусы остальных фигур можно путем преобразований привести к одному из модусов первой фигуры. Именно в первой фигуре наиболее явным образом выражается то, в чем долгое время усматривали суть процесса дедукции – в переходе от общего частного. Действительно, рассуждение по первой фигуре представляет собой подведение частного случая под общее правило. Большая посылка, согласно первому правилу I фигуры, должна быть общим высказыванием, поэтому в ней удобно выразить некоторую закономерность общего характера. Меньшая посылка, согласно второму правилу, должна быть утвердительной, поэтому это удобное средство для утверждения, что данный частный случай можно подвести под общее правило.

II фигура позволяет получать только отрицательные заключения. Соответственно, она используется для вывода утверждений об отсутствии у объекта некоторого свойства или о его непринадлежности к некоторому классу. Здесь, как и в первой фигуре, большая посылка предполагает некоторое общее правило (возможно отрицательное), однако в меньшей посылке должно сообщаться, что для некоторого частного случая данное правило не выполняется (либо – если правило отрицательное – выполняется)

III фигура позволяет получать только частные заключения. Она часто используется для опровержения общих положений. Чтобы опровергнуть утверждение, что все студенты любят джаз, достаточно указать определенного студента, не любящего джаз. Получим две посылки: «N – студент» и «N не любит джаз», из которых выводится частное заключение «некоторый студент не любит джаз». Поскольку последнее находится в отношении противоречия с исходным тезисом (см. логический квадрат), тот придется признать ложным

IV фигура носит искусственный характер, на практике рассуждения по IV фигуре встречаются крайне редко. Аристотель вообще не выделял эти модусы в отдельную фигуру, характеризуя их как вырожденные модусы первой фигуры.

 

4.3. Непосредственные умозаключения.

Непосредственными называются умозаключения из одной посылки (их можно было бы называть однопосылочными умозаключениями).

Обращение - такое умозаключение, где заключение получается из посылки перестановкой субъекта и предиката. При этом качество высказывания не меняется. Например:

Ни один двоечник не получит пряника. Следовательно, ни один получающий пряник не есть двоечник.

Высказывания формы Е, I обращаются без ограничений. Это значит, что обращение Е даст Е, обращение I даст I.

Однако в случае А нет гарантии, что результат его обращения в форме А будет истинным высказыванием. Например, при истинности «Все золотое есть блестящее» высказывание «Все блестящее есть золотое» не будет истинным. Поэтому общеутвердительные высказывания можно обращать только с ограничением, т.е. получая в результате частноутвердительное заключение.

Кроме того, в случае частноотрицательного высказывания никакое обращение не даёт гарантии истинности заключения. Причина в том, что его субъект не распределен; при обращении же этот же термин становится предикатом в отрицательном суждении, где он распределен. В результате происходит незаконный процесс термина (см. общие правила аристотелевского силлогизма)

Превращение – такое умозаключение, где заключение получается в результате замены в посылке предиката на противоречащее ему понятие и изменения качества высказывания. При этом количество высказывания не меняется. Например:

Всякий адвокат есть юрист. Следовательно, ни один адвокат не есть не-юрист.

В результате превращения из исходных высказываний получаем следующие:

А Þ Е

Е Þ А

I Þ O

O Þ I

Противопоставление предикату (контрапозиция) - такое умозаключение, в котором заключение получают из посылки последовательным применением превращения и затем обращения (только в таком порядке). Не поддается контрапозиции частноутвердительное высказывание. Результаты превращения остальных высказываний таковы:

А Þ Е

Е Þ I

O Þ I

Попытайтесь самостоятельно объяснить, почему нельзя подвергнуть контрапозиции частноутвердительное высказывание.

 

4.4. Сокращенный силлогизм (энтимема) и сложный силлогизм

Энтимема (греч. в уме) – это силлогизм, в котором одна из посылок или заключение явно не формулируется. В зависимости от того, что именно не сформулировано, выделяют следующие виды энтимем:

а) Энтимема с пропущенной меньшей посылкой:

 

Все предатели – трусы.

следовательно, Г. - трус

 

Пропущена меньшая посылка «Г. – предатель».

б) Энтимема с пропущенной большей посылкой:

Г. – предатель.

следовательно, Г. - трус

 

Пропущена большая посылка «Все трусы – предатели».

в) Энтимема с пропущенным заключением:

 

все предатели - трусы,

но Г. - предатель!.

 

Надеемся, читателю не составит труда восстановить пропущенное заключение.

Разумеется, что в виде энтимемы могут использоваться и рассмотренные в теме 2 Хрисипповы силлогизмы.

Сложный силлогизм (полисиллогизм).

Построение сложных рассуждений описывалось в традиционной логике с помощью теории полисиллогизма.

Полисиллогизм - такая последовательность силлогизмов, где заключение предшествующего силлогизма (просиллогизма) становится посылкой последующего силлогизма (эписиллогизма). При этом если заключение предшествующего становится большей посылкой эписиллогизма, то имеем прогрессивный полисиллогизм, если же меньшей, то - регрессивный полисиллогизм. Пример прогрессивного полисиллогизма:

 

взятка - преступление

подарок должностному лицу есть взятка

подарок должностному лицу - преступление

 

подарок должностному лицу - преступление

подарок костюма прокурору - подарок должностному лицу

подарок костюма прокурору - преступление

 

Пример регрессивного полисиллогизма:

 

взятка - преступление

подарок должностному лицу есть взятка

подарок должностному лицу - преступление

 

всякое преступление влечет возбуждение уголовного дела

подарок должностному лицу - преступление

подарок должностному лицу влечет возбуждение уголовного дела

 

Обычно полисиллогизмы имеют вид сорита (греч. куча) - такого полисиллогизма, в котором не формулируются явно промежуточные заключения:

взятка - преступление

подарок должностному лицу есть взятка

подарок костюма прокурору - подарок должностному лицу

подарок костюма прокурору - преступление

 

Читателю предлагается самостоятельно преобразовать в сорит приведенный чуть выше пример регрессивного полисиллогизма

 

 

Тема 5. Логика предикатов

 

 

5.1. Предикат как функция.

Рассмотренная в предыдущих темах теория высказывания обладает многими недостатками. Укажем некоторые из них. Разбиение высказывания ровно на две части не всегда удобно и полезно. Например, вследствие этого традиционная теория крайне неуклюже обрабатывает высказывания, выражающие отношения. Различение среди терминов высказывания разнокачественных субъекта и предиката, обусловленное особенностями метафизики Аристотеля, влечет то, что квантификация может осуществляться только для одного термина.

Принятая ныне теория высказывания восходит к работам немецкого логика Г.Фреге, и в основе её лежит функциональная трактовка предиката.

Функцию можно определить как правило, сопоставляющее каждому элементу из одного множества объектов некоторый другой (или отображающее одно множество в другое). Запись

f (x) = y

означает, что вместо х может быть подставлен любой элемент отображаемого множества (его называют область определения), и в соответствии с правилом, которое описывает f, такому элементу сопоставляется элемент из множества у. Последнее называется областью значений функции. Только в школьной математике обычно в область значения и область определения включаются однородные объекты. Но в этом нет никакой обязательности. Например, уже в случае деления область определения может включать целые числа, в то время как область значений - рациональные. Возведение в квадрат: область определения включает целые числа, а область значений - положительные целые числа. Можно пойти и ещё дальше и не ограничивать область применения функции математическими объектами. Допустим, область определения включает любые возможные объекты. Тогда и появляется возможность трактовать предикат (или, более общо - понятие) как особого рода функцию.

Прежде чем дать окончательные разъяснения, посмотрим на понятие функции с точки зрения языка.

2² представляет собой выражение из языка математики. Оно имеет значение 4. Соответственно, высказывание 2² = 4 имеет значение «Истина», а высказывание 2² = 5 имеет значение «Ложь». Но мы не можем сказать, каково значение выражения х². Оно зависит от того, что мы подставим на место х. Соответственно, мы не можем сказать, истинным или ложным будет высказывание х² = 4. Это говорит о том, что выражение, подобное х² = 4, является, как говорил Г. Фреге, неполным или ненасыщенным – оно содержит пустые места, которые помечаются переменными. Именно в этом и состоит специфика функциональных выражений. Это неполные выражения, которые получают определенные значения после того, как пустые места будут заполнены именами определенных объектов или собственными именами. Подставив на место х цифру «2», обозначающую определенное число, мы получим выражение, имеющее значение 4. Подставив на это же место цифру «3», мы получим выражение, имеющее значение 9.

Попытаемся обобщить наши соображения на случай высказываний. Высказывания, как мы уже знаем, тоже имеют особого рода значения – истинностные значения «Истина» и «Ложь». А что мы скажем про следующее выражение:

“х – человек”?

Очевидно, что это весьма похоже на высказывание, однако мы не можем оценить его как истинное или ложное, пока не подставим какое-либо конкретное имя на место х. Очевидно, что высказывания «Сократ – человек», «А.С.Пушкин – человек» имеют значения «Истина», в то время как высказывание «Буцефал – человек» имеет значение «Ложь». Используя вышесказанное, это можно объяснить таким образом, что «человек» представляет собой функцию, которая на одних аргументах (Сократ, А.С.Пушкин и т.п.) имеет значение «Истина», а на других (Буцефал и т.п.) – значение «Ложь»:

Человек (Сократ) = истина

Человек (Пушкин) = истина

но

Человек (Буцефал) = ложь

 

Итак, предикат можно понимать как особого рода функцию, область определения которой может включать объекты любого рода, а область значений только два объекта – «Истину» и «Ложь». Иначе говоря, предикат – это функция, которая сопоставляет всякому объекту истину или ложь: истину - в том случае, если объект, подставленный на место х, подпадает под это понятие, ложь - если не подпадает.

Символически предикатные выражения принято записывать следующим образом: Р(а), где Р – имя предиката, а – собственное имя, или имя определенного объекта.

В начале параграфа было сказано, что традиционная теория высказывания неудобна при анализе высказываний, выражающих отношения. При функциональной трактовке такие суждения становятся функциями от двух аргументов. Например, высказывание «Петербург севернее Москвы» будет представлено как «Севернее (Петербург, Москва)». Очевидно, что это высказывание имеет значение «Истина», в то время как «Севернее (Москва, Петербург)» будет иметь значение «Ложь». Такие отношения называют также двухместными предикатами. Существуют и трехместные, и четырехместные и т.д. предикаты. Примером трехместного предиката служит отношение «между»: «Бологое находится между Петербургом и Москвой» будет представлено как «Между (Бологое, Петербург, Москва)».

Двухместные предикаты записываются как Р(а,b), трехместные – как Р(а,b,c) и т.д.

 

5.2. Кванторные выражения.

До сих пор мы рассматривали только примеры единичных высказываний, т.е. таких, которые могут быть оценены как истинные либо ложные при условии, что аргументные места функций заполнены собственными именами объектов. Однако мы пока не можем формализовать общих высказываний. Для этой цели в логике предикатов используются ещё два знака, именуемые кванторами. Это квантор общности " и квантор существования $. Выражение " х А(х) означает, что для всякого х выполняется условие А. $ х А(х) означает, что по крайней мере для одного объекта выполняется условие А.

Поскольку выражения вида Р(х) имеют значения «и» и «л», их можно связывать с помощью известных нам логических союзов. Тогда базисные высказывания традиционной логики можно записать так:

А: " х (S(х) É P(х)).

Читается: для всякого х верно, что если он имеет свойство S, то он имеет свойство Р; или всякий объект, имеющий свойство S, имеет свойство Р и т.п.

Е: " х (S(х) É ØP(х)).

Читается: всякий объект, имеющий свойство S, не имеет свойства Р; или всякий, кто является S, тот не является Р и т.п.

I: $ х (S(х) & P(х)).

Читается: существует по крайней мере один объект, имеющий одновременно свойства S и Р. Очевидно, что здесь уже несущественно традиционное разделение на субъект и предикат.

O: $ х (S(х) & ØP(х))

Очевидно также, что в логике предикатов нет никаких оснований выделять именно эти высказывания в качестве базисных. Впрочем, как и любые другие высказывания.

Рассмотрим ещё несколько примеров, поясняющих, как работает язык логики предикатов.

Высказывание «Саша любит Машу» будет записано как R(a, b), где R обозначает отношение (или двухместный предикат) «любит», а – Саша, b – Маша. Это высказывание содержит только собственные имена, поэтому его можно записать без помощи кванторов.

«Саша в кого-то влюблен»: $ х R (a, x), т.е. существует х такой, что Саша его любит.

«Все любят В.В.Путина»: обозначив В.В.Путина константой с, можем записать " х R (х, с), то есть всякий х находится в отношении R к c.

«Каждый кого-нибудь любит»: " х $ у R(x, y), то есть для всякого х найдётся такой у, что х находится к нему в отношении R.

Несколько сложнее будут обстоять дела с высказыванием «каждый мальчик влюблен в какую-нибудь девочку». Здесь, помимо двухместного предиката «любит», есть ещё два одноместных предиката: «мальчик» и «девочка», и они должны быть формализованы в окончательной записи именно как предикаты. Обозначив «мальчик» через Р, а «девочка» через Q, получим:

" х [(P(x) É ($ у Q(y) & R(x, y))].

Читается: для любого х, если он является мальчиком, то найдется такое у, что оно является девочкой, и при этом х любит у.

 

5.3. Равносильности логики предикатов.

Здесь отметим лишь некоторые, наиболее полезные равносильности, которые наблюдаются у кванторных выражений.

Равносильности, позволяющие выражать кванторы друг через друга.

1.1. " х А(х)Û Ø$ х ØА(х).

1.2. $ х А(х)ÛØ" х ØА(х).

Из этих двух равносильностей непосредственно следуют две следующих:

Ø" х А(х)Û $ х ØА(х).

Ø$ х А(х)Û" х ØА(х).

Запишем для примера утверждение о несуществовании Адама, понимая под Адамом человека, не имевшего отца. Пусть R(x, y) обозначает отношение «х – отец у». Тогда требуемое утверждение можно записать так:

$ х " y ØR(y, x)

или, используя одну из указанных равносильностей, так:

$ х Ø$ у R(y, x),

или так:

Ø" х $ у R(y, x).

Равносильности, выражающие взаимодействие разных кванторов

2.1. $ х $ у А(х, у) Û $ у $ х А(х, у).

2.2. " х " у А(х, у) Û " у " х А(х, у).

Это значит, что одноименные кванторы всегда можно безболезненно менять местами. Что касается разноименных кванторов, то это может иметь пагубные последствия. Так, допустим, что R(x, y) обозначает «прямая х перпендикулярна прямой у». Тогда " х $ у R(x, у) выражает истинное высказывание «для всякой прямой х существует такая прямая у, что х ей перпендикулярна». Поменяв же кванторы местами, получим $ у " х R(x, у), что означает «существует прямая, которая перпендикулярна всем прямым». Очевидно, что это ложно. Поэтому между этими двумя высказываниями имеется только отношение следования:

2.3. $ у " х А(x, у) ú= " х $ у В(x, у).

Равносильности, описывающие взаимодействие кванторов и логических связок.

3.1. " х (А(х)& B(x)) Û " х А(х)& " х B(х).

Взаимодействие квантора общности и дизъюнкции требует внимательности. Допустим, что Р обозначает предикат «четное число», а Q предикат «нечетное число». Тогда " х (P(х)Ú Q(x)) выражает истинное высказывание «всякое целое число является четным или нечетным», в то время как " х P(х)Ú " х Q(x) выражает «все целые числа являются четными или все целые числа являются нечетными», что ложно. Поэтому здесь можно констатировать только отношение следования:

3.2. " х А(х)Ú " х В(x) ú= " х (А(х)Ú В(x)).

 

4.1. $ х (А(х)Ú В(x))Û $ х А(х) Ú $ х В(х).

Соединение квантора существования с конъюнкцией также таит в себе опасность. Пусть Р обозначает предикат «круглый», а Q предикат «квадратный». Тогда $ х Р(х) & $ х Q(х) выражает истинное высказывание «существуют круглые предметы и существуют квадратные предметы», в то время как $ х (P(х)& Q(x)) выражает «существуют круглые квадраты». Поэтому между такими высказываниями имеется только отношения следования:

4.2. $ х (P(х)& Q(x)) ú= $ х Р(х) & $ х Q(х).