Тема 6. Правдоподобные (недедуктивные) рассуждения

 

Рассуждения, рассмотренные в предыдущих разделах, относятся к дедуктивным, то есть таким, которые удовлетворяют отношению логического следования. Помимо них, нельзя обойти вниманием другие виды рассуждений, в которых истинные посылки позволяют получать не истинные, но только вероятные заключения. Правдоподобные рассуждения имеют эвристическое значение. Вообще эвристика - совокупность приемов и методов, облегчающих и упрощающих решение задач. Помимо правдоподобных умозаключений, к эвристическим средствам относятся наглядные модели и образы, мысленные эксперименты и т.п. Среди правдоподобных можно выделить индуктивные, рассуждения по аналогии, вероятностные, немонотонные и другие.

 

6.1. Индуктивные рассуждения.

Слово индукция (inductio) буквально можно перевести как наведение (в отличие от deductio - выведение). Индукция представляет собой переход от единичных фактов к общим положениям (высказываниям). При использовании индуктивных методов, в отличие от дедуктивных, истинные посылки не гарантируют истинного заключения. Последние имеют лишь вероятностный характер. Пионером индуктивной логики является английский мыслитель Ф. Бэкон. Однако ныне индуктивные методы излагаются и классифицируются в основном в соответствии с трактовкой другого английского ученого – Дж.С.Милля (1806 – 1873). Долгое время адепты индукции были убеждены, что индуктивные методы в перспективе полностью вытеснят либо поглотят, как частный случай, дедуктивные и что использование индуктивных методов является отличительным признаком науки.

Виды индукции. Индуктивные методы делятся на энумеративные (перечисляющие) и элиминативные (исключающие). В свою очередь энумеративная индукция может быть полной и неполной. К элиминативной индукции относятся методы установления причинных связей.

1) Полная индукция - умозаключение, в котором на основе фактических высказываний о наличии некоторого свойства у каждого элемента класса выводится общее высказывании о наличии соответствующего признака у понятия класса. Схема:

 

а₁ есть Р

а₂ есть Р

.

.

.

а_n есть Р

{ а₁, а₂,... а_n } = S

Все S есть P

 

Полная индукция, по сути, является дедукцией, т.к. дает достоверное заключение. К сожалению, проверка всего множества S не всегда возможна. Если проверяется качество партии товаров, для проверки по схеме полной индукции придется испортить всю партию. А если бы Г.Галилей захотел обосновать правило вычисления величины ускорения свободного падения методом полной индукции, ему бы пришлось перекидать с Пизанской башни всё, что есть в мире, включая себя самого. Приходится довольствоваться неполной индукцией.

2) Неполная индукция:

 

а₁ есть Р

а₂ есть Р

.

.

.

а_n есть Р

{ а₁, а₂,... а_n } Ì S

Вероятно, все S есть P

 

Приведенная схема иллюстрирует так называемую популярную индукцию, ибо нет критерия отбора а_i, нет гарантии, что не упущены из вида именно те объекты, которые не имеют свойства Р. Рассуждение по схеме неполной индукции часто ведет к ошибке, именуемой “ поспешное обобщение ”. Дабы минимизировать опасность этой ошибки, используется следующий вид индукции.

3) Научная индукция. В случае последней на наличие свойства Р проверяются не первые попавшиеся предметы, но специально отобранные. При этом исследуемый класс S получает название генеральной совокупности, а те предметы, которые подвергаются проверке, - выборкой. Схема:

 

а₁ есть Р

а₂ есть Р

.

.

.

а_n есть Р

{ а₁, а₂,... а_n } = В

Все В есть Р

Все В есть S

Все S есть Р

 

Слабое место этой схемы, как и неполной индукции, - в переходе от высказывания, что все предметы из выборки имеют Р, к высказыванию, что все предметы класса имеют свойство Р. Дабы повысить вероятность получаемого при этом заключения, выдвигается требование, чтобы выборка была репрезентативной. Методы эти разнообразны и варьируются в зависимости от области исследования. Но, как правило, все они сводятся к одному: проводится деление исследуемого класса на подклассы, затем из каждого подкласса выбираются предметы для проверки. Необязательно из каждого подкласса отбирается одинаковое число предметов. Например, если Р - сохранность продукта питания, наибольшую выборку следует сделать из продуктов, чей срок годности на исходе. Социологи следят за тем, чтобы выборка отражала социальный, возрастной, профессиональный состав населения.

 

4) Методы установления причинных связей (Каноны Милля)К элиминативной индукции относятся схемы правдоподобного рассуждения, предназначенные для получения заключения вида «а есть причина Х», где а - события, обстоятельства, Х - событие, явление.

Метод сходства. Для отыскания причины некоторого явления пытаются среди предшествующих обстоятельств обнаружить такое, при наличии которого всегда происходит исследуемое явление. Схема:

 

a, b, c, d - происходит Х

l, k, r, c - происходит Х

e, c, f, g - поисходит Х

Вероятно, с - причина Х

 

Как правило, это метод наблюдения, а не эксперимента.

Метод различия. Для отыскания причины некоторого явления варьируют предшествующие обстоятельства так, чтобы зафиксировать, в отсутствие какого из них исследуемое явление не происходит. Схема:

 

a, b, c, d - происходит Х

a, b, d - не происходит Х

Вероятно, с — причина Х

 

Выделяют также объединенный метод сходства и различия. Он состоит в том, что, установив вероятную причину явления по методу сходства, проводится эксперимент, направленный на то, чтобы проверить, будет ли происходить исследуемое явление при устранении предполагаемой причины.

Метод остатков. Исследуемое явление разбивается на компоненты, устанавливаются причины всех, кроме одного, после чего выдвигается гипотеза о причине оставшегося компонента. Схема:

 

Х = Х1Х2Х3Х4

а - причина Х1

b - причина Х2

c - причина Х3

должно существовать d, являющееся причиной Х4.

 

Примером применения метода остатков может служить открытие планеты Нептун Леверье. Обнаружив, что орбита Юпитера отклоняется от расчетной, он предпринял вычисления, направленные на установление возмущения, вызываемого каждым из известных небесных тел. Получив траекторию, которую должен был бы иметь Юпитер, и сравнив её с реальной, он предположил, что расхождение между реальной и расчетной траекториями вызвано некоторым ещё не открытым небесным телом. Впоследствии наблюдения подтвердили справедливость его рассуждений.

 

Метод сопутствующих изменений. Этот метод устанавливает причину не собственно явления, но его изменения. Если при неизменности прочих и изменении одного из предшествующих обстоятельств происходит изменение исследуемого явления, то делается заключение, что изменение этого обстоятельства есть вероятная причина изменения явления. Схема:

 

a, b, c - происходит X

a, b, c’ - происходит X’

a, b, c’’ - происходит X’’

Используя этот метод, Торичелли открыл зависимость величины атмосферного давления (что соответствует Х) от высоты над уровнем моря (что соответствует с).

 

В заключение отметим распространенную ошибку, совершаемую при установлении причинной связи между явлениями. Она состоит в том, что часто простая последовательность событий принимается за причинную связь. Ошибка эта известна столь давно, что ещё в Средние века получила название: Post hoc ergo propter hoc (после этого – значит по причине этого). Впрочем, по мнению Д. Юма, одного из первых и самых глубоких критиков индукции, этот принцип, ошибочен он или нет, по сути, лежит в основе любого утверждения о причинности.

6.2. Умозаключение по аналогии.

Рассуждение по аналогии используется, когда мы имеем дело с малоизученным объектом. Желая спрогнозировать его свойства, мы сопоставляем его с некоторым объектом, свойства которого хорошо известны. Обнаружив, что новый объект (Y) повторяет некоторые важные свойства известного объекта (X), мы выдвигаем предположение, что Y также имеет свойство, которым обладает объект X, но наличие которого ещё не установлено у объекта Y. Схема:

Объект Х имеет свойства F₁, F₂,... F_n

Объект Y имеет свойства F₁, F₂,... F_n

Объект Х имеет свойство F_n+1

Вероятно, Y имеет свойство F_n+1

 

Следует отметить, что рассуждения по аналогии требуют крайней осторожности, поскольку они легко ведут к грубым ошибкам. Дело в том, что сравнить можно едва ли не что угодно с чем угодно, и всегда найдутся черты сходства. Но при этом зачастую отсутствует ясность по вопросу о том, как связаны эти схожие свойства с новым свойством, относительно которого мы спешим вывести заключение.

 

 

Тема 7. Термин и Понятие

 

 

Имя, его смысл и значение.

Имя имеет две характеристики: смысл и значение. Смысл – это информация, сообщаемая именем. Значение – то, на что имя указывает. Поскольку термины «смысл» и «значение» семантически очень близки, вместо «значение» часто говорят «денотат», «номинат», «референт» и др. Рассмотрим более подробно, каким образом различные типы имен обладают этими характеристиками.

а) Собственное имя. Собственным именем называется имя, которое используется для указания на один и только один объект. Многие собственные имена, которые мы встречаем в повседневной жизни, не являются таковыми согласно этому определению, то есть они не являются собственными в логическом смысле. Действительно, возьмем ли мы имена или фамилии людей, клички животных, нередко даже названия населенных пунктов, все эти имена, как правило, обозначают более чем один объект. Логические же собственные имена уникальны, это своего рода ярлыки, которые приклеиваются к вещам: одна вещь – один ярлык. Обозначение объекта с помощью собственного имени можно уподобить указанию на него пальцем: в последнем случае мы не сообщаем о предмете никакой информации, мы только указываем на него. Поэтому собственное имя имеет значение, но не имеет смысла.

б) Дескриптивное имя. Дескриптивным (или описательным) называется имя, которое указывает на объект, выделяя признаки, которые позволяют специфицировать именно этот объект в отличие от других. Дескриптивное имя имеет форму «тот, который…», например: «тот, который был первым президентом России», «то число, которое больше 7 на 1». В повседневном выражении слова «тот, который» могут опускаться. Мы говорим просто «последний царь династии Романовых» вместо «тот, который был последним царем в династии Романовых», «Автор Илиады и Одиссеи» и т.д. Относительно дескриптивных имен можно заметить, что некоторые из этих имен могут иметь смысл, но не иметь значения. Например, это такие имена, как «самое большое натуральное число», «круглый квадрат», «тренер футбольной сборной России, ставшей чемпионом мира». Связь имени, его смысла и значения иллюстрирует диаграммой на рис. 7.1.

 

Имя

 

Смысл Значение

Рис. 7.1

 

 

в) Общие имена. Общими называются имена, предназначенные для указания любой из объектов определенной области. Примерами общих имен могут служить имена такие имена, как «человек», «число», «закон». Имя «человек» может использоваться для указания на многие объекты. К общим именам примыкают неопределенные дескриптивные имена. Как и определенные дескрипции, они указывает на объект через выделение одного или нескольких признаков, но в отличие от них, они не позволяют специфицировать уникальный объект. Примерами последних служат такие имена как «депутат государственной думы», «книги, которых я не читал». Поскольку эти имена не указывают на объект напрямую, соответствующая схема для них усложняется. Именно, в связи с общими именами появляется такая важная характеристика как понятие. Понятие представляет собой не что иное, как значение общего имени. Под понятие подпадают определенные объекты. При этом число объектов, подпадающих под понятие, может изменяться нуля до бесконечности. Взаимосвязь общего имени с указанными компонентами иллюстрируется на рис. 7.2.

С теоретико-познавательной точки зрения, которая широко распространена, понятие есть мысль, отражающая признаки предмета или класса предметов. В жизни мы сталкиваемся с единичными предметами, но, абстрагируясь от их индивидуальных свойств, мы можем получать признаки, общие для многих предметов; из этих признаков мы и образуем понятия. При такой трактовке требуются некоторые дальнейшие разъяснения. Дело в том, что такое описание может создать впечатление, что понятия – продукт нашего произвола. Однако то, что имеется в моем сознании - субъективно, знание же стремится к тому, чтобы быть объективным. Однако если понятие - это мысль, пребывающая в моей голове, то где гарантия, что в других

Общее имя

 

 

Смысл Понятие

 

....... объекты...

Рис.7.2

 

 

головах имеется эта же самая мысль? Где гарантия, что образованное мной понятие - не просто плод воображения, но адекватно отражает реальность? Поэтому следует провести различие между понятием и представлением. Мышление, будучи психическим процессом, состоит из представлений, которые субъективны и нечетки. Понятия же объективны, они таковы, каковы они есть, независимо от того, постигаем ли мы их, мыслим мы их или нет.

 

7.2. Понятие, его структура и виды.

Понятие имеет две характеристики:

а) Объем понятия – это все предметы, подпадающие под понятие. В различных интерпретациях эта характеристика будет получать разные объяснения. Теоретико-познавательная интерпретация: это предметы, мыслимые в понятии. Функциональная интерпретация - все те объекты, которые, будучи подставлены на место х в Р(х), дают значение «Истина» (см. тему «Логика предикатов»). Семиотическая интерпретация - это все объекты, к которым приложимо соответствующее имя.

б) Содержание понятия – это все признаки, из которых составлено понятие.

Объем и содержание понятия связаны законом обратного отношения. Согласно этому закону, расширение содержания понятия ведет к уменьшению объема, а сужение содержания ведет к увеличению объема. Например, переходя от понятия «студент» к понятию «студент дневного отделения», мы тем самым расширяем содержание понятия (к признакам понятия «студент» добавляется признак «дневного отделения»), и уменьшаем его объем (объекты, подпадающие под понятие «студент дневного отделения» являются лишь частью объектов, подпадающих под понятие «студент»).

 

Виды понятий.

По объему выделяют следующие виды понятий:

- общие,

- единичные,

- пустые.

Как правило, общее понятие обозначается общим именем или неопределенной дескрипцией; единичное - определенной дескрипцией. Пустое понятие может обозначаться любым именем: «кентавр» (общее имя), «самое большое натуральное число» (определенная дескрипция), «предок Адама» (неопределенная дескрипция). Пустые понятия делятся на фактически пустые («нынешний король Франции») и логически пустые («равносторонний прямоугольный треугольник»).

По содержанию понятия делятся на:

- конкретные,

- абстрактные.

Иногда важно указать не на объект, но на свойство. Скажем, когда требуется обсудить не преступника, но преступность. Последнее и образует абстрактное понятие. Если конкретное понятие имеет целью указать на объект посредством его свойства, то абстрактное понятие указывает на само свойство: “мудрость”, “белизна”, “мужество”.

 

7.3. Отношения между понятиями.

Отношения между понятиями выделяются как по содержательным, так и по объемным характеристикам, хотя больший интерес представляют последние.

По содержанию выделяется только отношение сравнимости: если два понятия имеют какие-либо общие признаки, то они сравнимы. Если же они не имеют ни одного общего признака, то понятия несравнимы. Примерами последних служат такие пары понятий, как пресмыкающееся и параллелограмм, парламент и небесное тело. В дальнейшем нас будут интересовать только сравнимые понятия.

По объему все отношения между понятиями разбиваются на две группы: совместимость и несовместимость. Чтобы охарактеризовать отношения, входящие в эти групы, удобно воспользоваться помощью объемных диаграмм, или кругов Эйлера-Венна. Всякое понятие может быть графически представлено кругом, который символизирует объём этого понятия. Пусть речь идет, скажем, о понятии «насекомое». Тогда следует представить себе, что внутри этого круга собраны все насекомые. Это и означает, что такой круг изображает объем этого понятия.

Объём всякого понятия составляет часть «Универсума», который обозначается буквой U и включает в себя все возможные объекты. При этом, как правило, имеется в виду «универсум рассуждения», т.е. не вообще все объекты, но те, которые имеют отношение к теме. В дальнейшем понятие универсума не будет явно упоминаться, если в нем нет непосредственной нужды.

Поскольку речь идет об отношении двух понятий, требуется два круга. Разные отношения изображаются соответствующим взаимным расположением кругов. Рассмотрим сначала виды совместимости.

Равнозначность (или равнообъемность). Два понятия равнозначны, если их объёмы совпадают. «Победитель при Йене» и «Побежденный при Ватерлоо»; «треугольник» и «фигура, в которой сумма внутренних углов равна 180°».

 

 

 

Подчинение (или включение, отношение рода и вида, субординация). Два понятия находятся в этом отношении, если каждый элемент объема первого входит в объем второго, но не наоборот. При этом первое понятие называется подчиненным, или видовым, а второе - подчиняющим, или родовым. Например, «Преступление против государства (В) и «шпионаж» (А).

 

 

Перекрещивание (или пересечение). Два понятия находятся в этом отношении, если имеются объекты, которые входят в объём каждого из этих понятий, и при этом последние не находятся в отношении равнозначности или подчинения (т.е. имеются объекты, которые входят в объём первого из понятий, но не входят в объём второго, и наоборот). Например, «студент» (А) и «спортсмен» (В).

 

 

 

Виды несовместимости:

Соподчинение (или координация). Два понятия находятся в этом отношении, если не имеется объекта, который входит в объем каждого из них, и при этом оба эти понятия являются видами одного рода, не исчерпывая его. Например, «дуб» (А) и «берёза» (В), общий род – «дерево» (С); «электрон» и «нейтрон», общий род – «элементарная частица».

 

 

Противоречие. Два понятия находятся в этом отношении, если их объемы не имеют общих элементов, и они являются видами одного рода, исчерпывая его. В естественном языке эти понятия, как правило, выдают себя тем, что одно из них образуется из другого с помощью частиц «не-», «без-» и т.п. Например, «белый» и «не-белый», «внимательный» и «не-внимательный».

 

 

А

 

Противоположность. Этому отношению затруднительно дать чисто логическое объяснение. Для того чтобы иметь его, все виды некоторого рода должны быть выстроены в ряд по определенному правилу. Крайние члены этого ряда будут находиться в отношении противоположности. Например, «белый» и «черный», «тяжёлый» и «легкий».

7.4. Операция определения.

Определение - операция, которая толкуется разноречиво как ни одна другая тема, относящаяся к логике. На наш взгляд, следует с самого начала установить, что одним и тем же словом “определение” обозначают две разные операции, преследующие разные цели. Во-первых, это определение имени (термина). С помощью этой операции устанавливают, какое понятие обозначается термином. Во-вторых, это определение понятия. Его цель - раскрыть содержание понятия. В первом случае определение называется номинальным (от лат. nomen - имя), во втором - реальным (от лат. res - вещь).

Это различение имеет принципиальный характер, так как, хотя по видимости, между ними нет заметной разницы, они выполняют совершенно разную работу. В первом случае определение - то, с чего начинается какая-либо деятельность. Часто можно услышать, что спорить о словах глупо и бессмысленно. Так вот, чтобы избежать этих споров, о словах следует предварительно договориться. Часто важные политические договоры открываются списком определений, зачастую довольно пространным. Так, договор о ПРО начинается словами: «Высокие договаривающиеся стороны пришли к соглашению понимать под...», а затем следует последовательность из десятков терминов, по поводу каждого из которых разъясняется, что именно под ними договорились понимать. Тщательнейшим образом уточняется, что понимается под пусковой установкой, операционной ракетной базой, разделяющейся головной частью ракеты и т.д.

В случае же реального определения ситуация обратная: определение - это итог работы. Предпринимается исследование некоторого объекта, и после окончания этого исследования, когда признаки объекта установлены, можно давать реальное определение. Скажем, ученый-правовед, исследующий феномен преступления, рассмотрев всё, что он считает необходимым, может, по окончании своих изысканий, предложить некоторое определение понятия «преступление». Такое определение будет претендовать на то, чтобы быть реальным. Однако определение преступления, которое мы находим, скажем, в Уголовном кодексе, даже если оно является результатом комплекса исследований, «работает» как номинальное. Оно говорит: «преступлением будем считать то-то и то-то, и только это в дальнейших рассуждениях и практической работе следует понимать под преступлением».

Оба вида определения имеют одинаковую структуру. Определение состоит из двух частей: определяемого понятия (definiendum, сокращение - Dfd) и определяющего понятия (definiens, сокращение - Dfn). Например, «кража есть тайное хищение чужого имущества». Здесь определяемое понятие – «кража», определяющее понятие –«тайное хищение чужого имущества».

Виды определений:

1) Определение через род и видовое отличие (классическое). Сначала ищется понятие, родовое по отношению к определяемому, затем указывается признак, отделяющий определяемое от других видов того же рода. Так, в приведенном примере для определяемого указано родовое понятие – «хищение», а затем признак, отличающий именно кражу от других видов хищений - грабежа, разбоя, мошенничества и др.

2) Генетическое определение – указывают на то, как возникает предмет или как его можно создать. Например, «окружность есть линия, описываемая одним концом отрезка при его вращении вокруг второго конца». Естественно, часто генетические определения представляют собой разновидность классических.

Среди номинальных определений можно выделить следующие виды:

аналитические – определяют значение терминов, уже существующих в данном языке. Например, слово «сила», имеющие немало смыслов в естественном языке, в языке физики ограничивается одним определенным смыслом;

синтетические – дают определение вновь вводимому в какой-либо язык термину. В естественный язык таким образом вводились, например, слова «субботник», «ваучер». Примером синтетических определений могут служить также определения логических связок, которые мы дали в теме 1.

В математике часто используются так называемые неявные определения, то есть такие, которые не имеют структуры Dfd = Dfn. Это аксиоматические и контекстуальные определения. При этом выражение, содержащее определяемое понятие, приравнивается к некоторому другому, которое, строго говоря, нельзя назвать определяющим понятием:

...Dfd... = A

 

Правила определения.

1. Правило соразмерности. Объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия. Нарушая это правило, мы можем получать, во-первых, слишком широкое определение (Dfd<Dfn), например: «Суд - одна из ветвей государственной власти». Во-вторых, слишком узкое определение (Dfd>Dfn), например: «Рецидив - совершение умышленного тяжкого преступления лицом, имеющим судимость за совершение такого же преступления».

2. Запрет порочного круга. Определение содержит порочный круг, если определяемое понятие А определяется через некоторое понятие В, при определении которого в свою очередь используется понятие А. Его частный случай – тавтология, например: «Гример - работник театра, который гримирует артистов».

3. Правило четкости и ясности. Это правило нарушается, например, в следующем случае: «Мышление есть актуализация репрезентирующих интенций сознания». В таких случаях говорят, что неясное определяется через неясное.

Для правильного определения должно выполняться правило взаимозаменимости: в любом релевантном контексте опредляемое понятие может быть заменено определяющим (или наоборот), так, что истинность предложения, в котором произведена замена, не изменится.

 

7.5. Операция логического деления

Деление – логическая операция, состоящая в разбиении родового понятия на видовые таким образом, что последние находятся в отношении несовместимости и исчерпывают объем родового понятия. Например: «треугольники делятся на тупоугольные, прямоугольные и остроугольные».

Обратим внимание на две операции, которые часто путают с логическим делением. Первая - расчленение целого на части: автомобиль состоит из двигателя, сцепления, коробки передач, трансмиссии и т.д. Логическое деление должно состоять в перечислении видов автомобилей, а не частей, из которых состоит автомобиль. Вторая - перечисление значений слова. Например: штамп - это 1) инструмент для изготовления чего-либо; 2) печать с названием учреждения; 3) образец, трафарет, которому слепо следуют.

Структура деления.

Делимое понятие - то, которое подвергается разбиению.

Члены деления - получаемые в результате деления видовые понятия.

Основание деления - признак, по изменению которого производится деление. В приведенном примере основанием деления служит величина угла треугольника. Естественно, что, выбрав другое основание деления, мы получим другое деление. Треугольники можно делить и по признаку равенства сторон. В последнем случае мы получим в качестве членов деления треугольники равносторонние, равнобедренные и все остальные.

Виды деления:

а) Дихотомическое - объём родового понятия делится на два понятия, которые находятся в отношении противоречия. Например: студенты делятся на успевающих и неуспевающих.

б) По видоизменению основания. Например, студенты делятся на отличников, хорошистов, троечников и двоечников. Как видим, в обоих случаях основание деления – успеваемость.

Правила деления:

1. Деление должно проводиться по одному основанию. Нельзя на одном шаге делить студентов на отличинков, двоечников, спортсменов и участников художественной самодеятельности.

2. Правило соразмерности. Объём делимого понятия должен быть равен сумме объемов членов деления. В том случае если какой-либо из членов деления упущен, произведено неполное деление (самолеты делятся на военные и пассажирские); если, наоборот, один из членов деления не является видом делимого понятия, то это деление с лишними членами. Эта ошибка будет совершена, если, к примеру, при классификации рыб будут названы киты.

3. Члены деления должны исключать друг друга (см. пример из пункта 1).

4. Деление не должно быть скачкообразным. Ошибка, совершаемая при нарушении этого правила называется скачком в делении. Например, эта ошибка совершается в таком случае: предложения делятся на простые, сложносочиненные и сложноподчиненные.