Логика - наука о законах правильного, корректного, доказательного рассуждения, рассматриваемого с точки зрения его формы.

Рассуждение представляет собой переход от одних высказываний (суждений, предложений, утверждений), данных заранее, к некоторым новым. Элементарный шаг рассуждения называется умозаключением. Центральный вопрос логики состоит в том, когда такой переход делать можно, а когда нельзя, когда умозаключение является правильным, а когда нет. Центральный ответ состоит в том, что умозаключение является правильным в том случае, если оно удовлетворяет отношению логического следования. Чтобы объяснить, что под этим понимается, требуется ввести некоторые термины, без которых никогда не может обойтись изложение логики.

Исходные высказывания рассуждения называются посылками. Число посылок ничем не ограничено. Возможны умозаключения из одной, двух, трех и т.д. посылок. Но множество посылок может быть и пустым (например, аксиомы геометрии не выводятся ни из каких других высказываний и могут считаться следствием из пустого множества посылок). В принципе, множество посылок может быть и бесконечным (впрочем, многие логики отвергают такую возможность). Обозначим множество посылок как {Х}, где Х = х ₁, х ₂, …, х _n, n Î [0,¥), x _i – некоторая посылка. Новое высказывание, получаемое из исходных в результате рассуждения, называется заключением (или следствием). Обозначим его через А. Тогда тот факт, что некоторое высказывание А является следствием из множества посылок, символически записывается следующим образом:

{Х}ú= А,

где ú= - знак отношения логического следования.

Некоторое высказывание А находится в отношении логического следования к множеству высказываний {Х}, или является логическим следствием из него, если истинность элементов {Х} гарантирует истинность А.

При определении отношения следования нами использовано понятие истинности высказывания. Здесь мы, оставаясь в рамках логики, приходим к пределу анализа. Раскрытие природы такого важного понятия, как «Истина», не входит в задачу логики. Её интересует переход от одних суждений к другим, сохраняющий истинность. Подчеркнём: именно переход, а не истинность. Тем не менее различные толкования понятия истины могут оказывать влияние на содержание логических построений. Поэтому упомянем некоторые из наиболее влиятельных концепций истины.

Корреспондентная теория. Её также называют классической. Согласно этой концепции истина есть соответствие предложения (суждения, мысли) действительности (фактам, положению дел и т.п.). Её формулировку можно найти уже у Аристотеля, в начале 7-й главы 3-й книги «Метафизики». Классическая формулировка, на несколько столетий определившая понимание проблемы, дана Фомой Аквинским: “ Veritas est adaequatio rei et intellectus ”. Однако корреспондентная концепция неявно навязывает и способ установления истины: «сравни предложение с реальностью и сделай вывод о его истине». Но возьмем геометрию: любой школьник знает, что в так называемом реальном мире не существует треугольников, кругов и т.д. Тем не менее о геометрических теоремах мы говорим, что они истинны, несмотря на то что мы не имеем возможности сравнить их с какой-либо внешней реальностью. Истинность этих теорем устанавливается путем доказательства, а не через сопоставление с действительностью. Это (хотя не только это) вызывает к жизни Когерентную концепцию истины, согласно которой истина есть согласованность высказывания с другими высказываниями. Природу этой согласованности разные версии когерентизма трактуют по-разному: как следование, как совместимость и др. Прагматистская концепция истины считает критерием истины успех. Первая версия прагматизма была предложена американским философом Ч.С. Пирсом в конце XIX в. Истинность убеждения устанавливается через последствия его практического, экспериментального применения. В крайних вариантах прагматизм вовсе отказывается от понятия истины, пользуясь вместо него понятием «обоснованной утверждаемости» (justified assertability). Прагматической концепции близка марксистская, согласно которой критерием истины является практика.

Наконец, при определении логики нами было использовано ещё одно важное понятие – понятие формы. Поясним его на примерах:

 

Пример 1.

Санкт-Петербург севернее Москвы.

Москва севернее Киева.

Следовательно, Санкт-Петербург севернее Киева.

 

Пример 2.

х > у,

у > z,

следовательно, x > z.

 

В этих двух несложных рассуждениях речь идет о совершенно разных вещах. Пример 1 содержит рассуждение из области географии, пример 2 – из области математики. Однако сам ход рассуждения в обоих примерах представляется одинаковым. То, что является общим для этих примеров, это и есть их логическая форма. Если отвлечься от содержательных терминов, входящих в эти рассуждения (таких, как «Санкт-Петербург», «Киев», «севернее», «>» и остальных), и заменить их переменными, то мы сможем получить запись, выражающую только форму обоих рассуждений. Например, такую:

 

a R b,

b R c,

следовательно, a R c.

 

Здесь a, b и с обозначают объекты, R – отношение.

Имея дело с такой записью, которая принимает во внимание только форму рассуждения, легче обнаружить, что рассуждение по такой форме не всегда будет верным. Например, пусть R обозначает отношение «любить», a = Саша, b = Маша, c = Вова. Нетрудно заметить, что из посылок «Саша любит Машу» и «Маша любит Вову» нельзя вывести заключение аналогично тому, как это делалось в двух предыдущих примерах. Соответственно, такая форма рассуждения не является универсально применимой. Для того чтобы сделать её таковой, требуется наложить ограничения на отношение R.

В заключение обратим внимание на принципиальную различность понятий правильности и истинности.

Правильность – это свойство рассуждений, доказательств. Истинность – это свойство высказываний. Можно строить правильные рассуждения, исходя из ложных посылок. Так, если в примере 2 вместо х, у, и z подставить, соответственно, 3, 5, и 7, то обе посылки будут ложны. Однако рассуждение останется формально правильным. Действительно, если бы 3 было больше 5, а 5 больше 7, то 3 было бы больше 7. С другой стороны, имея истинные посылки, на их основе возможно строить некорректные рассуждения. Законы логики будут нарушаться именно во втором, а не в первом случае. Соответственно, логику интересует именно правильность рассуждений, но не истинность высказываний, из которых эти рассуждения строятся.

 

1.2. Основные этапы развития логики.

История логики знает три исторических эпохи, когда она развивалась особенно интенсивно и её проблемы занимали лучшие умы человечества.

I. Древняя Греция (IV-II вв. до н. э.).

Логика как наука родилась в Древней Греции. Среди факторов, способствовавших этому, следует указать по крайней мере два:

1) Развитие геометрии. Точнее, тот характер, какой это развитие получило в Греции. Дело в том, что многие из геометрических закономерностей, которые намертво связаны в нашем сознании с греческими именами, были известны задолго до греков – в Египте и Вавилоне. Заслуга греков не в том, что они эти закономерности открыли, заслуга в том, что они начали их доказывать. Предание гласит, что первым этим занялся Фалес. Причем он доказал в том числе и такие теоремы, справедливость которых очевидна: что диаметр делит площадь круга пополам, что величины вертикальных углов равны.

Внешняя очевидность оказывалась менее надежным источником достоверности, чем дедуктивное доказательство. Поэтому крайне актуальным стал вопрос о том, что, собственно, следует считать доказательством, а что лишь видимостью его.

2) Судебная и политическая практика, сложившаяся в греческих полисах. Свою точку зрения, свою правоту надо было отстаивать, причем публично. Законы многих полисов запрещали найм адвокатов, поэтому многие состоятельные граждане стремились овладеть искусством убеждения и аргументированного изложения собственной точки зрения. В результате услуги людей, способных обучить такому искусству, – поначалу это были софисты – пользовались большим спросом. Один юридический казус с участием профессиональных логиков-софистов до сих пор представляет собой интересную логическую проблему (Еватл - Протагор).

Две указанные причины, по сути, и по сей день предопределяют два основных облика логики, обусловленных областями её приложения. Во-первых, логика как теория научного доказательства, во-вторых, логика как теория аргументации. Уже Аристотель (384 - 322), создатель логики как науки, выделял две компоненты: аподиктику – теорию необходимых умозаключений и диалектику – искусство рассуждений на основе не обязательно истинных посылок. Кроме этого, Аристотель выделял эристику – искусство словопрений, или спора – занятие наименее почтенное с точки зрения научной истины, которым тем не менее всякий исследователь тоже должен овладеть. Впрочем, Аристотель не обозначал исследованную им область знания словом «логика». Корпус его трактатов, от которых берет свое начало область знания, ставшая впоследствии называться логикой, включал в себя такие труды, как «Первая аналитика», «Вторая аналитика», «Об истолковании», «Категории», «Опровержения софистов», «Топика». Уже среди его учеников за ними закрепилось наименование «органон», то есть орудие познания, исследования. Аристотель не рассматривал все это как отдельную науку, это имело статус именно орудия познания, которым следовало овладеть, прежде чем приступать к изучению какой бы то ни было конкретной науки.

Другим выдающимся представителем античной логики является Хрисипп (или Хризипп, 281/278 – 208/205), один из лидеров философской школы стоиков.

Впрочем, поскольку речь идет о древнегреческой логике в целом, не все затрагивавшиеся в ней проблемы освещены у Аристотеля и Хрисиппа. В частности, стоит упомянуть открытые античными логиками парадоксы, прежде всего парадокс лжеца, исследование которого привлекало многих ученых, особенно на поздних этапах развития древнегреческой цивилизации.

 

II. Средневековая Европа (кон. XI - XV вв.).

В эту эпоху другие стимулы способствовали развитию логических исследований. Высшим знанием было познание Бога, а главным источником знания – Священное писание. Богословские рассуждения способствовали вычленению первичных логических процедур, потому что в этой сфере мысль не отягощена эмпирическим содержанием и её убедительность целиком определяется очевидностью собственно логических схем рассуждения. Кроме того, требовалось всякое знание обосновывать ссылками на Священное писание. Тонкости довольно сложного христианского богословия и обширность священных текстов создавали широкое поле для оригинальных логических исследований. Среди логиков этого периода могут быть упомянуты следующие: Пьер Абеляр (1079 - 1142), Петр Испанский (1210 - 1277), Дунс Скотт (1270 - 1308), Уильям Оккам (1300 - 1349), Раймунд Луллий (1235 - 1315).

Петр Испанский завершил свою карьеру в должности папы римского под именем Иоанна XXI. Поэтому его трактат “Summulae Logicales” стал основным учебником, по которому изучали логику в университетах средневековой Европы. Этот трактат открывался словами “Logica est ars artium et scientia scientarum” – «Логика есть искусство искусств и наука наук». Действительно, в ту эпоху логика являлась главным орудием, методом познания. В средневековом университете обучение начиналось на факультете Artes Liberales (свободных искусств), среди которых одно из ключевых мест занимала логика. Лишь успешно освоив изучавшиеся на этом факультете дисциплины тривиума (включавшего логику, риторику и грамматику), студент мог переходить на специализированные факультеты.

Средневековую логику долго третировали по разным причинам. Само слово «схоластика» стало едва ли не ругательным. Её обвиняли за пустое умствование, за то, что она была тесно связана с построением доказательств существования Бога. Но не надо забывать, что Аристотель именовал созданную им область знания «Органоном», то есть орудием – орудием познания. Пусть с точки зрения другой эпохи главная цель средневековых схоластов не вызывает почтения, но надо признать, что орудие в этом не виновато; более того, это орудие было прекрасно отточено и содержалось в полном порядке. То был золотой век логики. Собственно, тогда она и сформировалась как наука.

Лишь в XX веке вновь смогли по достоинству оценить содержание таких разделов, традиционно входивших в средневековые логические трактаты, как “De Consequentiis”, “De Insolubiliis”, “De Proprietas Terminorum”, которые затрагивают проблематику, зачастую выходящую за границы исследований Аристотеля, и отличаются такой глубиной, которая не всегда достигается и современными исследованиями.

III. Возрождение и Новое время. С эпохой Возрождения авторитет средневековой логики падает. Самые глубокие и тонкие исследования логиков предшествующих веков ничем не могли помочь новым направлениям математики и естествознания. На повестке дня стояла проблема открытия тайн природы, а схоластическая логика этому не учила. Поэтому на фоне затухания логических исследований актуальность приобретает проблема метода - метода получения новых истин, метода открытий. Среди наиболее интересных и влиятельных изысканий в области метода, созданных в это время, нельзя не упомянуть следующие.

Ф. Бэкон (1561 - 1626) - индуктивный метод. Бэкон настолько верил в продуктивность своего метода для науки, что назвал свой труд «Новый органон», подчеркивая тем самым, что его индуктивный метод должен заменить дедуктивный метод Аристотеля.

Р. Декарт (1596 - 1650). Пытался реабилитировать дедукцию, но не очень удачно. Проблеме метода он специально посвятил не одну из своих работ, упомянем лишь «Рассуждение о методе». Однако изложенные в ней собственно правила метода оказались ещё менее содержательными и полезными, чем аристотелевская дедуктивная логика.

Наконец, огромное внимание уделял этой проблеме Г.В. Лейбниц (1646 - 1716). Достигнув огромных успехов в математике, он вынашивал идею такого формального метода, который всякое рассуждение сводил бы к счету, исчислению. Если бы к последнему можно было добавить универсальный язык понятий, так, чтобы операции исчисления производились над элементами этого языка, то значительная часть научного труда осуществилась бы сама собой. К сожалению, Лейбниц практически не публиковал при жизни соображений на эту тему, они стали известны лишь к концу XIX в. И с тех пор практически по сей день развитие логики происходит под знаком идей Лейбница.

Сейчас отметим лишь, что усилия гениев XVII века не привели ни к отмене аристотелевской логики, ни к торжеству какого-либо одного из методов. Но с тех пор учебники логики на долгое время стали включать в себя два раздела - теорию доказательства (чистую логику, или учение о формах мышления) и теорию открытия (прикладную логику, или логику исследования, или учение о методе).

Наконец, чтобы закончить с этим «промежуточным» в истории логики этапом, отметим ещё два события, оказавших решающее влияние на формирование логики как учебной дисциплины.

Первое. В 1662 г. опубликована «Логика, или искусство мыслить» А. Арно и П. Николя, более известная под названием «Логика Пор-Рояля». Эта книга состояла из 4 глав: «Об идеях», «О суждениях», «Об умозаключении» и «О методе». Такая структура на несколько столетий легла в основу курсов логики, часто она встречается и по сей день.

Второе. И. Кант (1724 - 1804), выдающийся немецкий философ, хотя и не имеет никаких заслуг перед логикой, надолго определил взгляд на эту науку. Во-первых, это он впервые назвал эту науку формальной, во-вторых, после него надолго закрепилось понимание логики как науки о мышлении; таким образом, «формальная логика» в кантианском понимании означает науку о формах мышления. В советских учебниках для гуманитариев такое толкование было едва ли не единственным вплоть до начала 90-х гг. Впрочем, сила инерции велика, и многие верят в это до сих пор. Поэтому логику, излагаемую в рамках двух указанных принципов, правильней было бы называть не аристотелевской, но пор-роялевско–кантианской.

 

IV. Современная логика (начиная с сер. XIX в.).

Если античная логика была тесно связана с метафизикой, средневековая с учением о языке, то становление современного этапа развития логики неразрывно связано с математикой. Первая составляющая процесса формирования современной, или символической логики представлена вкладом логической алгебры, представленной именами Джорджа Буля (1815 - 1864), а также Августа Де Моргана, Стэнли Джевонса, Эрнста Шрёдера и других. Буль в небольшой работе «Математический анализ логики» (1847) показал, что силлогистику Аристотеля можно представить как разновидность алгебраических уравнений, где переменные замещают не обычные арифметические величины, а классы, оговорив, что не так важно, что именно имеется в виду под алгебраическими знаками. Другое направление исследований было тесно связано с исследованиями в области обоснования математики, и представлено прежде всего именами Готтлоба Фреге (1848 - 1925), Бертрана Рассела (1872-1970). Г. Фреге в небольшой брошюре «Понятийное письмо» (Begriffsschrift, 1879), по сути, реализовал суть программы Г.В. Лейбница, построив формализованный язык логики и создав первый прецедент того, что ныне называется формальной системой, без чего немыслима современная логика. Однако Фреге использовал не очень удобную для восприятия систему обозначений, кроме того, как обнаружил Рассел, в его системе оказалось выводимым противоречие. Логика Фреге и Рассела до сих пор часто обозначается как классическая логика.

Наконец, окончательный облик современная логика обрела в работах Давида Гильберта, Рудольфа Карнапа, Яна Эгбертуса Брауэра, Альфреда Тарского. В книге Д.Гильберта и В.Аккермана «Основания теоретической логики» (1928, русское издание 1947) представлено изложение логики, основные моменты которого воспроизводится в монографиях и учебниках по символической логике по сей день.

 

Тема 2. Логика высказываний

 

 

2.1. Высказывание, суждение, предложение.

Предложение - языковое средство выражения высказывания. Одно и то же высказывание может быть выражено разными предложениями. Например, предложение русского языка «знание - сила» выражает то же самое высказывание, что и английское предложение «Knowledge is power» или латинское «Scientia potentia est».

Суждение - психический акт признания или непризнания истинности высказывания (его утверждения или отбрасывания). Заметим, что в традиционной логике термин «суждение», как правило, использовался и в том смысле, который ныне выражается термином «высказывание». При этом многие авторы вынуждены были оговаривать различие между суждением в логическом смысле и суждением в психологическом смысле, и это различение не всегда выдерживалось достаточно последовательно.

Высказывание - это смысл предложения, который может быть оценен как истинный или ложный.

Результаты наших разъяснений можно проиллюстрировать следующей диаграммой (рис.2.1. и 2.2): языковые единицы могут указывать либо на субъективную сферу (мы выражаем наши мысли, при этом утверждая либо отвергая их), либо на объективное содержание наших мыслей. Рис.2.2 представляет конкретизацию диаграммы на рис.2.1 на случай высказываний.

 

язык объективная предложение высказывание

сфера

субъектив- суждение

ная сфера

 

 

Рис.2.1. Рис.2.2.

 

Высказывание выражается не всяким предложением, но только повествовательным. Только такие предложения несут сообщения, которые могут быть оценены как истинные либо ложные. Не выражают высказываний восклицательные, вопросительные предложения. Кроме того, высказываний не содержат так называемые перформативы. Это широкий класс предложений, которые представляют собой действие. К ним относятся обещания, приказы, объявления (наподобие «Объявляю вас мужем и женой» или «Объявляю вам войну») и т.п.

Высказывание имеет структуру, но некоторые типы рассуждений можно описать, не принимая её во внимание. Нас будет интересовать лишь одно свойство высказывания - его истинность или ложность. Общим именем для истины и лжи является термин «истинностное значение». Если ни одна часть высказывания не является высказыванием, то оно называется простым. Простое высказывание называют также атомарным (от греч. atomoV - неделимый), тем самым подчеркивая, что внутренняя структура высказывания не принимается во внимание. Эти атомарные высказывания можно соединять друг с другом разными способами с помощью различных логических связок (их могут называть также логическими союзами, операторами, функциями). Различные связки задают разные виды сложных высказываний.

Рассмотри основные логические связки.

1. Конъюнкция - логическое «и» - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно каждое из составляющих его простых. С помощью этой связки образуются конъюнктивные, или соединительные высказывания. В русском языке конъюнкция обычно выражается союзами «и», «а», «но», «не только..., но и...» «несмотря на то что» и др. Примеры: клевета и оскорбление - преступления против личности; подсудимый приговорен к лишению свободы и конфискации имущества.

Для определения логических связок используют так называемые таблицы истинности, или истинностные таблицы. Таблица истинности состоит из трех столбцов: двух входных и одного выходного (или результирующего). Во входных столбцах перебираются все возможные комбинации истинностных значений простых высказываний. Здесь и далее простые высказывания будем обозначать буквами латинского алфавита p, q, r и т.д., возможно с индексами. В выходном столбце указывается истинностное значение сложного высказывания, полученного в результате применения соответствующей связки к исходным простым высказываниям. Так, в приводимой ниже таблице для конъюнкции выходной столбец для p&q (читается «р и q») содержит значение «и» (Истина) в первой строке, где оба простых высказывания тоже имеют значение «и». Во всех остальных строках выходного столбца содержится значение «л» (Ложь)

 

p	q	p&q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

 

Заметим, что знак & не является просто заменителем союза русского языка «и». Во-первых, эта логическая связь может выражаться и другими средствами языка. Во-вторых, не всегда союз «и» естественного языка выражает конъюнктивную связь. Например, в предложении «Бологое находится между Петербургом и Москвой» союз «и» не выражает конъюнкции.

2. Дизъюнкция слабая (нестрогая, неисключающая) - логическое «и/или» – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из составляющих его простых. С помощью этой связки образуются дизъюнктивные, или разделительные высказывания. В русском языке дизъюнкция обычно выражается союзом «или». Пример: чтобы подготовиться к семинару, надо прочитать конспект или учебник.

 

p	q	pÚq
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

 

Слабая дизъюнкция будет ложной лишь в том случае, если все входящие в неё простые высказывания являются ложными. Так, высказывание «кенгуру обитают в России или в Бразилии» будет ложным, но «кенгуру обитают в России или в Австралии» - истинным

3. Дизъюнкция сильная (строгая, исключающая) - логическое «исключающее или» - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно ровно одно из входящих в него простых высказываний. В русском языке обычно выражается союзом «либо..., либо...». Пример: со щитом либо на щите.

 

p	q	р q
и	и	л
и	л	и
л	и	и
л	л	л

 

Строгая дизъюнкция отличается от слабой тем, что она будет ложной, когда оба входящие в неё простые высказывания истинны. Так, если в приведенном выше примере простые высказывания «для того чтобы подготовиться к семинару, надо прочитать учебник» и «для того чтобы подготовиться к семинару, надо прочитать конспект» соединить строгой дизъюнкцией, то мы получим сложное высказывание, которое имеет истинностное значение «Ложь»; если же мы соединим их слабой дизъюнкцией, то получим истинное сложное высказывание.

Заметим, что все описанные до сих пор связки имеют свойство коммутативности: соединяемые ими высказывания можно менять местами, не вызывая изменения истинностного значения соответствующего сложного высказывания. p&q имеет такое же значение, как q&p, pÚq – такое же, как qÚp. Следующая связка не имеет такого свойства.

4. Импликация - логическое «если..., то...». С помощью этой связки получают импликативные, или условные высказывания. В отличие от введенных выше, это некоммутативная связка, поэтому каждой её части присвоено свое название. В выражении «если p, то q» высказывание, обозначаемое «p», называется антецедентом (основанием), а высказывание, обозначаемое «q», называется консеквентом (следствием). Импликацией называется такое сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент истинен, а консеквент ложен.

 

p	q	p É q
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

 

5. Обратная импликация (иногда её называют «репликация») – «p, если q» или «только если p, то q». Это сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент ложен, а консеквент истинен.

 

p	q	p Ì q
и	и	и
и	л	и
л	и	л
л	л	и

 

6. Эквиваленция – союз «если и только если …, то…» - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения составляющих его простых высказываний совпадают. Эта связка, выраженная словами «тогда и только тогда, когда», использовалась во всех только что приведенных определениях.

 

 

p	q	p«q
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	и

 

Вообще говоря, всего с помощью механического комбинирования можно задать 16 таких связок, но одни из них будут не особенно полезными (когда выходной столбец содержит только значения «и» или только значения «л» либо когда выходной столбец совпадает с одним из входных), а другие - легко сводимыми к тем связкам, которые только что нами определены. Кроме того, именно эти связки наиболее употребимы в практических рассуждениях.

Все перечисленные выше связки являются бинарными, то есть они применяются к двум высказываниям. Есть также одна унарная связка - упомянутая выше сводимость связок друг к другу невозможна без неё.

7. Отрицание.

 

p	Øр
и	л
л	и

 

Полученные с помощью таких связок сложные суждения можно снова соединять связками и получать более сложные высказывания без каких-либо ограничений, например: «Если кто-либо препятствует деятельности религиозных организаций или совершению религиозных обрядов, то он наказывается штрафом, либо исправительными работами, либо арестом» (ст.148 УК). Формальная запись этого высказывания:

(p₁Úp₂) É (q₁ q₂ q₃)

 

2.2. Язык логики высказываний.

Теперь можно построить язык логики высказываний. Формализованный язык имеет два компонента: синтаксис и семантику.

Синтаксис исследует связи между знаками некоторого языка, правила их комбинирования.

Семантика исследует отношения между знаками и тем, что ими обозначается. Проще говоря, семантика - это описание смысла используемых в языке знаков. Приведя выше табличные определения логических союзов, мы сделали не что иное, как описали семантику языка логики высказываний.

Для задания синтаксиса требуется, во-первых, задать алфавит языка, т.е. список базисных (или примитивных) символов и, во-вторых, правила их комбинирования, которые позволяют отличать правильно построенные выражения от бессмысленных. Последнее представляет собой определение правильно построенного высказывания (ППВ).

I. Алфавит:

- p,q,r...,p₁,q₁,r₁... - символы для обозначения высказываний (пропозициональные переменные);

- И, Л - пропозициональные константы, или собственные имена истины и лжи;

- &, Ú,, É, Ì, «, Ø - символы логических операций (логические константы);

-),(- скобки (вспомогательные знаки).

 

II. Определение ППВ:

1. Пропозициональная переменная (атом) и пропозициональная константа есть ППВ.

2. Если А - ППВ, то Ø А - тоже ППВ.

3. Если А и В - ППВ, то А&В, АÚВ, АÉВ, АÌВ А«В, А В – тоже правильно построенные высказывания.

4. Других ППВ, кроме перечисленных в пунктах 1 - 3, в языке нет.

 

Несложно убедиться в том, что, в соответствии с приведенными пунктами, правильно построенными высказываниями будут следующие: q, Øq, p&Øq, r É (p&Øq), (rÉp) & Øq.

В качестве примера неправильно построенных высказываний можно привести такие: pØ, &q, pØ&q, p(rÚq)

 

С помощью таблиц истинности можно анализировать сколь угодно сложные высказывания. Например:

(p Ú Ø(r &q)) É r).

Поскольку в данном высказывании содержится три переменных: p, q, и r, его истинностная таблица должна содержать три входных столбца и восемь строк – ровно столько, сколько существует переборов истинностных значений для трех высказываний. Прежде чем получить выходной столбец требуется построить промежуточные столбцы. В данном примере это столбцы с четвертого по шестой.

 

 

p	q	r	r &q	Ø(r &q)	p Ú Ø(r &q)	(p Ú Ø(r &q)) É r]
и	и	и	и	л	и	и
и	и	л	л	и	и	л
и	л	и	л	и	и	и
и	л	л	л	и	и	л
л	и	и	и	л	л	и
л	и	л	л	и	и	л
л	л	и	л	и	и	и
л	л	л	л	и	и	л

 

 

2.3. Классификация формул логики высказываний, процедура разрешения.

Все высказывания, которые можно образовать из простых с помощью логических связок, можно поделить на три класса:

- общезначимые (другие названия: тождественно-истинные, всегда-истинные, тавтологии) - имеют значение «и» независимо от значений входящих в неё переменных. Например, Ø(р&Øр);

- нейтральные (промежуточные, выполнимые) - при одних наборах значений переменных они истинны, а при других – ложны;

- тождественно-ложные - ложны при любых значениях входящих в них переменных. Например, р&Øр

Безусловно, наибольший интерес представляют собой общезначимые формулы, ибо они представляют собой законы логики. Тогда рассуждение можно было бы представить формулой; общезначимость формулы будет означать правильность рассуждения. Поэтому важное значение в логике имеет т.н. процедура разрешения, то есть способ установления, к какому из трех указанных видов относится данное высказывание. В логике высказываний имеется простая процедура разрешения, которая состоит в построении таблицы истинности для данного высказывания. Если выходной столбец во всех строках содержит значения «Истина», то соответствующее данной таблице высказывание является общезначимым; если во всех строках выходного столбца содержится значение «Ложь», соответствующее высказывание является тождественно-ложным. Наконец, если в одних строках выходного столбца содержится значение «Истина», а в других «Ложь», то высказывание является нейтральным.

Например, попытаемся определить, каким является следующее высказывание: ((p É q) É р) É р.

Его истинностная таблица такова:

 

p	q	p É q	(p É q) É р	((p É q) É р) É р
и	и	и	и	и
и	л	л	и	и
л	и	и	л	и
л	л	и	л	и

 

В выходном столбце содержатся только значения «Истина», следовательно, это высказывание является общезначимым (заметим, что это высказывание называется «закон Пирса»). Поскольку для любого правильно построенного высказывания мы можем построить истинностную таблицу, то в лице последней мы имеем эффективную разрешающую процедуру.

 

2.4. Отношение равносильности.

Два сложных высказывания равносильны, если их истинностные значения совпадают, каковы бы ни были значения входящих в них простых высказываний. Равносильность двух высказываний легко установить по таблице истинности, а именно: два сложных высказывания равносильны, если их выходные столбцы совпадают. Например, равносильны сложные высказывания pÉq и ØpÚq.

 

р	q	pÉq	Øp	ØpÚq
и	и	и	л	и
и	л	л	л	л
л	и	и	и	и
л	л	и	и	и

 

Тот факт, что эти высказывания равносильны, записывается так:

p É q Û Øp Ú q.

Знание основных равносильностей имеет важное значение, ибо с помощью равносильности можно осуществлять переход от одного слодного высказывания к другому, т.е. осуществлять правильное рассуждение. Отношение равносильности - более сильное, чем отношение следования, поэтому оно разрешает меньше правильных рассуждений, чем последнее.

 

Некоторые фундаментальные равносильности:

 

1. Законы идемпотентности (сокращения):

1.1. p&p Û p.

1.2. pÚp Û p.

2. Законы коммутативности:

2.1. p&q Û q&p.

2.2. pÚq Û qÚp.

3. Законы асциативности:

3.1. (pÚq) Ú r Û p Ú (qÚr).

3.2. (p&q) & r Û p & (q&r).

Предлагается самостоятельно установить, справедливы ли законы идемпотентности, коммутативности и ассоциативности для остальных связок.

Равносильности, выражающие взаимодействие логических связок и пропозициональных констант:

4.1. p & И Û р.

4.2. р & Л Û Л.

5.1. р Ú И Û И.

5.2. р Ú Л Û р.

6.1. И É p Û р.

6.2. Л É p Û И.

6.3. p É И Û И.

6.4. р É Л Û Øр.

Предлагается самостоятельно установить, чему равносильны соединения пропозициональных констант и пропозициональных переменных с помощью остальных связок.

Законы дистрибутивности:

7.1. p & (qÚr) Û (p&q) Ú (p&r).

7.2. p Ú (q&r) Û (pÚq) & (pÚr).

Законы поглощения:

8.1. р & (рÚq) Û p.

8.2. p Ú